Varianz bei Binomialverteilung < Stochastik < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
Gibt es zur Binomialverteilung eine Variaz?
Falls ja, kann mir einer sagen wie diese lautet?
Würd mich sehr freuen.
Mfg Seb
|
|
| |
|
Hi, Seb,
Bei der Binomialverteilung ist dies sogar besonders einfach, da folgende Formeln gelten:
Zu einer nach B(n;p)-verteilten Zufallsgröße X gehört der Erwartungswert E(X)=n*p und die Varianz Var(X)=n*p*q.
Beispiel: B(100;0,4)-Verteilung:
E(X)=40, Var(X)=24.
mfG!
Zwerglein
|
|
|
| |
|
Gibt es dafür einen Beweis?
q = 1-p oder?
Hab Angst das ich in der Klausur Varianz beweisen muss *kotz*
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:46 Fr 11.03.2005 | | Autor: | Julius |
Hallo!
Am kürzesten lässt es sich so beweisen:
Ist $X$ Bernoulli-verteilt mit Parameter $p$, also:
$P(X=1)=p$,
$P(X=0)=q=1-p$,
dann gilt offenbar:
$E[X] = 1 [mm] \cdot [/mm] p + 0 [mm] \cdot [/mm] q = p$
und
[mm] $E[X^2] [/mm] = [mm] 1^2 \cdot [/mm] p+ [mm] 0^2 \cdot [/mm] q = p$,
also;
$Var[X] = [mm] E[X^2]-(E[X])^2 [/mm] = p - [mm] p^2 [/mm] = [mm] p\cdot [/mm] (1-p) = pq$.
Ist nun $X$ Binomialverteilt mit den Parametern $n$ und $p$,
also:
$P(X=k) = {n [mm] \choose [/mm] k} [mm] \cdot p^k \cdot q^{n-k}$ [/mm] für [mm] $k=0,1,\ldots,n$,
[/mm]
dann lässt sich $X$ als Bernoulli-Kette auffassen, also schreiben als Summe [mm] $\sum\limits_{i=1}^n X_i [/mm] = [mm] X_1 [/mm] + [mm] X_2 [/mm] + [mm] \ldots [/mm] + [mm] X_n$ [/mm] unabhängiger Bernoulli-verteilter Zufallsvariabeln [mm] $X_i$ ($i=1,2,\ldots,n$).
[/mm]
Für den Erwartungswert von $X$ gilt dann:
$E [X] = [mm] E\left[ \sum\limits_{i=1}^n X_i \right] [/mm] = [mm] \sum\limits_{i=1}^n E[X_i] [/mm] = [mm] \sum\limits_{i=1}^n [/mm] p = n p$,
und für die (hier gesuchte!) Varianz folgt ebenso (beachte bitte, dass man nur deswegen die Summe "raus ziehen" darf, weil die Zufallsvariablen [mm] $X_i$ [/mm] unabhängig sind!):
$Var[X] = [mm] Var\left[ \sum\limits_{i=1}^n X_i \right] [/mm] = [mm] \sum\limits_{i=1}^n Var[X_i] [/mm] = [mm] \sum\limits_{i=1}^n [/mm] pq = npq$.
Liebe Grüße
Julius
|
|
|
|
