Varianz + Roulette Aufgabe < Stochastik < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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Hi,
ich habe 2 Aufgaben zur Übung ausgewählt da ich nächste Woche eine Mathe-Klausur schreibe und gut vorbereitet sein möchte..
1. Zeigen SIe: Die Varianz einer binomialverteilten Zufallsgröße wird bei festem Parameter n für p = 0,5 maximal..
2. Beim Roulette wird eine Kugel in den Rouletteapparat geworfen. Sie fällt in eines der 37 Felder mit den Zahlen 0 - 36 .. Ein Spieler hat ein Startkapital von 150 ..
Dieser Spieler entscheidet sich zu folgender Strategie :
Er setzt bei jedem Spiel auf "ungerade Zahl". Fällt also eine ungerade Zahl, so erhält er den doppelten Einsazu ausgezahlt, ansonsten verliert er den Einsatz. Beim ersten Gewinn hört er auf..Verliert er, dann verdoppelt er beim nächsten Spiel den EInsatz.
Bestimmen Sie den Erwartungswert des Gewinns für den Spieler.
Bei der ersten Aufgabe stehe ich vollkommen auf dem Schlauch, bei der 2. Aufgabe hingegen habe ich einen kleinen Ansatz, der wie folgt lautet :
X : sei der Gewinn in ( Startkapital 150 )
Nun will ich ja E(X) bekommen ...
x = ai
300 (ungerade Zahl ) --> spielt nicht mehr weiter ...
- 150 ( gerade Zahl, verliert sein Starkapital)
---> daser mit - 150 verloren hat , spielt er nochmal, setzt aber beim nächsten Spiel den doppelten Einsatz, sprich : 300 , gewinnt er -->
600 , verliert er ---> - 300 ... usw ... Nur weiß ich nicht wie ich das alles in eine Tabelle bringen soll, kann mir da jemand helfen ??
MfG
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Kann mir denn keiner helfen? Ist ungemein wichtig ... :(
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OK, die Aufgabe mit dem Beweis habe ich gelöst.... Aber die mit dem Roulette entzieht sich irgendwie meine rLogik :(
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:49 Di 06.02.2007 | | Autor: | Kyle |
Hallo!
Die erste Aufgabe löst Du, in dem Du die Varianz betrachtest, die ist für eine binomialverteilte Zufallsvariable =npq=np(1-p) (die Rechnung für die Varianz kannst Du in jedem Stochastik Buch oder bei Wikipedia unter Beinomialverteilung nachschauen). Jetzt kannst Du das ganze als Extremwertaufgabe in p lösen und findest ein Maximum bei 0,5 (die Ableitung ist n-2np und für n>0 bekommt man dann 1-2p soll = 0 sein).
Wollte die zweite Aufgabe auch noch rechnen, habe mich aber verrechnet und muss jetzt leider mittag essen (sorry) und glaube nicht, dass ich dazu heute Nachmittag auch noch komme.
Gruß,
Kyle
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:06 Di 06.02.2007 | | Autor: | smee |
Hallo!
(edit: Habe den Beitrag nochmal korrigiert, s.u. "E" statt "150" ...)
Also bei deiner zweiten Aufgabe würde ich wie folgt ansetzen:
Zuerst einmal wird der Einsatz mit 1 [mm] \le [/mm] E [mm] \le [/mm] 150 Euro beginnend bei jedem Spiel verdoppelt. Im i-ten Spiel beträgt der Einsatz dann: [mm]E*2^{i-1}[/mm] Euro.
Der Spieler beendet das Spiel ja nur dann, wenn er gewinnt (oder wenn er nicht mehr genügend Geld hat). Nehmen wir an, er gewinnt also im i-ten Spiel, dann wird sein Einsatz aus dem i-ten Spiel noch einmal verdoppelt, er erhält also [mm]E*2^{i}[/mm] Euro.
Nun müssen wir noch die Summe aller bisherigen Einsätze abziehen, um den Gewinn im i-ten Spiel zu ermitteln.
Der Verlust ist demnach: [mm]\summe_{k=0}^{i-1} E*2^k[/mm]
Damit ergibt sich also für den Gewinn im i-ten Spiel:
[mm]E*2^{i} - \summe_{k=0}^{i-1} E*2^k[/mm]
Wenn du das ausrechnest und dann noch berücksichtigst, dass es sich hier um eine geometrische Verteilung handelt, solltest du den Erwartungswert berechnen können.
Gruß,
Carsten
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| Status: |
(Korrektur) fundamentaler Fehler  | | Datum: | 21:35 Di 06.02.2007 | | Autor: | informix |
Hallo smee,
irgendwie habe ich bei deiner Rechnung Probleme. ![[verwirrt]](/images/smileys/verwirrt.gif "[verwirrt]")
Ich glaube nämlich, der Einsatz ist nicht 150 , sondern irgendein Betrag kleiner als 150.
Sein Startkapital ist doch 150 - mehr besitzt er nicht!
Begründung:
der Spieler setzt beim 1. Spiel 150 und verliert, dann ist sein ganzes Geld futsch und er muss aufhören.
der Spieler setzt beim 1. Spiel 150 und gewinnt - und hört ebenfalls auf, weil er sich das so vorgenommen hat.
Er kommt also nur dann über die erste Runde hinaus, wenn er einen kleineren Betrag setzt.
Man muss in deinen Berechnungen die 150 also durch eine kleinere Zahl E (wie Einsatz) ersetzen.
Der Rest der Überlegungen geht dann wohl analog, denn dieses E ist ja ein konstanter Faktor.
> Hallo!
>
> Also bei deiner zweiten Aufgabe würde ich wie folgt
> ansetzen:
>
> Zuerst einmal wird der Einsatz mit 150 Euro beginnend bei
> jedem Spiel verdoppelt. Im i-ten Spiel beträgt der Einsatz
> dann: [mm]150*2^{i-1}[/mm] Euro.
>
> Der Spieler beendet das Spiel ja nur dann, wenn er gewinnt.
> Nehmen wir an, er gewinnt also im i-ten Spiel, dann wird
> sein Einsatz aus dem i-ten Spiel noch einmal verdoppelt, er
> erhält also [mm]150*2^{i}[/mm] Euro.
>
> Nun müssen wir noch die Summe aller bisherigen Einsätze
> abziehen, um den Gewinn im i-ten Spiel zu ermitteln.
>
> Der Verlust ist demnach: [mm]\summe_{k=0}^{i-1} 150*2^k[/mm]
>
> Damit ergibt sich also für den Gewinn im i-ten Spiel:
>
> [mm]150*2^{i} - \summe_{k=0}^{i-1} 150*2^k[/mm]
>
> Wenn du das ausrechnest und dann noch berücksichtigst, dass
> es sich hier um eine geometrische Verteilung handelt,
> solltest du den Erwartungswert berechnen können.
>
> Gruß,
> Carsten
>
Gruß informix
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| Status: |
(Korrektur) oberflächlich richtig  | | Datum: | 22:57 Di 06.02.2007 | | Autor: | smee |
Hallo informix!
Das hatte mich auch etwas verwirrt ... So wie du es vorschlägst, macht es natürlich mehr Sinn, klar. Ich hatte mich bei meiner Lösung nach "DieKleineSuesse"s Lösungsansatz gerichtet ...
Also einfach "150" durch "E" ersetzen ... mit 1 [mm] \le [/mm] E [mm] \le [/mm] 150.
Gruß,
Carsten
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