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| Aufgabe | mv'(t)=mg-kv(t), mit m,g,k=const.>0
Die allgemeine Lösung dieser inhomogenen DGL ist die Summe aus einer speziellen Lösung dieser DGL und der allgemeinen Lösung der zugehörigen homogenen Gleichung. Suchen Sie nach einer speziellen Lösung mit dem Ansatz [mm] v_s(t)=v_0(t)v_h(t) [/mm] |
Hi!
Ich habe die DGL erstmal etwas umgeschrieben: mv'(t)=mg-kv(t) [mm] \gdw v'(t)+\frac{k}{m}v=g
[/mm]
Nun bestimme ich zuerst die allgemeine Lösung der homogenen Gleichung: [mm] v'+\frac{k}{m}v=0
[/mm]
[mm] v'+\frac{k}{m}v=0 [/mm]
[mm] \gdw [/mm] v' = [mm] -\frac{k}{m}v [/mm]
[mm] \gdw \frac{dv}{dt}=-\frac{k}{m}v [/mm]
[mm] \gdw \frac{dv}{v}=-\frac{k}{m}dt [/mm]
[mm] \gdw \int\frac{dv}{v}=\int -\frac{k}{m}dt [/mm]
[mm] \gdw ln(v)=-\frac{k}{m}t
[/mm]
[mm] \gdw v=e^{-\frac{k}{m}t}
[/mm]
Allgemeine Lösung: [mm] v_h=C*e^{-\frac{k}{m}t} [/mm]
Wie genau muss ich jetzt weitermachen? Kann die entsprechende Vorlesung leider nicht besuchen und muss mir das daher mehr oder weniger selber beibringen.
Dankeschön
Gruß Patrick
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Hallo XPatrickX,
> mv'(t)=mg-kv(t), mit m,g,k=const.>0
> Die allgemeine Lösung dieser inhomogenen DGL ist die Summe
> aus einer speziellen Lösung dieser DGL und der allgemeinen
> Lösung der zugehörigen homogenen Gleichung. Suchen Sie nach
> einer speziellen Lösung mit dem Ansatz [mm]v_s(t)=v_0(t)v_h(t)[/mm]
> Hi!
> Ich habe die DGL erstmal etwas umgeschrieben:
> mv'(t)=mg-kv(t) [mm]\gdw v'(t)+\frac{k}{m}v=g[/mm]
>
> Nun bestimme ich zuerst die allgemeine Lösung der homogenen
> Gleichung: [mm]v'+\frac{k}{m}v=0[/mm]
>
> [mm]v'+\frac{k}{m}v=0[/mm]
> [mm]\gdw[/mm] v' = [mm]-\frac{k}{m}v[/mm]
> [mm]\gdw \frac{dv}{dt}=-\frac{k}{m}v[/mm]
> [mm]\gdw \frac{dv}{v}=-\frac{k}{m}dt[/mm]
> [mm]\gdw \int\frac{dv}{v}=\int -\frac{k}{m}dt[/mm]
> [mm]\gdw ln(v)=-\frac{k}{m}t[/mm]
> [mm]\gdw v=e^{-\frac{k}{m}t}[/mm]
>
> Allgemeine Lösung: [mm]v_h=C*e^{-\frac{k}{m}t}[/mm]
>
>
> Wie genau muss ich jetzt weitermachen? Kann die
> entsprechende Vorlesung leider nicht besuchen und muss mir
> das daher mehr oder weniger selber beibringen.
Mache jetzt C auch von t abhängig.
Dann ist Dein Ansatz: [mm]v\left(t\right)=C\left(t\right)*e^{-\bruch{k}{m}t}[/mm]
Mit diesem Ansatz gehst Du jetzt in die DGL
[mm]v'(t)+\bruch{k}{m}v=g[/mm]
hinein und bestimmst dann [mm]C\left(t\right)[/mm].
>
> Dankeschön
> Gruß Patrick
>
Gruß
MathePower
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Vielen Dank. Ich bin schonmal einen großen Schritt weiter.
Also wenn ich dieses v(t) in die DGL einsetze komme ich auf [mm] C'(t)*e^{-\frac{k}{m}*t}=g
[/mm]
[mm] \gdw C'(t)=g*e^{\frac{k}{m}*t}
[/mm]
Also: [mm] C(t)=\frac{m}{k}*g*e^{\frac{k}{m}*t}
[/mm]
Ist das jetzte meine spezielle Lösung? In der Aufgabenstellung steht ja:
Die allgemeine Lösung dieser inhomogenen DGL ist die Summe aus einer speziellen Lösung dieser DGL und der allgemeinen Lösung der zugehörigen homogenen Gleichung.
Wäre meine Gesamtlösung dann: [mm] C*e^{-\frac{k}{m}*t} \red{+} \frac{m}{k}*g*e^{\frac{k}{m}*t} [/mm] ???
Ich muss nämlich anschließend auch noch den Grenzwert für t [mm] \to \infty [/mm] bestimmen. Diese Summe würde ja divergieren.
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Hallo XPatrickX,
> Vielen Dank. Ich bin schonmal einen großen Schritt weiter.
> Also wenn ich dieses v(t) in die DGL einsetze komme ich auf
> [mm]C'(t)*e^{-\frac{k}{m}*t}=g[/mm]
> [mm]\gdw C'(t)=g*e^{\frac{k}{m}*t}[/mm]
>
> Also: [mm]C(t)=\frac{m}{k}*g*e^{\frac{k}{m}*t}[/mm]
>
> Ist das jetzte meine spezielle Lösung? In der
Die spezielle Lösung ergibt sich gemäß
[mm]v\left(t\right)=C\left(t\right)*e^{-\bruch{k}{m}t}=\bruch{mg}{k}e^{\bruch{k}{m}t}e^{-\bruch{k}{m}t}=\bruch{mg}{k}[/mm]
> Aufgabenstellung steht ja:
> Die allgemeine Lösung dieser inhomogenen DGL ist die Summe
> aus einer speziellen Lösung dieser DGL und der allgemeinen
> Lösung der zugehörigen homogenen Gleichung.
>
> Wäre meine Gesamtlösung dann: [mm]C*e^{-\frac{k}{m}*t} \red{+} \frac{m}{k}*g*e^{\frac{k}{m}*t}[/mm]
> ???
Gesamtlösung ist dann:
[mm]v\left(t\right)=C*e^{-\bruch{k}{m}t}+\bruch{mg}{k}[/mm]
>
> Ich muss nämlich anschließend auch noch den Grenzwert für t
> [mm]\to \infty[/mm] bestimmen. Diese Summe würde ja divergieren.
Gruß
MathePower
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:51 Di 25.11.2008 | | Autor: | XPatrickX |
Ahh! Okay, ich denke das habe ich kapiert. Danke Dir.
Jetzt kommt ja auch ein vernünftiger Grenzwert heraus 
Grüße Patrick
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