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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:08 Di 24.08.2010 | | Autor: | johnny11 |
| Aufgabe | Sei Var(T)= [mm] \alpha^2*\bruch{1}{n*(n+2)}.
[/mm]
Wie gross muss der Umfang n gewählt werden, dass die Varianz von T kleiner als [mm] \sigma^2 [/mm] ist? |
Also, es muss gelten, dass
[mm] \alpha^2*\bruch{1}{n*(n+2)} [/mm] < [mm] \sigma^2.
[/mm]
Durch umformen erhalt ich [mm] \bruch{\alpha^2}{\simga^2} [/mm] < [mm] n^2 [/mm] + 2n
Doch wie kann ich nun n bestimmten? Kann man quadratische Ungleichungen ähnlich lösen wie quadratische Gleichungen?
Also z.B. mit dieser Formel für quadratische Gleichungen?
Sehe aber gerade nicht, wie ich diese für Ungleichngen anwenden kann...
oder muss ich da ganz anders vorgehen?
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Hallo johnny11,
> Sei Var(T)= [mm]\alpha^2*\bruch{1}{n*(n+2)}.[/mm]
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> Wie gross muss der Umfang n gewählt werden, dass die
> Varianz von T kleiner als [mm]\sigma^2[/mm] ist?
> Also, es muss gelten, dass
>
> [mm]\alpha^2*\bruch{1}{n*(n+2)}[/mm] < [mm]\sigma^2.[/mm]
>
> Durch umformen erhalt ich [mm]\bruch{\alpha^2}{\sigma^2}[/mm] < [mm]n^2[/mm] + 2n
>
> Doch wie kann ich nun n bestimmten? Kann man quadratische
> Ungleichungen ähnlich lösen wie quadratische
> Gleichungen?
Ja!
> Also z.B. mit dieser Formel für quadratische
> Gleichungen?
> Sehe aber gerade nicht, wie ich diese für Ungleichngen
> anwenden kann...
> oder muss ich da ganz anders vorgehen?
Ich würde eine quadratische Ergänzung machen. Bedenke dabei, dass wegen $n>0$ nur die positive Lösung infrage kommt
[mm] $n^2+2n [/mm] \ > \ [mm] \left(\frac{\alpha}{\sigma}\right)^2$
[/mm]
[mm] $\Rightarrow (n+1)^2-1 [/mm] \ > \ [mm] \left(\frac{\alpha}{\sigma}\right)^2$
[/mm]
[mm] $\Rightarrow (n+1)^2 [/mm] \ > \ [mm] \left(\frac{\alpha}{\sigma}\right)^2+1$
[/mm]
[mm] $\Rightarrow [/mm] n+1 \ > \ [mm] \sqrt{\left(\frac{\alpha}{\sigma}\right)^2+1}$
[/mm]
Also $n \ > \ [mm] \sqrt{\left(\frac{\alpha}{\sigma}\right)^2+1}-1$
[/mm]
Und das ist $>0$
Gruß
schachuzipus
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