Variation der Konstanten 2 ODE < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:40 Fr 18.03.2011 | | Autor: | kushkush |
| Aufgabe | | [mm] $y''(x)+\lambda^{2}y(x)=cos(\mu [/mm] x)$ |
Hallo,
Homo: [mm] $y_{h}(x)=c_{1}cos(\lambda [/mm] x) + [mm] c_{2}sin(\lambda [/mm] x)$
Ich habe die Partikulärlösung mit dem Ansatz [mm] $Acos(\mu [/mm] x) + Bsin( [mm] \mu [/mm] x)$ rausbekommen: [mm] $\frac{cos(\mu x)}{\lambda^{2}-\mu ^{2}}$
[/mm]
Mit Variation der Konstanten:
$y''(x)= [mm] (c_{1}(x)y''_{1}+c_{2}(x)y''_{2})+(c_{1}(x)'y'_{1}+c_{2}(x)'y'_{2})$
[/mm]
Und dann weiter:
[mm] $C_{1}'y_{1}+C_{2}' y_{1}=0$
[/mm]
[mm] $C_{1}'y_{1}'+C_{2}'y_{2}'=cos(\mu [/mm] x)$
[mm] $\Rightarrow$
[/mm]
[mm] $C_{1}'cos(\lambda [/mm] x) + [mm] C_{2}' sin(\lambda [/mm] x)=0$
[mm] $-C_{1}'\lambda sin(\lambda [/mm] x) + [mm] C_{2}'\lambda cos(\lambda [/mm] x)= [mm] cos(\mu [/mm] x)$
Aus der zweiten Gleichung folgt: [mm] $C_{1}'=\frac{cos(\mu x)- C_{2}' \lambda cos(\lambda x)}{- \lambda sin(\lambda x)}$
[/mm]
dann $ [mm] C_{2}'=cos(\lambda [/mm] x) [mm] cos(\mu [/mm] x)= [mm] \frac{1}{2}cos(\lambda x-\mu x)+\frac{1}{2}cos(\lambda x+\mu [/mm] x)$
und für [mm] $C_{2}= \frac{\lambda sin(\lambda x) cos(\mu x)}{\lambda ^{2}-\mu ^{2}}+ \frac{\mu cos(\lambda x) sin(\mu x)}{\lambda^{2}-\mu ^{2}}$
[/mm]
Was stimmt hier nichT?
Danke und Gruss
kushkush
|
|
| |
|
Hallo kushkush,
> [mm]y''(x)+\lambda^{2}y(x)=cos(\mu x)[/mm]
>
>
> Hallo,
>
>
> Homo: [mm]y_{h}(x)=c_{1}cos(\lambda x) + c_{2}sin(\lambda x)[/mm]
>
>
> Ich habe die Partikulärlösung mit dem Ansatz [mm]Acos(\mu x) + Bsin( \mu x)[/mm]
> rausbekommen: [mm]\frac{cos(\mu x)}{\lambda^{2}-\mu ^{2}}[/mm]
>
>
> Mit Variation der Konstanten:
>
> [mm]y''(x)= (c_{1}(x)y''_{1}+c_{2}(x)y''_{2})+(c_{1}(x)'y'_{1}+c_{2}(x)'y'_{2})[/mm]
>
>
> Und dann weiter:
> [mm]C_{1}'y_{1}+C_{2}' y_{1}=0[/mm]
>
> [mm]C_{1}'y_{1}'+C_{2}'y_{2}'=cos(\mu x)[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow[/mm]
>
> [mm]C_{1}'cos(\lambda x) + C_{2}' sin(\lambda x)=0[/mm]
>
> [mm]-C_{1}'\lambda sin(\lambda x) + C_{2}'\lambda cos(\lambda x)= cos(\mu x)[/mm]
>
> Aus der zweiten Gleichung folgt: [mm]C_{1}'=\frac{cos(\mu x)- C_{2}' \lambda cos(\lambda x)}{- \lambda sin(\lambda x)}[/mm]
>
>
> dann [mm]C_{2}'=cos(\lambda x) cos(\mu x)= \frac{1}{2}cos(\lambda x-\mu x)+\frac{1}{2}cos(\lambda x+\mu x)[/mm]
>
> und für [mm]C_{2}= \frac{\lambda sin(\lambda x) cos(\mu x)}{\lambda ^{2}-\mu ^{2}}+ \frac{\mu cos(\lambda x) sin(\mu x)}{\lambda^{2}-\mu ^{2}}[/mm]
>
>
> Was stimmt hier nichT?
>
Da Du einen spezifischen Ansatz gewählt hast,
[mm]Acos(\mu x) + Bsin( \mu x)[/mm]
ist die Methode der Variation der Konstanten nicht zu verwenden.
Außerdem gilt dieser Ansatz nur für [mm]\mu \not= \lambda[/mm]
Bei der Variation der Konstanten werden die Konstanten in der
Lösung der homogenen DGL zusätzlich von x abhängig gemacht.
Daher der Ansatz:
[mm]C_{1}\left(x\right)cos(\lambda x) + C_{2}\left(x\right)\sin(\lambda x)[/mm]
>
> Danke und Gruss
>
> kushkush
Gruss
MathePower
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:38 Fr 18.03.2011 | | Autor: | kushkush |
Hallo,
> ist die Methode der Variation der Konstanten nicht zu verwenden.
Ja, aber ich will das mit Variation der Konstanten lösen.
[mm] C_{1}' [/mm] steht hier für [mm] C_{1}(x)'! [/mm]
Wäre es eine DGL 1ter Ordnung dann könnte ich ja einsetzen und ich hätte nur eine Konstante, also höchstens [mm] C_{1}'(x) [/mm] ... da ich hier y''(x) habe hätte ich dann [mm] C_{1}(x)'' [/mm] und [mm] C_{2}(x)'' [/mm] . Also muss ich dann mit deinem Ansatz zwei Mal integrieren???
> Gruss
Danke
Gruss
kushkush
|
|
|
| |
|
Hallo kushkush,
> Hallo,
>
> > ist die Methode der Variation der Konstanten nicht zu
> verwenden.
>
>
> Ja, aber ich will das mit Variation der Konstanten lösen.
>
> [mm]C_{1}'[/mm] steht hier für [mm]C_{1}(x)'![/mm]
>
> Wäre es eine DGL 1ter Ordnung dann könnte ich ja
> einsetzen und ich hätte nur eine Konstante, also
> höchstens [mm]C_{1}'(x)[/mm] ... da ich hier y''(x) habe hätte ich
> dann [mm]C_{1}(x)''[/mm] und [mm]C_{2}(x)''[/mm] . Also muss ich dann mit
> deinem Ansatz zwei Mal integrieren???
>
Nein.
Stelle erst mal die Bedingungsgleichungen auf.
>
> > Gruss
>
> Danke
>
> Gruss
>
> kushkush
>
>
Gruss
MathePower
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:30 Fr 18.03.2011 | | Autor: | kushkush |
Hallo Mathepower,
> Bedingungsgleichung
Der Ansatz:
[mm] $\lambda [/mm] := a$ und [mm] $\mu:= [/mm] b$
[mm] $y(x)=c_{1}(x)cos(ax)+c_{2}(x)sin(ax)$ [/mm]
[mm] $y'(x)=c'_{1}(x)cos(ax)-ac_{1}(x)sin(ax)+c'_{2}(x)sin(ax)+ac_{2}(x)cos(ax)$
[/mm]
[mm] $y''(x)=c''_{1}(x)cos(ax)-ac'_{1}(x)sin(ax)+c''_{2}(x)sin(ax)+ac'_{2}(x)cos(ax)-ac'_{1}(x)sin(ax)-a^{2}c_{1}(x)cos(ax)+ac'_{2}(x)cos(ax)-a^{2}c_{2}(x)sin(ax)$
[/mm]
das ergibt jetzt für
[mm] $y''(x)+a^{2}y(x)= c''_{1}(x)cos(ax)-ac'_{1}sin(ax)+c''_{2}(x)sin(ax)+ac'_{2}(x)cos(ax)-ac'_{1}(x)sin(ax)-a^{2}c_{1}(x)cos(ax)+ac'_{2}(x)cos(ax)-a^{2}c_{2}(x)sin(ax) [/mm] + [mm] a^{2}(c_{1}(x)cos(ax)+c_{2}(x)sin(ax))$
[/mm]
$ = c''_{1}(x)cos(ax)- [mm] \\ [/mm] ac'_{1}sin(ax)+c''_{2}(x)sin(ax)+ac'_{2}(x)cos(ax)-ac'_{1}(x)sin(ax)+ac'_{2}(x)cos(ax) = cos(bx) $
und da hab ich jetzt $c'_{1}(x)$ und $c''_{1}(x)$ und $c'_{2}(x)$ und $c''_{2}(x)$??
> Gruss
Danke
Gruss
kushkush
|
|
|
| |
|
Hallo kuskkush,
> Hallo Mathepower,
>
>
> > Bedingungsgleichung
>
>
> Der Ansatz:
> [mm]\lambda := a[/mm] und [mm]\mu:= b[/mm]
>
> [mm]y(x)=c_{1}(x)cos(ax)+c_{2}(x)sin(ax)[/mm]
>
> [mm]y'(x)=c'_{1}(x)cos(ax)-ac_{1}(x)sin(ax)+c'_{2}(x)sin(ax)+ac_{2}(x)cos(ax)[/mm]
>
> [mm]y''(x)=c''_{1}(x)cos(ax)-ac'_{1}(x)sin(ax)+c''_{2}(x)sin(ax)+ac'_{2}(x)cos(ax)-ac'_{1}(x)sin(ax)-a^{2}c_{1}(x)cos(ax)+ac'_{2}(x)cos(ax)-a^{2}c_{2}(x)sin(ax)[/mm]
>
>
> das ergibt jetzt für
>
> [mm]y''(x)+a^{2}y(x)= c''_{1}(x)cos(ax)-ac'_{1}sin(ax)+c''_{2}(x)sin(ax)+ac'_{2}(x)cos(ax)-ac'_{1}(x)sin(ax)-a^{2}c_{1}(x)cos(ax)+ac'_{2}(x)cos(ax)-a^{2}c_{2}(x)sin(ax) + a^{2}(c_{1}(x)cos(ax)+c_{2}(x)sin(ax))[/mm]
>
> [mm]= c''_{1}(x)cos(ax)- \\ ac'_{1}sin(ax)+c''_{2}(x)sin(ax)+ac'_{2}(x)cos(ax)-ac'_{1}(x)sin(ax)+ac'_{2}(x)cos(ax) = cos(bx)[/mm]
>
> und da hab ich jetzt [mm]c'_{1}(x)[/mm] und [mm]c''_{1}(x)[/mm] und [mm]c'_{2}(x)[/mm]
> und [mm]c''_{2}(x)[/mm]??
>
Es ist die Bedingung
[mm]c'_{1}(x)cos(ax)+c'_{2}(x)sin(ax)=0[/mm]
zu berücksichtigen.
> > Gruss
>
> Danke
>
> Gruss
>
> kushkush
Gruss
MathePower
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:53 Fr 18.03.2011 | | Autor: | kushkush |
Hallo Mathepower,
> Bedingung
Wie kommt man denn auf diese Bedingung??
Gruss
kushkush
|
|
|
| |
|
Hallo kushkush,
> Hallo Mathepower,
>
>
> > Bedingung
>
> Wie kommt man denn auf diese Bedingung??
>
Ich hab mir diese Bedingung hergleitet,
in dem ich de lineare DGL 2. Ordnung
in ein System von DGLn 1. Ordnung
umgewandelt habe.
>
>
> Gruss
>
> kushkush
Gruss
MathePower
|
|
|
|
