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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:06 Sa 02.12.2006 | | Autor: | Kristien |
Hallo, habe folfende Frage Aufgabe: Jedes Integral über f mit variabler oberer Grenze ist eine Stammfunktion von f. Da fragt man sich:
-Kann man umgekehrt jede Stammfunktion von f als Integral über mit variabler oberer Grenze schreiben?
und
-Wenn man eine Stammfunktion von f als ein solches Integral darstellen kann, ist diese Darstellung dann eindeutig, d.h. ist die untere Grenze des Integrals dann eindeutig festgelegt?
Die Antwort auf beide Fragen lautet NEIN!
Wir vollziehen das an einem konkreten Beispiel nach:
a) Zeigen sie, dass es Stammfunktionen der Funktion f(x)= [mm] 0,25x^3 [/mm] gibt, die sich nicht als Integral
[mm] \integral_{a}^{x}0,25x^3\,dx
[/mm]
schreiben lassen.
b) Finden sie diejenige Stammfunktion g(x) von [mm] f(x)=0,25x^3, [/mm] die bei x=1 eine Nullstelle hat.
Zeigen Sie. dass dieses g(x) zwei Integraldarstellungen
[mm] g(x)=\integral_{a}^{x}0,25x^3\,dx=\integral_{b}^{x}0,25x^3\,dx [/mm]
mit verschiedenen unteren Grenzen a und b besitzt.
Bei a, dachte ich mir könnte ja eventuell gemeint sein, dass eine konstante k angehängt werden könnte und es so nicht als eine beliebige stammfunktion geschrienben werden soll! Wie ich das genau zeigen soll, weiß ich nicht.
bei b habe ich mit gedacht, könnte ich die Nullstelle herausbekommen, indem ich die stammfunktion von [mm] 0,25x^3 [/mm] bilde, also [mm] F8x)=\bruch{1}{16}x^4 [/mm] und da dann 1 einsetze. das ergibt: [mm] \bruch{1}{16} [/mm] das setze ich dann gleich 0 und erhalte als k= [mm] \bruch{1}{16}?
[/mm]
Könntest du mir sagen wie a und b funktionieren? Danke
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Hallo Kristien,
> Hallo, habe folfende Frage Aufgabe: Jedes Integral über f
> mit variabler oberer Grenze ist eine Stammfunktion von f.
> Da fragt man sich:
> -Kann man umgekehrt jede Stammfunktion von f als Integral
> über mit variabler oberer Grenze schreiben?
Das ist so eine schöne Frage zum "Um-die-Ecke-Denken". 
> und
> -Wenn man eine Stammfunktion von f als ein solches
> Integral darstellen kann, ist diese Darstellung dann
> eindeutig, d.h. ist die untere Grenze des Integrals dann
> eindeutig festgelegt?
> Die Antwort auf beide Fragen lautet NEIN!
> Wir vollziehen das an einem konkreten Beispiel nach:
>
> a) Zeigen sie, dass es Stammfunktionen der Funktion f(x)=
> [mm]0,25x^3[/mm] gibt, die sich nicht als Integral
> [mm]\integral_{a}^{x}0,25x^3\,dx[/mm]
> schreiben lassen.
[mm] F(x)=\frac{1}{16}x^4+10 [/mm] ist eine Stammfunktion von f: nachprüfen!
Aber: du wirst kein a finden, so dass F(x)=[mm]\integral_{a}^{x}0,25x^3\ dx[/mm] gilt.
Probier's mal und berichte hier!
>
Gruß informix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:22 Sa 02.12.2006 | | Autor: | Kristien |
Wie soll ich das denn ausprobieren und wie funktionieren a und b im allemeinen?
Danke
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Hallo Kristien,
> Wie soll ich das denn ausprobieren und wie funktionieren a
> und b im allemeinen?
> Danke
ich schrieb:
$ [mm] F(x)=\frac{1}{16}x^4+10 [/mm] $
[mm] F'(x)=\frac{1}{4}x^3 [/mm] , also ist F eine Stammfunktion zu f.
F(x)=$ [mm] \integral_{a}^{x}0,25x^3\ [/mm] dx $
einsetzen:
[mm] F(x)=\frac{1}{16}x^4+10=\integral_{a}^{x}0,25x^3\ dx=\left[\frac{1}{16}x^4\right]_{a}^{x}
[/mm]
jetzt versuche du mal, ein a so zu finden, dass diese Gleichung stimmt!
Gruß informix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:18 So 03.12.2006 | | Autor: | Kristien |
Aha! Ich habe auch kein a gefunden, das für diese Gleichung geeignet wäre!
Ich weiß aber nicht, ob die Begründung die ich habe richtig ist! Ich rechne sie mal vor:
Meine Rechnung schließe ich an deine Gleichung an:
Als erstes habe ich für x einfach so 6 eingesetzt und damit die erste Formel berechnet: [mm] \bruch{1}{16}6^4+10=91
[/mm]
Dann habe ich versucht a herauszubekommen, wenn bei dieser Gleichung 91 herauskommen soll:
[mm] [\bruch{1}{6}x^4] [/mm] obere Grenze x , untere grenze a=
F(x)-F(a)= F(6)-F(a)
[mm] 81-\bruch{1}{16}a^4=91
[/mm]
[mm] a^4=-160
[/mm]
KEINE LÖSUNG
Ist das die richtige Begründung? Und wie funktioniert b)?
Danke
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Hallo Kristien,
> Aha! Ich habe auch kein a gefunden, das für diese Gleichung
> geeignet wäre!
> Ich weiß aber nicht, ob die Begründung die ich habe
> richtig ist! Ich rechne sie mal vor:
> Meine Rechnung schließe ich an deine Gleichung an:
>
> Als erstes habe ich für x einfach so 6 eingesetzt und damit
> die erste Formel berechnet: [mm]\bruch{1}{16}6^4+10=91[/mm]
> Dann habe ich versucht a herauszubekommen, wenn bei dieser
> Gleichung 91 herauskommen soll:
> [mm][\bruch{1}{6}x^4][/mm] obere Grenze x , untere grenze a=
> F(x)-F(a)= F(6)-F(a)
> [mm]81-\bruch{1}{16}a^4=91[/mm]
> [mm]a^4=-160[/mm] Das ist der entscheidende Schritt, den du nur verallgemeinern musst!
> KEINE LÖSUNG
>
> Ist das die richtige Begründung? Und wie funktioniert b)?
> Danke
>
Warum berechnest du nicht einfach meine Gleichung:
$ [mm] F(x)=\frac{1}{16}x^4+10=\integral_{a}^{x}0,25x^3\ dx=\left[\frac{1}{16}x^4\right]_{a}^{x}$
[/mm]
[mm] =\frac{1}{16}x^4-\frac{1}{16}a^4
[/mm]
wenn du nun vergleichst, erkennst du, dass zur Gleichheit gelten muss:
[mm] 10=-\frac{1}{16}a^4 [/mm] was offensichtlich nicht möglich ist.
Damit ist ganz allgemein für diese Funktion gezeigt, dass nicht jede Stammfunktion sich schreiben lässt als [mm] \integral_{a}^{x}0,25x^3\ [/mm] dx
zu b)
schreibe ganz ähnlich mal die Stammfunktion g(x) allgemein (mit a) hin und setze x=1 ein.
Dann solltest du erkennen, dass es ür a mehr als eine Lösung gibt.
Einfach mal selbst probieren! Wir wollen dir ohne eigene Ideen nicht alles vorrechnen... sonst lernst du nämlich nichts.
Gruß informix
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