Varianz < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 08:13 Mo 26.11.2007 | | Autor: | VerenaBl |
| Aufgabe | Wir werfen zweimal einen fairen Würfel. Sei [mm] X_{1} [/mm] die Augenzahl des ersten Wurfes und [mm] X_{2} [/mm] diejenige des zweiten Wurfes.Weiter definieren wir S:= [mm] X_{1} [/mm] + [mm] X_{2} [/mm] und [mm] D:=X_{1} [/mm] - [mm] X_{2}.
[/mm]
a) Bestimmen Sie die Varianz von [mm] X_{1}
[/mm]
b)die Varianz von S und
c)die Varianz von D |
Hallo Ihr,
ich habe irgendwie ein großes Problöem bei der Berechnung der Varianz. Die Definition ist mehr sehtr wohl geläufig, aber ich kann damit einfach nicht rechnen. Ich stehe da irgendwie auf dem Schlauch und weiß nun leider nicht mehr weiter. Kann mir da wohl noch jemand helfen? Gleich ist schon Abgabe und ich dachte ich schaffe es wohl schnell, da es garnicht so schwer aus sah, da habe ich aber daneben gelegen :( Danke schon mal
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:04 Mo 26.11.2007 | | Autor: | luis52 |
Hallo Verena,
nutze die alte Bauernregel
[mm] $\operatorname{Var}[aX+bY]=a^2\operatorname{Var}[X]+b^2\operatorname{Var}[Y]+2ab\operatorname{Cov}[X,Y]$
[/mm]
fuer feste Koeffizienten [mm] $a,b\in\IR$ [/mm] und Zufallsvariablen $X,Y$.
lg Luis
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:59 Mo 26.11.2007 | | Autor: | tillll |
Ich bekomme bei der Varianz von S einen negativen Wert! Kann das sein?
Normaler Weise doch nicht, da die Standardabweichung die Wurzel aus der Varianz ist...
Danke> Wir werfen zweimal einen fairen Würfel. Sei [mm]X_{1}[/mm] die
> Augenzahl des ersten Wurfes und [mm]X_{2}[/mm] diejenige des zweiten
> Wurfes.Weiter definieren wir S:= [mm]X_{1}[/mm] + [mm]X_{2}[/mm] und [mm]D:=X_{1}[/mm]
> - [mm]X_{2}.[/mm]
> a) Bestimmen Sie die Varianz von [mm]X_{1}[/mm]
> b)die Varianz von S und
> c)die Varianz von D
> Hallo Ihr,
> ich habe irgendwie ein großes Problöem bei der Berechnung
> der Varianz. Die Definition ist mehr sehtr wohl geläufig,
> aber ich kann damit einfach nicht rechnen. Ich stehe da
> irgendwie auf dem Schlauch und weiß nun leider nicht mehr
> weiter. Kann mir da wohl noch jemand helfen? Gleich ist
> schon Abgabe und ich dachte ich schaffe es wohl schnell, da
> es garnicht so schwer aus sah, da habe ich aber daneben
> gelegen :( Danke schon mal
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:38 Mo 26.11.2007 | | Autor: | luis52 |
Moin tillll,
zunaechst erst einmal ein herzliches ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> Ich bekomme bei der Varianz von S einen negativen Wert!
> Kann das sein?
Nein.
> Normaler Weise doch nicht, da die Standardabweichung die
> Wurzel aus der Varianz ist...
>
>
Zeige doch bitte einmal deinen Rechenweg...
lg Luis
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:54 Mo 26.11.2007 | | Autor: | tillll |
1 Schritt: Berechnung von E(S) (Erwartungswert):
E(S) = [mm] \bruch{1}{36} [/mm] * 2 + [mm] \bruch{1}{18} [/mm] * 3 + [mm] \bruch{3}{36} [/mm] * 4 + ... + [mm] \bruch{1}{36} [/mm] * 12 = 7
2 Schritt: Berechnung von V(S) (Varianz):
verwendete Formel: V(S) = [mm] E(S^2) [/mm] - [mm] (E(S))^2
[/mm]
Ergebnis: - [mm] 11\bruch{13}{8}
[/mm]
... habe ich mich verrechnet, oder ist der Ansatz falsch?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:05 Mo 26.11.2007 | | Autor: | luis52 |
Hallo
> E(S) = [mm]\bruch{1}{36}[/mm] * 2 + [mm]\bruch{1}{18}[/mm] * 3 +
> [mm]\bruch{3}{36}[/mm] * 4 + ... + [mm]\bruch{1}{36}[/mm] * 12 = 7
>
> 2 Schritt: Berechnung von V(S) (Varianz):
> verwendete Formel: V(S) = [mm]E(S^2)[/mm] - [mm](E(S))^2[/mm]
>
> Ergebnis: - [mm]11\bruch{13}{8}[/mm]
Ich vermute, dass du [mm] $\operatorname{E}[S^2]$ [/mm] falsch berechnest:
[mm] $\operatorname{Var}[S]=\operatorname{E}[S^2] -\operatorname{E}[S]^2= \left(\bruch{1}{36}\ast 2^2 + \bruch{1}{18}\ast 3^2 + \bruch{3}{36} \ast 4^2 + ... +\bruch{1}{36}\ast 12^2\right)-7^2 [/mm] =54.83-49=5.83$.
lg Luis
PS: Es gibt uebrigens noch einen direkteren Weg: [mm] $X_1,X_2$ [/mm] besitzen beide eine diskrete Gleichverteilung.
![[]](/images/popup.gif) http://de.wikipedia.org/wiki/Diskrete_Gleichverteilung
Somit ist [mm] $\operatorname{Var}[X_i]=(6^2-1)/12$. [/mm] Da [mm] $X_1$ [/mm] und [mm] $X_2$ [/mm] unabhaengig sind, folgt
[mm] $\operatorname{Var}[S]=\operatorname{Var}[X_1+X_2]=\operatorname{Var}[X_1]+\operatorname{Var}[X_2]=(6^2-1)/6=35/6=\operatorname{Var}[D]$.[/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:51 Mo 26.11.2007 | | Autor: | tillll |
Wie kann ich denn jetzt am schnellsten die Kovarianz ausrechnen?
cov(S,D) = E(SD) - E(S) E(D) (das geht doch am Besten,oder ?)
Wie kann ich denn E(SD) errechnen)?
E(S) = 7
E(D) = 7
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:29 Mo 26.11.2007 | | Autor: | luis52 |
Hallo,
nach der alten Bauernregel gilt
[mm] $\operatorname{Cov}[aX+bY,cU+dV]= ac\operatorname{Cov}[X,U]+ad\operatorname{Cov}[X,V]+bc \operatorname{Cov}[Y,U]+bd\operatorname{Cov}[Y,V]$. [/mm]
Dabei sind [mm] $a,b,c,d\in\IR$ [/mm] feste Zahlen und $X,Y,U,V$ sind Zufallsvariablen.
Beachte bei der Anwendung der Formel, dass gilt [mm] $\operatorname{Cov}[X,X]= \operatorname{Var}[X]$.
[/mm]
Eine weitere Moeglichkeit besteht darin, dass du die Verteilung von $SD$ bestimmst und
damit [mm] $\operatorname{E}[SD]$ [/mm] berechnest.
Es waere gut, wenn du [mm] $\operatorname{Cov}[S,D]=0 [/mm] $ nachvollziehen koenntest.
lg Luis
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:39 Mo 26.11.2007 | | Autor: | tillll |
Hallo,
leider hilft mir das nicht weiter :(
Könntest du das bitte einmal ein bisschen näher an der Aufgabe erklären?
Danke.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:05 Mo 26.11.2007 | | Autor: | luis52 |
Hallo,
na dann woll'n wir mal:
$ [mm] \operatorname{Cov}[S,D]= \operatorname{Cov}[X_1+X_2,X_1-X_2]=\operatorname{Cov}[X_1,X_1]- \operatorname{Cov}[X_1,X_2]+\operatorname{Cov}[X_2,X_1]-\operatorname{Cov}[X_2,X_2] =\operatorname{Var}[X_1]- \operatorname{Cov}[X_1,X_2]+\operatorname{Cov}[X_1,X_2]-\operatorname{Var}[X_2]=0 [/mm] $
wegen [mm] $\operatorname{Var}[X_1]=\operatorname{Var}[X_2]$.
[/mm]
lg Luis
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:12 Mo 26.11.2007 | | Autor: | tillll |
Vielen Dank für die Hilfe.
Ich denke ich habe es mir zu umständlich gemacht. Habe versucht überall die Zahlenwerte einzusetzten.
Manchmal (oder immer öfters) hilft es eben, wenn man recht abstrakt denkt und bleibt.
Noch eine kleine Frage zum Abschluss:
1.) Wenn S und D unabhängig sind, ist dann cov(S,D) immer 0?
2.) Wenn cov(S,D) = 0 ist, sind dann S und D immer unabhängig?
Nochmal vielen Dank.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:20 Mo 26.11.2007 | | Autor: | luis52 |
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> Noch eine kleine Frage zum Abschluss:
> 1.) Wenn S und D unabhängig sind, ist dann cov(S,D) immer
> 0?
Ja.
> 2.) Wenn cov(S,D) = 0 ist, sind dann S und D immer
> unabhängig?
Nein. Betrachte S und D als Gegenbeispiel: [mm] $P(D=0\mid S=3)=0\ne [/mm] 1/6=P(D=0)$.
lg Luis
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