Varianz der Normalverteilung < Wahrscheinlichkeitstheorie < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Eine Zufallsvariable X heißt normalverteilt mit den Parametern [mm] \mu [/mm] und [mm] \sigma, [/mm] wenn sie die Dichtefunktion
f(x) = [mm] \bruch{1}{\sigma \wurzel{2 \pi}} e^{-\bruch{1}{2}(\bruch{x - \mu}{\sigma})^2}
[/mm]
besitzt ... Die Varianz kann mit partieller Integration nachgerechnet werden. Es reicht, diese Rechnung für die standardisierte Zufallsvariable Z mit [mm] \mu [/mm] = 0, [mm] \sigma [/mm] = 1 zu machen. |
Hallo,
ich habe hierzu zwei Fragen:
1) Dass die Standardisierung
Z = [mm] \bruch{X - \mu}{\sigma}
[/mm]
der Zufallsvariablen X die Parameter E(Z) = 0 und Var(Z) = 1 hat, ist mir bekannt. Aber gilt das auch im Umkehrschluss? Also folgt aus E(Z) = 0 und Var(Z) = 1 auch automatisch E(X) = [mm] \mu [/mm] und Var(X) = [mm] \sigma?
[/mm]
2) Mit [mm] \sigma [/mm] = [mm] E(X^2) [/mm] - [mm] \mu^2 [/mm] kann ich zeigen, dass die Varianz der Zufallsvariablen mit Dichtefunktion
f(x) = [mm] \bruch{1}{\wurzel{2 \pi}} e^{\bruch{-x^2}{2}}
[/mm]
gleich 1 ist. Allerdings nicht mit "partieller Integration" sondern durch Substitution. Ist das ein Fehler im Buch, oder worauf bezieht sich das mit der partiellen Integration hier?
Danke & Gruß,
Martin
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Hiho,
> ich habe hierzu zwei Fragen:
>
> 1) Dass die Standardisierung
> Z = [mm]\bruch{X - \mu}{\sigma}[/mm]
>
> der Zufallsvariablen X die Parameter E(Z) = 0 und Var(Z) =
> 1 hat, ist mir bekannt. Aber gilt das auch im
> Umkehrschluss? Also folgt aus E(Z) = 0 und Var(Z) = 1 auch
> automatisch E(X) = [mm]\mu[/mm] und Var(X) = [mm]\sigma?[/mm]
Ja, das kannst du doch analog einfach nachrechnen!
Wie zeigst du denn, dass $E[Z] = 0$ wenn $X [mm] \sim N(\mu,\sigma^2)$ [/mm] gegeben ist?
Nun zeige mal analog: Ist $E[Z] = 0$ so ist $E[X] = [mm] \mu$
[/mm]
Der Weg ist der derselbe…
> 2) Mit [mm]\sigma[/mm] = [mm]E(X^2)[/mm] - [mm]\mu^2[/mm] kann ich zeigen,
Wenn überhaupt: [mm] mm]\sigma^2 [/mm] = [mm] E(X^2) [/mm] - [mm] \mu^2[/mm] [/mm]
> dass die Varianz der Zufallsvariablen mit Dichtefunktion
>
> f(x) = [mm]\bruch{1}{\wurzel{2 \pi}} e^{\bruch{-x^2}{2}}[/mm]
> gleich 1 ist.
Dafür brauchst du aber nicht [mm]\sigma^2 = E(X^2) - \mu^2[/mm]
Die Varianz einer beliebigen ZV mit Dichtefunktion
[mm]f(x) = \bruch{1}{\wurzel{2 \pi}} e^{\bruch{-x^2}{2}}[/mm]
ist gleich 1.
Das folgt übrigens durch einfaches ausrechnen.
> Allerdings nicht mit "partieller Integration"
> sondern durch Substitution. Ist das ein Fehler im Buch,
> oder worauf bezieht sich das mit der partiellen Integration hier?
Viele Wege führen bekanntlich nach Rom.
Ich würde sogar behaupten, dass man beides benötigt: Die Berechnung von [mm] $\int_{\IR} [/mm] xf(x) dx$ erledigt man fix mit Substitution.
Die Berechnung von [mm] $\int_{\IR} [/mm] x^2f(x) dx$ führt man per partieller Integration auf die Berechnung von [mm] $\int_{\IR} [/mm] xf(x) dx$ zurück.
Gruß,
Gono
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> Ich würde sogar behaupten, dass man beides benötigt: Die
> Berechnung von [mm]\int_{\IR} xf(x) dx[/mm] erledigt man fix mit
> Substitution.
Ja, ich merke auch mittlerweile, dass meine Rechnung falsch war, und ich nur zufällig auf den Wert 1 gekommen bin.
Tatsächlich hab ich wieder mal Probleme, das gesuchte Integral zu berechnen:
Var(X) = [mm] \integral_{-\infty}^{\infty}{\bruch{x^2}{\wurzel{2\pi}} e^{-\bruch{x^2}{2}} dx} [/mm] = [mm] \bruch{1}{\wurzel{2 \pi}} \integral_{-\infty}^{\infty}{x^2 e^{-\bruch{x^2}{2}} dx}
[/mm]
Wegen
[mm] \integral{x e^{-\bruch{x^2}{2}} dx} [/mm] = [mm] -e^{-\bruch{x^2}{2}}
[/mm]
gilt
[mm] \integral{x^2 e^{-\bruch{x^2}{2}} dx} [/mm] = [mm] \integral{x x e^{-\bruch{x^2}{2}} dx} [/mm] = [mm] -xe^{-\bruch{x^2}{2}} [/mm] + [mm] \integral{e^{\bruch{-x^2}{2}} dx}.
[/mm]
Aber wie berechne ich nun [mm] \integral{e^{\bruch{-x^2}{2}} dx}? [/mm] Für eine Substitution fehlt mir ja der x-Faktor!
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Hiho,
> [mm]\integral{x^2 e^{-\bruch{x^2}{2}} dx}[/mm] = [mm]\integral{x x e^{-\bruch{x^2}{2}} dx}[/mm]
> = [mm]-xe^{-\bruch{x^2}{2}}[/mm] + [mm]\integral{e^{\bruch{-x^2}{2}} dx}.[/mm]
>
> Aber wie berechne ich nun [mm]\integral{e^{\bruch{-x^2}{2}} dx}?[/mm]
Gar nicht.
Für diesen Ausdruck gibt es keine geschlossene Form, den brauchst du aber auch gar nicht.
Was du nämlich völlig unterschlägst, ist der Integrationsbereich!
Denn du kennst zwar nicht [mm]\integral{e^{\bruch{-x^2}{2}} dx}[/mm], aber [mm]\integral_{-\infty}^\infty {e^{\bruch{-x^2}{2}} dx}[/mm] sehr wohl!
Denn gegeben ist ja, dass $f$ eine Dichtefunktion ist, was muss sie dann aufintegriert ergeben?
Gruß,
Gono
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