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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:16 Mo 12.03.2012 | | Autor: | clemenum |
| Aufgabe | Man ermittle die Anzahl aller vierstelligen Zahlen, die
a) gerade sind
b) durch 5 teilbar sind
c) zwischen 5700 und 5800 liegen
d) die Ziffern 1 u. 3 enthalten
wenn die Zahlen aus lauter verschiedenen Ziffern bestehen |
Zu a)
Ich mache es so, dass ich zuerst die 0 am Schluss wähle und mich frage, wie viele Zahlen es damit in der obigen Eigenschaft gibt.
Nun, das berechne ich so:
$9*8*7*1=504 $
Jetzt muss ich die Anzahl der Zahlen (obiger Eigenschaft) ermitteln, wo am Schluss keine Null steht:
Ich wähle also anfangs aus der Menge [mm] $\{1,2\ldots,9 \} [/mm] $ aus. Im nächsten Schritt kann ich nur mehr eine Zahl weniger wählen, jedoch darf ich ab hier die 0 wählen (sofern sie nicht am Rand gewählt wird) und erhalte somit:
$9*9*8*4 = 2592 $ Möglichkeiten. In der Lösung ist jedoch von 2296 die Rede. Was mache ich falsch?
Zu b)
Das gleiche Procedere wie in a), jedoch im Unterschied, dass am Schluss die Einer $ [mm] \in \{ 0,5\} [/mm] $ sind:
$9*9 *8*2 = 1296$, in der Lösung steht 952
Zu c) Die Tausenderstelle wird festgehalten. Ich betrachte das geschlossene Intervall $[5700,5800] $
Für die Hunderterstellenauswahl gibt es zwei Möglichkeiten. Für die Zehner und einer jeweils 10 Möglichkeiten, wobei aber eingebaut werden muss, dass sich Ziffern nicht wiederholen dürfen:
$1*1*8*7 = 56 $, in der Lösung steht: 56
Zu d)
Man kann klarerweise auf [mm] $\frac{4!}{(4-2 )! }= [/mm] 12 $ verschiedene Weisen vierstellige Zahlen bilden, die 1 u. 3 enthalten. (auf die Reihenfolge kommt es natürlich an, es gilt ja o.B.d.A. $1345 [mm] \neq [/mm] 1453 $ )
Ich fixiere die Zahlen 1 u. 3 am Anfang, habe also stehen: $1*1*8*7 = 56$, da es aber 12 Variationen gibt, muss ich sagen $56 *12 = 672 $, in der Lösung steht aber: 630
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:50 Mo 12.03.2012 | | Autor: | clemenum |
Hat jemand eine Idee, was ich falsch gemacht haben könnte?
Wäre über Eure Hilfe sehr dankbar! 
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:14 Mo 12.03.2012 | | Autor: | luis52 |
Moin
> Hat jemand eine Idee, was ich falsch gemacht haben könnte?
>
Leider nein, nur frage ich mich mich, was *ich* bei a) falsch mache: Die kleinste vierstellige Zahl ist 1000, die groesste 9999. Zaehle ich ab 1000 jede zweite Zahl, also alle geraden viestelligen Zahlen, so komme ich auf 4500 ...
vg Luis
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:49 Mo 12.03.2012 | | Autor: | tobit09 |
Hallo Luis,
das gleiche habe ich mich auch gefragt, bis ich irgendwann unscheinbar ganz unten (unterhalb von d) ) in der Aufgabenstellung fand:
"wenn die Zahlen aus lauter verschiedenen Ziffern bestehen"
Viele Grüße
Tobias
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:05 Mo 12.03.2012 | | Autor: | luis52 |
> das gleiche habe ich mich auch gefragt, bis ich irgendwann
> unscheinbar ganz unten (unterhalb von d) ) in der
> Aufgabenstellung fand:
>
> "wenn die Zahlen aus lauter verschiedenen Ziffern
> bestehen"
>
Ah vielen Dank, Tobias.
vg Luis
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:05 Mo 12.03.2012 | | Autor: | chrisno |
> Zu a)
> Ich mache es so, dass ich zuerst die 0 am Schluss wähle
> und mich frage, wie viele Zahlen es damit in der obigen
> Eigenschaft gibt.
> Nun, das berechne ich so:
> [mm]9*8*7*1=504[/mm]
das sehe ich auch so (ich bin aber zielihc ungeübt in Kombinatorik)
> Jetzt muss ich die Anzahl der Zahlen (obiger Eigenschaft)
> ermitteln, wo am Schluss keine Null steht:
> Ich wähle also anfangs aus der Menge [mm]\{1,2\ldots,9 \}[/mm] aus.
> Im nächsten Schritt kann ich nur mehr eine Zahl weniger
> wählen, jedoch darf ich ab hier die 0 wählen (sofern sie
> nicht am Rand gewählt wird) und erhalte somit:
> [mm]9*9*8*4 = 2592[/mm] Möglichkeiten. In der Lösung ist jedoch
> von 2296 die Rede. Was mache ich falsch?
Wenn bei den ersten Ziffern die gerdaen vorkommen, hast Du für die letzte nicht mehr so viel Auswahl. Mein Vorschlag: Untersuche wie viele Möglichkeiten es mit der Endziffer 2 gibt.
$8*8*7 = 448$ Das gilt genau so für die Endziffern 4, 6 und 8.
>
> Zu b)
> Das gleiche Procedere wie in a), jedoch im Unterschied,
> dass am Schluss die Einer [mm]\in \{ 0,5\}[/mm] sind:
> [mm]9*9 *8*2 = 1296[/mm], in der Lösung steht 952
Wie a) die Fälle mit Endziffer 0 und 5 getrennt betrachten.
>
> Zu c) Die Tausenderstelle wird festgehalten. Ich betrachte
> das geschlossene Intervall [mm][5700,5800][/mm]
> Für die Hunderterstellenauswahl gibt es zwei
> Möglichkeiten.
zwei?
> Für die Zehner und einer jeweils 10
> Möglichkeiten, wobei aber eingebaut werden muss, dass sich
> Ziffern nicht wiederholen dürfen:
> [mm]1*1*8*7 = 56 [/mm], in der Lösung steht: 56
Bist Du nicht zufrieden?
>
> Zu d)
> Man kann klarerweise auf [mm]\frac{4!}{(4-2 )! }= 12[/mm]
> verschiedene Weisen vierstellige Zahlen bilden, die 1 u. 3
> enthalten. (auf die Reihenfolge kommt es natürlich an, es
> gilt ja o.B.d.A. [mm]1345 \neq 1453[/mm] )
> Ich fixiere die Zahlen 1 u. 3 am Anfang, habe also stehen:
> [mm]1*1*8*7 = 56[/mm], da es aber 12 Variationen gibt, muss ich
> sagen [mm]56 *12 = 672 [/mm], in der Lösung steht aber: 630
>
Da ignorierst Du, dass die Ziffer 0 nicht als erste vorkommen darf.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:41 Mo 12.03.2012 | | Autor: | luis52 |
Moin clememum,
bei a) kann ich die Musterloesung nach vollziehen.
Zunaechst endet jede gerade Zahl mit $0,2,4,6,8_$. Betrachte die Faelle, wo $2_$ am Ende steht. Vorne koennen hier die Zahlen $1,3,4,...,9_$ stehen, was $8_$ Moeglichkeiten ausmacht. Wenn du vorne ein Ziffer gesetzt hast, koennen in der Mitte noch aus 8 Zahlen gewaehlt werden, was [mm] $\binom{8}{2}2!$ [/mm] Moeglichkeiten ausmacht. Dieses Argument gilt analog fuer die Zahlen $4,6,8_$ am Schluss. Die Gesamtheit dieser Faelle bestizt folglich die Haeufigkeit [mm] $4\cdot8\cdot2!\binom{8}{2}=1792$.
[/mm]
Die $0_$ am Ende ist ein Sonderfall. Vorne koennen die Zahlen $1,2,3,4,...,9_$ stehen, in der Mitte gibt es wieder [mm] $\binom{8}{2}2!$ [/mm] Moeglichkeiten. Dieser Fall tritt also [mm] $9\cdot2!\binom{8}{2}=504$ [/mm] Mal auf.
vg Luis
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