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(Frage) überfällig  | | Datum: | 12:51 So 24.06.2012 | | Autor: | Krissel |
| Aufgabe | Zweidimensionales Integral (6)
Zeige ohne Verwendung der Eigenschaften der Gammafunktion:
[mm] \int_{0}^{\infty} \int_{0}^{\infty} [/mm] dx dy [mm] e^{-\alpha(x+y)}x^{-a}y^{a-1}= \frac{1}{\alpha}\frac{\pi}{\sin(\pi a)}, [/mm] a> 0 |
Hallo, ich habe im Kurs "Rechenmethoden der Pyhsik" diese Aufgabe bekommen. Aktuelles Thema sind Funktionaldeterminanten, und ich habe auch einigermaßen verstanden, wie das funktioniert. Nur finde ich hier nichtmal den Ansatz einer sinnvollen Transformation, um dieses Integral zu berechnen. Daher wäre ich für einen Schubs in die richtige Richtung sehr dankbar...
gruß, Christoph
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(Frage) überfällig | | Datum: | 15:24 So 24.06.2012 | | Autor: | Krissel |
So, ich glaub ich habe die Aufgabe jetzt doch lösen können, hier ist mein Ansatz
1) Integral umformen:
[mm] \int_{0}^{\infty} \int_{0}^{\infty} [/mm] dx dy [mm] e^{-\alpha(x+y)} (\frac{y}{x})^a \frac{1}{y}
[/mm]
2) setze u=x+y, [mm] v=\frac{y}{x}
[/mm]
Das ergibt nach umformen [mm] x=\frac{u}{v+1}, [/mm] y= [mm] \frac{vu}{v+1} [/mm]
3) Die Funktionaldeterminante ist dann [mm] \left |\frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)}\right| [/mm] = [mm] \frac{u}{(v+1)^2}
[/mm]
4) Das Integral in u und v ausgedrückt vereinfacht sich dann zu
[mm] \int_{0}^{\infty} \int_{0}^{\infty} [/mm] du dv [mm] e^{-\alpha u} \frac{v^{a-1}}{v+1}
[/mm]
= [mm] \frac{1}{\alpha} \int_{0}^{\infty} [/mm] dv [mm] \frac{v^{a-1}}{v+1}
[/mm]
Dieses Integral habe ich mit Wolframalpha berechnet und als Lösung
[mm] \int_{0}^{\infty} \int_{0}^{\infty} [/mm] du dv [mm] e^{-\alpha u} \frac{v^{a-1}}{v+1} [/mm] = [mm] \frac{\pi}{\alpha} \csc(\pi*a) [/mm] = [mm] \frac{1}{\alpha}\frac{\pi}{\sin(\pi a)}, [/mm] für [mm] a\not\in\IZ
[/mm]
Jetzt muss ich nur noch rausfinden, wie ich das zweite Integral von Hand löse....
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:20 Di 26.06.2012 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:20 Di 26.06.2012 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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