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| Aufgabe | Betrachten Sie die Formeln für die Varianzen von binomial- und geometrisch verteilten Zufallsvariablen: binom.: E(X) = np V(X) = np(1-p)
geom.: E(X) = [mm] \bruch{1}{p} [/mm] V(X)= [mm] \bruch{1}{p} [/mm] * [mm] \bruch{1-p}{p} [/mm] = [mm] \bruch{1-p}{p^{2}}
[/mm]
Überlegen Sie anhand der Formeln, für welche Werte von p diese Varianzen maximal werden. Dabei können Sie natürlich den Computer oder Taschenrechner zu Hilfe nehmen. Können Sie sich die Ergebnisse anschaulich erklären? |
Als Lösung wurde angesprochen:
Binomialverteilung: p = 0 oder p = 1 hat keine Varianz, ist auch einleuchtend: wenn ein Ereignis nie oder immer eintritt, gibt es – logischerweise – auch keine Abweichung.
Dies gilt aber nicht für die geometrische Verteilung:
Geometrische Verteilung: p = 1 [mm] \Rightarrow [/mm] V(X) = 0 klar
p = 0 [mm] \Rightarrow [/mm] 1/0 nicht definiert [mm] \Rightarrow [/mm] gibt keine Varianz bzw. auch = 0, auch wenn die Formel das nicht hergibt.
Dann Zahlenbeispiele, dass "je kleiner p, desto größer die Varianz".
Frage: Wie kann ich es anschaulich erklären, dass bei Binomialverteilung die maximale Varianz bei p = [mm] \bruch{1}{2} [/mm] liegt, bei p = 0 und p = 1 jedoch keine Varianz auftritt. Und dann bei der geometrischen Verteilung das Maximum für p [mm] \to [/mm] 0 erreicht wird?
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