Varianz des Schätzers < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 08:57 Mi 17.11.2010 | | Autor: | Peter4 |
| Aufgabe | Seien die Zufallsvariablen [mm] X_1,...,X_n [/mm] iid stetig gleichverteilt auf [v,2v], v > 0 unbekannt. Zeigen Sie, dass für
w := 1/2 [mm] max(X_1,...,X_n)
[/mm]
gilt Var w -> 0 für n -> unendlich. Berechnen Sie dazu Var w. |
v soll "Theta" sein. In der Aufgabenstellung siehts aber mehr nach einem geschwungenen "v" aus.
w soll "Theta Dach" sein, also der Schätzer für "Theta".
Das war mein Lösungsansatz:
Var(w) = [mm] E(w^2) [/mm] - [mm] E(w)^2
[/mm]
E(w) = (2n+1)/(2n+2)*v. heißt bei n->unendlich geht der Ausdruck gegen v.
(Ich bin mir zu 99% sicher, dass das richtig ist, heißt das braucht niemand nachzurechnen)
Damit die Varianz 0 wird muss der andere Ausdruck [mm] (E(w^2) [/mm] ) also gegen [mm] v^2 [/mm] konvergieren. Aber irgendwie bekomme ich da nur Unsinn raus.
Frage 1: Ist es in dieser Aufgabe sinnvoll die Varianz so auszurechnen?
Frage 2: Falls ja, wie rechne ich den Erwartungswert von [mm] w^2 [/mm] aus?
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Wie verlangt:
Schreibe also bitte einen der folgenden Sätze an den Anfang oder das Ende Deiner Frage (abtippen oder kopieren):
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:37 Do 18.11.2010 | | Autor: | ullim |
Hi,
man kann bei der Berechnung des zweiten Moments, also [mm] E(w^2) [/mm] genauso vorgehen wie bei der Berechnung des Erwartungswertes E(w)
Die Verteilungsfunktion vom [mm] max(x_1 [/mm] .. [mm] x_n) [/mm] ist ja
[mm] F(x)=\begin{cases} 0 & \mbox{für } x<\theta \\ \left(\br{x-\theta}{\theta}\right)^n & \mbox{für } \theta \le x \le 2*\theta \\ 1 & \mbox{für } x>2*\theta\end{cases}
[/mm]
und die Dichte deshalb
[mm] f(x)=\begin{cases} 0 & \mbox{für } x<\theta \\ \br{n}{\theta}*\left(\br{x-\theta}{\theta}\right)^{n-1} & \mbox{für } \theta \le x \le 2*\theta \\ 1 & \mbox{für } x>2*\theta\end{cases}
[/mm]
Das erste Moment (Erwartungswert) von [mm] w=\br{1}{2}*max(x_1 [/mm] ... [mm] x_n) [/mm] berechnet sich deshalb zu [mm] E(w)=\br{1}{2}\integral_{-\infty}^{\infty}{x*f(x) dx}=\theta*\br{2n+1}{2n+2} [/mm] und das zweite Moment zu [mm] E(w^2)=\br{1}{4}\integral_{-\infty}^{\infty}{x^2*f(x) dx}=\theta^2*\br{4n^2+8n+2}{4n^2+12n+8}
[/mm]
Damit ergibt sich die Varianz zu [mm] Var(w)=\theta^2*\br{n}{4*(n+1)^2*(n+2)} [/mm] was gegen Null konvergiert bei [mm] {n\rightarrow\infty}
[/mm]
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:35 Do 18.11.2010 | | Autor: | Peter4 |
Vielen Dank! :)
Ich glaube mein Fehler war, dass ich bei [mm] E(w^2) [/mm] vergessen habe das anfängliche x im Integral ebenfalls zu quadrieren.
Noch eine dumme Frage: Du hast im Integral bei f(x) das x nicht quadriert. Absicht oder Tippfehler? Falls ersteres, kannst du mir gerade nochmal auf die Sprünge helfen warum das so gehört?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:46 Do 18.11.2010 | | Autor: | ullim |
Hi,
meintest Du das hier
[mm] E(w)=\br{1}{2}\integral_{-\infty}^{\infty}{x\cdot{}f(x) dx}, [/mm] so berechnet man den Erwartungswert. Beim zweiten Moment steht auch [mm] x^2 [/mm] im Integrant.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:01 Fr 19.11.2010 | | Autor: | Peter4 |
Nein, da habe ich mich wohl etwas doof ausgedrückt. Ich meinte das zweite Integral, also das von [mm] E(w^2).
[/mm]
Dort steht [mm] x^2*f(x) [/mm] dx und nicht [mm] x^2*f(x^2) [/mm] dx.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:37 Fr 19.11.2010 | | Autor: | ullim |
Hi,
> Nein, da habe ich mich wohl etwas doof ausgedrückt. Ich
> meinte das zweite Integral, also das von [mm]E(w^2).[/mm]
> Dort steht [mm]x^2*f(x)[/mm] dx und nicht [mm]x^2*f(x^2)[/mm] dx.
Das ist auch richtig so. Das m-te Moment wird durch [mm] \integral_{-\infty}^{\infty}{x^m*f(x) dx} [/mm] berechnet. In der Dichte f(x) kommen keine Potenzen rein.
Siehe auch ![[]](/images/popup.gif) hier
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 08:11 Di 23.11.2010 | | Autor: | Peter4 |
Ok, danke! Das leuchtet mir zwar nicht wirklich ein warum das so ist, also nehme ich das einfach mal als gegeben hin.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:15 Fr 19.11.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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