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| Aufgabe | Sind folgende Operationen für Vektor a und b definiert. a=(4,1,3) b=(3,3,1)
[mm] (a^t)*b [/mm] |
Diese Operation wäre definiert und würde eine 3*3 Matrix ergeben oder? Andere waren der Meinung, dass es nicht definiert ist, weil es sich um Vektoren und nicht um Matrizen handelt.
Ein Vektor ist das selbe wie eine Matrix oder? Nur eben mit 1*n oder n*1.
Schonmal danke :)
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Ich glaube, ob man Vektoren als Matrix auffassen darf hängt ganz vom mathematischen Konzept ab.
Die Frage ist nun: wenn a^tb nicht definiert ist, was ist dann definiert. Es gibt auch Vektorräume ohne standard Skalarprodukt dann wäre auch [mm] ab^t [/mm] nicht definiert.
Geht man also von einem Vektorraum mit standard Skalarprodukt aus, welches sich als Spezialfall der Matrix-Multiplikation darstellen lässt. Dann würde ich sagen, dass auch [mm] a^t [/mm] b definiert ist.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:45 Mo 01.04.2013 | | Autor: | Goingdown |
Das standart Skalarprodukt haben wir in der Aufgabe definiert, hatten jetzt in dem Kurs auch keinerlei Aufgaben in dem es nicht definiert war.
Naja ich werd mich nochmal umhören ob der Prof irgendetwas dazu gesagt hat. Aber das einzige was ich zu dem Fall aufgeschrieben habe ist, dass man kein Skalar Produkt berechnen kann.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:32 Mo 01.04.2013 | | Autor: | fred97 |
> Ich glaube, ob man Vektoren als Matrix auffassen darf
> hängt ganz vom mathematischen Konzept ab.
Unsinn !
>
> Die Frage ist nun: wenn a^tb nicht definiert ist, was ist
> dann definiert.
.... unser Verkehrsminister ?
> Es gibt auch Vektorräume ohne standard
> Skalarprodukt dann wäre auch [mm]ab^t[/mm] nicht definiert.
Wir sind doch im [mm] \IR^3 [/mm] !
>
> Geht man also von einem Vektorraum mit standard
> Skalarprodukt aus, welches sich als Spezialfall der
> Matrix-Multiplikation darstellen lässt. Dann würde ich
> sagen, dass auch [mm]a^t[/mm] b definiert ist.
Oh je ! Nochmal: wir sind im [mm] \IR^3
[/mm]
fred
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:43 Mo 01.04.2013 | | Autor: | Reduktion |
Da schein ich wohl richtigen Mist geschrieben zu haben. Wenn wir nun im [mm] \IR^3 [/mm] sind, ist dann automatisch klar, das man Vektoren als spezielle Matrizen auffassen kann und die Operation [mm] a^t [/mm] b definiert ist? Mehr wollte ich nicht sagen.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 01:17 Di 02.04.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Da schein ich wohl richtigen Mist geschrieben zu haben.
naja, ich hab' keine Ahnung, wie Du zu Deinen Behauptungen mit dem
Standardskalarprodukt kommst ^^
> Wenn wir nun im [mm]\IR^3[/mm] sind, ist dann automatisch klar, das
> man Vektoren als spezielle Matrizen auffassen kann und die
> Operation [mm]a^t[/mm] b definiert ist?
Ja!
> Mehr wollte ich nicht sagen.
Das hatte ich irgendwie anders verstanden. Aber sagen wir mal: Das war
das Wesentliche, was Du wohl sagen wolltest. 
P.S. Sowas kannst Du einfach als Mitteilung schreiben; ich ändere es für
Dich!
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:04 Mo 01.04.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Ich glaube, ob man Vektoren als Matrix auffassen darf
> hängt ganz vom mathematischen Konzept ab.
hast Du Dich schonmal mit linearen Abbildungen zwischen endlichdimensionalen
Vektorräumen beschäftigt? Respektive wenigstens mit sowas wie der
Koordinatenabbildung? Mit "sowas" hat das im weitesten Sinne zu tun...
(Wobei man das auch nicht in der Ausführlichkeit hier braucht!)
Generell ist ein Vektor $v [mm] \in [/mm] V$ erstmal "nur" ein Element eines Vektorraum [mm] $V\,.$ [/mm]
Was sollen sonst Vektoren sein? Aber, wie Fred schon sagte: Wir sind hier eh
im [mm] $\IR^3\,.$ [/mm]
Was hat das ganze nun mit einem mathematischen Konzept zu tun? Das
einzige, was interessant wäre: Sind Matrizen schon eingeführt worden...
Dies ist aber - wie man aus dem Text der Ursprungsfrage entnimmt - offenbar
der Fall!
> Die Frage ist nun: wenn a^tb nicht definiert ist, was ist
> dann definiert.
Das klingt nach: Wenn [mm] $2*2\,$ [/mm] nicht [mm] $4\,$ [/mm] wäre, was passiert dann auf dem
Mond? Wie kommst Du bei Dir zu ",... was ist dann definiert?"
Wenn [mm] $2*2=5\,$ [/mm] ist, dann ist übrigens sogar jedes grüne Auto auch blau. Denn:
Aus was falschem kannst Du alles folgern!
> Es gibt auch Vektorräume ohne standard
> Skalarprodukt dann wäre auch [mm]ab^t[/mm] nicht definiert.
?? Bitte ?? Wo ist da der Zusammenhang. Wenn Du irgendeinen Vektorraum
[mm] $V\,$ [/mm] hast und dann $a,b [mm] \in V\,,$ [/mm] dann müßtest Du mir erstmal sagen, was
[mm] ${b}^t$ [/mm] überhaupt sein sollte. Zudem müßte ich wissen, wie
[mm] $$\cdot: [/mm] V [mm] \times [/mm] V [mm] \to \text{?},\;\; [/mm] V [mm] \times [/mm] V [mm] \ni [/mm] (a,b) [mm] \mapsto [/mm] a [mm] \cdot b:=\cdot(a,b) \in \text{?}$$
[/mm]
aussehen sollte, also per Definitionem. (Was ist dann also $a [mm] \cdot [/mm] b$? $a [mm] \cdot [/mm] b:=...$??)
Und dann könnten wir vielleicht mal prüfen, ob damit dann auf [mm] $V\,$ [/mm] ein
SKALARPRODUKT definiert worden ist (warum Du immer vom STANDARD-Skalarprodukt
redest, bleibt mir ein Rätsel!)
Zu dem oben Gesagten: Hier wäre etwa $a [mm] \cdot b^t$ [/mm] für $a,b [mm] \in [/mm] V$ definiert, wenn wir
[mm] $\cdot: [/mm] V [mm] \times [/mm] V [mm] \to \text{?}$ [/mm] definiert hätten, und wenn dann für $b [mm] \in [/mm] V$ auch [mm] $b^t \in [/mm] V$ wäre.
(Muss übrigens nicht so sein: Man kann ja auch [mm] $\cdot\colon [/mm] V [mm] \times [/mm] W [mm] \to \text{?}$ [/mm] haben, und für $b [mm] \in [/mm] V$
soll dann [mm] $b^t$ [/mm] so definiert sein, dass [mm] $b^t \in [/mm] W$. Dann wäre auch [mm] $a\cdot b^t$ [/mm] "definiert". Und wenn
Du mal genau hinguckst: Bei der Matrixmultiplikation steht auch eher sowas
da! Und beim Standardskalarprodukt (sei es auf dem [mm] $\IR^3$ [/mm] oder allgemeiner auf dem [mm] $\IR^n$) [/mm]
identifiziert man auch $1 [mm] \times [/mm] 1$-Matrizen mit ihrem Eintrag - bzw. man
setzt sie gleich: So ist bspw. [mm] $(67)=67\,.$
[/mm]
Beachte: [mm] $(1,2,3)\cdot \vektor{4 \\ 5 \\6}=(1*4+2*5+3*6)=(4+10+18)=(22)\,$
[/mm]
müsste man ja eigentlich präzise schreiben, denn schließlich ist das Ergebnis
einer Multiplikation einer $1 [mm] \times [/mm] 3$-Matrix mit einer $3 [mm] \times [/mm] 1$-Matrix
doch eine $1 [mm] \times [/mm] 1$-MATRIX! Natürlich gilt das nur insofern, wie man
das Standardskalarprodukt etwa im [mm] $\IR^n$ [/mm] vermittels Matrixmultiplikation
definiert. Nichts hindert mich daran, auch direkt zu sagen:
Für [mm] $a=(a_1,...,a_n)^T$ [/mm] und [mm] $b:=(b_1,...,b_n)^T$ [/mm] beide in [mm] $\IR^n$ [/mm] sei
$$a [mm] \cdot b:=\sum_{k=1}^n a_kb_k\,.$$
[/mm]
Das kann man hinschreiben, ohne überhaupt zu wissen, dass es Matrizen
gibt..)
Oben haben wir allerdings, wie Fred schon sagte, speziell den [mm] $\IR^3\,.$
[/mm]
> Geht man also von einem Vektorraum mit standard
> Skalarprodukt aus, welches sich als Spezialfall der
> Matrix-Multiplikation darstellen lässt. Dann würde ich
> sagen, dass auch [mm]a^t[/mm] b definiert ist.
Was willst Du hier mit dem Standard-Skalarprodukt? Wie definierst Du
überhaupt in irgendeinem Vektorraum "dessen Standard-Skalarprodukt"?
Es gibt Vektorräume, für die noch nicht mal ein Skalarprodukt existiert...
![[]](/images/popup.gif) Der Satz war Schwachsinn: Vgl. Buri, No.9
Kennst Du überhaupt die Definition des Begriffes Skalarprodukt? Vielleicht
redest Du ja nur über (gewisse) euklidische Räume?
Generell: Es gibt so tolle Begriffe wie Prä-Hilbert-Raum (Skalarproduktraum), damit
kannst Du Dich mal befassen, wenn Du magst.
Und nein: Da geht's nicht um (Himbeer-)Träume...
Gruß,
Marcel
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Hi!
> Sind folgende Operationen für Vektor a und b definiert.
Da stellt sich doch zunächst die Frage, unter welchen Voraussetzungen man zwei Matrizen multiplizieren darf.
Es muss:
Spaltenanzahl linke Seite = Zeilenanzahl rechte
vorliegen, damit man zwei Matrizen multiplizieren darf.
> a=(4,1,3) b=(3,3,1)
>
> [mm](a^t)*b[/mm]
Weißt du was [mm] $a^t$ [/mm] ist?
(m,n)-Matrix multipliziert mit (n,l)-Matrix ergibt (m,l)-Matrix.
Valerie
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Das t steht für die transpotierte matrix.
Also hab ich in dem fall eine 3x1 Matrix mal eine 1*3 Matrix und das würde doch eine 3*3 Matrix ergeben?
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> Das t steht für die transpotierte matrix.
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Also hab ich in dem fall eine 3x1 Matrix mal eine 1*3
> Matrix und das würde doch eine 3*3 Matrix ergeben?
Sorry, hatte in meiner vorigen Antwort falsch zitiert. Du hast natürlich recht mit der 3x3 Matrix.
Valerie
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:00 Mo 01.04.2013 | | Autor: | Goingdown |
Kein Problem :)
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:30 Mo 01.04.2013 | | Autor: | fred97 |
> Sind folgende Operationen für Vektor a und b definiert.
> a=(4,1,3) b=(3,3,1)
>
> [mm](a^t)*b[/mm]
> Diese Operation wäre definiert und würde eine 3*3 Matrix
> ergeben oder?
ja
> Andere waren der Meinung, dass es nicht
> definiert ist, weil es sich um Vektoren und nicht um
> Matrizen handelt.
Vektoren sind spezielle Matrizen
> Ein Vektor ist das selbe wie eine Matrix oder? Nur eben
> mit 1*n oder n*1.
ja
fred
>
> Schonmal danke :)
>
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:45 Mo 01.04.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Sind folgende Operationen für Vektor a und b definiert.
> a=(4,1,3) b=(3,3,1)
>
> [mm](a^t)*b[/mm]
> Diese Operation wäre definiert und würde eine 3*3 Matrix
> ergeben oder?
ja!
> Andere waren der Meinung, dass es nicht
> definiert ist, weil es sich um Vektoren und nicht um
> Matrizen handelt.
Blödsinn: Mal abgesehen davon, dass generell eigentlich Vektoren Elemente
eines Vektorraums sind und Du oben halt spezielle Elemente eines speziellen
Vektorraums hast.
"Solche" Vektoren kann man als spezielle Matrizen auffassen, genau, wie Du
es getan hast:
Ein "Zeilenvektor" mit [mm] $n\,$ [/mm] Einträgen ist eine $1 [mm] \times [/mm] n$-Matrix, ein Spaltenvektor
mit [mm] $m\,$ [/mm] Einträgen eine $m [mm] \times [/mm] 1$-Matrix.
> Ein Vektor ist das selbe wie eine Matrix oder? Nur eben
> mit 1*n oder n*1.
Nebenbei:Für [mm] $a=(a_1,...,a_n)^T,b=(b_1,...,b_n)^T \in \IR^n=\IR^{n \times 1}$ [/mm] gilt
[mm] $$a^Tb=b^Ta=\sum_{k=1}^n a_kb_k$$
[/mm]
ist das Standardskalarprodukt.
Und
[mm] $$ab^T=\vektor{a_1\\.\\.\\a_n}(b_1,...,b_n)=\pmat{a_1b_1 & a_1 b_2 & ... & a_1 b_n\\a_2b_1 & a_2 b_2 & ... & a_2 b_n\\ .& .& .& . \\a_nb_1 & a_n b_2 & ... & a_n b_n\\}$$
[/mm]
heißt "dyadisches Produkt".
Beachte übrigens: Dein $a=(4,1,3)$ war nicht, wie bei mir, in Spaltenform angegeben.
Deswegen steht bei mir [mm] $ab^T$ [/mm] und nicht [mm] $a^t [/mm] b$ für das dyadische Produkt (und entsprechend
sieht die Notation beim Standardskalarprodukt aus) - zudem schreibe ich
lieber "Groß-T" für "transponiert" (aber das ist eher so, weil ich das so gelehrt
wurde und es häufiger so gesehen und benutzt habe).
P.S. Von daher: Zeige "den Zweiflern" mal diesen Link, wenn sie
Deiner (absolut korrekten) Erklärung noch immer nicht glauben wollen!
Gruß,
Marcel
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