Varianz schätzen < Statistik (Anwend.) < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 17:28 Sa 05.02.2011 | | Autor: | balisto |
| Aufgabe | Folgendes Datenmaterial
6.2 7.4 7.0 4.2 und 12.3 11.3 18.1 12.2 12.6 12.1
stellen unabhängige Stichproben von [mm] N(m_1,\sigma^2) [/mm] bzw. [mm] N(m_2,4 \sigma^2) [/mm] dar.
(a) Schätzen Sie [mm] \sigma^2 [/mm] erwartungstreu auf dem besten Weg.
(b) Berechnen Sie ein 95%-Konfidenzintervall für [mm] \sigma. [/mm] |
zu (a)
Ok, mein Problem ist, dass ich erstmal nicht so recht versteh, was "auf dem besten Weg" bedeutet. Ich geh einfach mal davon aus, dass unser Schätzer unter allen anderen erwartungstreuen Schätzern die geringste Varianz haben soll.
Ok, wie stell ich das am besten an?
Einen beliebigen erwartungstreuen Schätzer könnte ich z.B. angeben durch
[mm] \sigma^{\*}= \bruch{1}{5}(S_1^2 +S_2^2)
[/mm]
wobei [mm] S_i^2= \bruch{1}{n_i}\summe_{j=1}^{n_i}(X_i-\overline{X})^2
[/mm]
in unserem Fall ist [mm] n_1=4 [/mm] und [mm] n_2=6. [/mm]
[mm] \overline{X} [/mm] soll das arithmetische Mittel der jeweiligen Stichprobe darstellen.
Da [mm] S_i^2 [/mm] ein erwartungstreuer Schätzer für die Varianz einer Normalverteilung darstellt, bekommen wir als Erwartungswert unseres Schätzers folgenden Wert: [mm] E[\sigma^{\*}]=\bruch{1}{5}(\sigma^2+4 \sigma^2)=\sigma^2, [/mm] also erwartungstreu.
Gibt es aber vielleicht noch einen besseren erwartungstreuen Schätzer? Wie kann ich den finden?
zu (b)
Ok, das hängt ja jetzt von meinem Schätzer ab.
Mal angenommen, ich nehme meinen Schätzer von oben.
Ich weiß, dass [mm] \bruch{S_1^2(n_1-1)}{\sigma^2} [/mm] Chi-Quadrat-verteilt mit [mm] (n_1-1)=3 [/mm] Freiheitsgraden.
Ebenfalls weiß ich, dass [mm] \bruch{S_2^2(n_2-1)}{4\sigma^2} [/mm] Chi-Quadrat-verteilt mit [mm] (n_2-1)=5 [/mm] Freiheitsgraden.
Ok, aber irgendwie krieg ich dann keine gescheite Verteilung hin, in der unser Schätzer [mm] \sigma^{\*} [/mm] vorkommt, also so was wie [mm] g(\sigma^{\*}) [/mm] hat eine bestimmte Verteilung, wobei g halt eine Funktion von [mm] \sigma^{\*} [/mm] ist.
Hat jemand einen Tipp für mich?
Vielen Dank für Eure Hilfe!
Mit freundlichen Grüßen
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:05 Sa 05.02.2011 | | Autor: | Walde |
Hi balisto,
wenn man den Erwartungswert [mm] \mu [/mm] nicht kennt, sondern selbst durch [mm] \overline{X} [/mm] schätzen muss, ist [mm] S^2= \bruch{1}{n}\summe_{j=1}^{n}(X_i-\overline{X})^2 [/mm] kein erwartungstreuer Schätzer für [mm] \sigma^2. [/mm]
Für Details,kuck mal ![[]](/images/popup.gif) hier, da steht auch ein erwartungstreuer.
LG walde
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(Frage) überfällig | | Datum: | 19:03 Sa 05.02.2011 | | Autor: | balisto |
Ah, natürlich, es muss [mm] \bruch{1}{n_i-1} [/mm] heißen!
Daran hab ich auch gedacht, es nur falsch aufgeschrieben 
Aber wenn ich [mm] \sigma^{\*} [/mm] so definier wie oben (eben mit besagter Korrektur), dann ist mein Schätzer ja schon erwartungstreu, oder?
Wie kann ich aber einen besseren finden, sprich: Einen mit geringerer Varianz, der aber trotzdem noch erwartungstreu ist?
Und bei der (b) finde ich auch keine gescheite Antwort :(
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 05:30 So 06.02.2011 | | Autor: | Walde |
Hi,
> Ah, natürlich, es muss [mm]\bruch{1}{n_i-1}[/mm] heißen!
> Daran hab ich auch gedacht, es nur falsch aufgeschrieben
>
>
> Aber wenn ich [mm]\sigma^{\*}[/mm] so definier wie oben (eben mit
> besagter Korrektur), dann ist mein Schätzer ja schon
> erwartungstreu, oder?
Würde ich sagen, ja.
>
> Wie kann ich aber einen besseren finden, sprich: Einen mit
> geringerer Varianz, der aber trotzdem noch erwartungstreu
> ist?
Puh, ich muss ganz ehrlich sagen, da muss jemand mit richtig Ahnung ran, meine Statistik Zeit, ist schon ne Weile her, ich hab nur gefährliches Halbwissen. Ich kann mich nicht erinnern, schonmal von nem anderen (ewtreuen) Schätzer der Varianz gelesen zu haben, was aber nix heisst. Und was "...auf bestem Weg" heissen soll, kann ich mir auch nicht vorstellen. Ohne weitere Info's würde ich's bei dem belassen.
>
> Und bei der (b) finde ich auch keine gescheite Antwort :(
Ich könnte evtl morgen nochmal drüber nachdenken, (im Moment komm ich von ner Party u hab einen sitzen) aber wie gesagt, ich hoffe für dich, dass jemand mit richtig Ahnung das hier liest
LG walde
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:37 So 06.02.2011 | | Autor: | Walde |
Hi Balisto,
sag mal, könnte mit "auf bestem Wege" so gemeint sein, dass man überlegen soll, welche Stichprobe und damit welchen der Schätzer [mm] S_1 [/mm] oder [mm] \bruch{1}{4}S_2 [/mm] man für die Schätzung von [mm] \sigma^2 [/mm] nehmen soll. Es wäre ja der zu bevorzugen, der die geringere Varianz aufweist.
Nur so ein Gedanke.
LG walde
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:23 So 06.02.2011 | | Autor: | Walde |
Hehe ok Wenn du die Aufgabe korrigiert zurück kriegst, schreib mal wie man es hätte machen sollen, würde mich interessieren.
LG walde
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:56 So 06.02.2011 | | Autor: | balisto |
Wird gemacht!
VlG,
balisto
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:21 Di 08.02.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:42 So 06.02.2011 | | Autor: | luis52 |
Moin,
kann es mir nicht verkneifen, meinen Senf beizusteuern. So richtig geglueckt sind die Korrekturen des ersten Postings noch nicht: Die Schaetzer lauten
$ [mm] S_i^2= \bruch{1}{n_i-1}\summe_{j=1}^{n_i}(X_\red{j}-\overline{X}_\red{i})^2$.
[/mm]
Der von dir vorgeschlagene Schaetzer $ [mm] \bruch{1}{5}(S_1^2 +S_2^2) [/mm] $ ist *eine* Moeglichkeit. Aber jeder Sch"atzer der Form [mm] $S_\alpha^2=\alpha S_1^2+(1-\alpha)S_2^2/4$, $0\le\alpha\le1$, [/mm] ist e.t. Ich kann mir vorstellen, dass du denjenigen Schaetzer [mm] $S_\alpha^2$ [/mm] bestimmen sollst, der varianzminimal ist.
Nur [mm] $S_1^2$ [/mm] oder [mm] $S_2^2$ [/mm] zu verwenden (gehoeren auch zu [mm] $S_\alpha^2$) [/mm] halte ich fuer keine gute Idee, weil dann Informationen verschenkt werden.
vg Luis
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(Frage) überfällig | | Datum: | 22:02 So 06.02.2011 | | Autor: | balisto |
Aha, das klingt natürlich auch logisch.
Dass das alles erwartungstreue Schätzer sind, ist mir klar.
Aber gibt es vielleicht auch noch andere?
Naja, ich schau mal, welches [mm] \alpha [/mm] die Varianz minimiert.
Danke für den Tipp!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:20 Di 08.02.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:17 So 06.02.2011 | | Autor: | balisto |
Puh, ganz schöne Rechnerei...
Wenn ich mich nicht verrechnet habe, wird die Varianz bei [mm] \alpha [/mm] = [mm] \bruch{3}{8} [/mm] minimiert... Vielleicht habe ich mich aber auch verrechnet
[mm] \sigma^2 [/mm] könnten wir dann an Hand der Daten mit ca. 1,727 schätzen.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:20 Di 08.02.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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