Varianz einer Normalverteilung < Stochastik < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | In bestimmten Altersstufen kann die Körpergröße von Kindern als normalverteilt angesehen werden. Betrachtet man 4jährige so stellt man fest, dass 3% kleiner als 96 cm sind und 3% größer als 111cm. (Das dazu gehörige Diagramm ist symmetrisch zum Erwartungswert.)
Hinweis: Beachten Sie, dass mit der körpergröße 96cm das Intervall [95,5 cm; 96,5cm[ gemeint ist.
a) Bestimmen Sie den Erwartungswert.
b) Bestimmen Sie die Varianz. |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Da dieses Diagramm, wie oben erwähnt, symmetrisch zum Erwartungswert ist, würde ich einfach um diesen zu berechnen den Mittelwert von 95.5cm und 111.5cm (den beiden uns bekannten 3% Grenzen) nehmen. Also (95,5 cm + 111.5 cm) /2 = 103.5 cm= E(X) (Erwartungswert also "müh")
Bei der Berechnung der Varianz habe ich Schwierigkeiten bzw. keinen Ansatz und bräuchte hier nun Hilfe.
(Falls meine Berechnung des Erwartungswertes falsch sein sollte, bitte ich um Korrektur.)
Danke!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:35 Sa 16.02.2008 | | Autor: | abakus |
Hallo Katharina,
Kleiner Tipp: nimm dir doch mal eine Tabelle der Normalverteilung und schau nach, bei welchem Sigma eine Wahrscheinlichkeit von (1-0,03)=0,97 erreicht wird.
Viele Grüße
Abakus
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Das Problem ist nur, dass in meinem Buch keine Normalverteilungstabelle drin ist. Kann ich das nur über Tabelle lösen? Oder gibts noch nen anderen Weg? Und: Ist mein Erwartungswert + Rechnung richtig???
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:32 Sa 16.02.2008 | | Autor: | oli_k |
Hi,
zuerst mal zur Rechnung:
An der Aufgabenstellung kannst du folgendes ablesen:
[mm] P(|X-µ|\le7,5)\ge0,94 [/mm] (das "müh" machst du übrigens mit AltGr+M)
Das kannst du umformen zu
[mm] \Phi(\bruch{7,5}{\sigma})\ge0,97
[/mm]
So, jetzt musst du das nach [mm] \sigma [/mm] umstellen - Jede Formelsammlung hat eine solche Tabelle inklusive. Garantiert auch deine!
Aber du hast es so gewollt, hier der komplizierte Weg ;) :
[mm] \Phi(z) [/mm] ist definiert als:
[mm] \bruch{1}{\wurzel{2\pi}}\integral_{-\infty}^{z}{e^{-\bruch{1}{2}t^2}dt} [/mm]
Also gilt es folgende Gleichung zu lösen:
[mm] \bruch{1}{\wurzel{2\pi}}\integral_{-\infty}^{\bruch{7,5}{\sigma}}{e^{-\bruch{1}{2}t^2}dt}\ge0,97
[/mm]
Vereinfacht:
[mm] ERF(\bruch{15*\wurzel{2}}{4\sigma})=0,94
[/mm]
Normalerweise sollte dein Rechner schon [mm] \Phi [/mm] berechnen können, ansonsten sollte er eigentlich wenigstens ERF (Fehlerfunktion) berechnen können.
Numerisches Berechnen würde per Hand sehr aufwendig sein, wenn du das auch noch wissen willst, dann frag danach und ich erkläre es ;)
Der Taschenrechner ist da doch schneller im numerischen Rechnen, der sagt mir [mm] \sigma\approx3,987678363
[/mm]
Grüße,
Oli
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:17 Sa 16.02.2008 | | Autor: | abakus |
Es ist eigentlich gar nicht möglich, dass ihr solche Aufgaben erhaltet, ohne vorher eine (welche auch immer) Möglichkeit zum Ablesen von Wahrscheinlichkeiten bzw. Varianzen kennengelernt zu haben. (Tabelle, Tafelwerk oder Taschenrechner??)
Wenn nicht: guckst du hier:
http://de.wikipedia.org/wiki/Tabelle_Standardnormalverteilung
(erster Treffer mit Google-Suchbegriff "Tabelle Normalverteilung")
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:34 Sa 16.02.2008 | | Autor: | oli_k |
Sorry,
dass ihr solange auf mich warten musstet und du mir voreilen musstest. Musste gerade noch zum Telefon und dieses elendige Integral- und Bruchtippen ist eine Qual finde ich ;)
Oli
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:42 Sa 16.02.2008 | | Autor: | Sabah |
Hallo
E(X)= 103,5
[mm] \Rightarrow \bruch{96-103,5}{z}=0.03
[/mm]
[mm] \Rightarrow \bruch{-7,5}{z}=0.03
[/mm]
weil Standartabweichung Positiv sein muss
= [mm] 1-\bruch{-7,5}{z}=0.03
[/mm]
[mm] \Rightarrow \bruch{7,5}{z}=0.97
[/mm]
[mm] \Rightarrow \bruch{7,5}{z}=1,88 [/mm] (Tabelle)
[mm] \Rightarrow [/mm] z=3.99
[mm] \Rightarrow [/mm] Varianz ca 16
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