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Forum "Wahrscheinlichkeitstheorie" - Varianz
Varianz < Wahrscheinlichkeitstheorie < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Varianz: Frage (offen)
Status: (Frage) statuslos Status 
Datum: 20:48 Sa 15.03.2025
Autor: Mathemurmel

Aufgabe
Betrachten Sie die Formeln für die Varianzen von binomial- und geometrisch verteilten Zufallsvariablen:  binom.: E(X) = np  V(X) = np(1-p)
geom.: E(X) = [mm] \bruch{1}{p} [/mm]  V(X)= [mm] \bruch{1}{p} [/mm] * [mm] \bruch{1-p}{p} [/mm] = [mm] \bruch{1-p}{p^{2}} [/mm]
Überlegen Sie anhand der Formeln, für welche Werte von p diese Varianzen maximal werden. Dabei können Sie natürlich den Computer oder Taschenrechner zu Hilfe nehmen. Können Sie sich die Ergebnisse anschaulich erklären?

Als Lösung wurde angesprochen:
Binomialverteilung:   p = 0 oder p = 1 hat keine Varianz, ist auch einleuchtend: wenn ein Ereignis nie oder immer eintritt, gibt es – logischerweise – auch keine Abweichung.

Dies gilt aber nicht für die geometrische Verteilung:

Geometrische Verteilung:   p = 1  [mm] \Rightarrow [/mm] V(X) = 0     klar
                           p = 0  [mm] \Rightarrow [/mm]  1/0  nicht definiert  [mm] \Rightarrow [/mm]  gibt keine Varianz  bzw.  auch = 0,  auch wenn die Formel das nicht hergibt.

Dann Zahlenbeispiele, dass "je kleiner p, desto größer die Varianz".

Frage:  Wie kann ich es anschaulich erklären, dass bei Binomialverteilung die maximale Varianz bei p = [mm] \bruch{1}{2} [/mm] liegt, bei p = 0 und p = 1 jedoch keine Varianz auftritt. Und dann bei der geometrischen Verteilung das Maximum für p [mm] \to [/mm] 0 erreicht wird?


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