Vektor senkrecht auf Tang-Ebn. < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:24 So 13.04.2008 | | Autor: | dave-o |
| Aufgabe | | Ermitteln Sie die Gleichung der Tangentialebene an die Funktion z=x*y+x für [mm] x_{1}=2, y_{1}=3. [/mm] Bestimmen Sie einen Einheitsvektor, der senkrecht auf dieser Ebene steht. |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Zuerst einmal habe ich bereits folgendes gemacht: Ich habe [mm] P_{1} [/mm] berechnet: (2,3,8). Ich habe die partiellen Ableitungen [mm] f_{x} [/mm] (y+1) und [mm] f_{y} [/mm] (x) gebildet und auch die gegebenen x und y-Werte eingesetzt [mm] (f_{x}(2,3)=4; f_{y}(2,3)=2)
[/mm]
Ich habe die Vektoren in der Ebene gebildet:
[mm] b=\vektor{1 \\ 0 \\ f_{x}}=\vektor{1 \\ 0 \\ 4}
[/mm]
[mm] l?=\vektor{0 \\ 1 \\ f_{y}}=\vektor{0 \\ 1 \\ 2}
[/mm]
Mit Hilfe der Formel [mm] f(x_{0},y_{0})+f_{x}(x_{0},y_{0})*(x-x_{0})+f_{y}(x_{0},y_{0})*(y-y_{0}) [/mm] habe ich auch die Gleichung der Tangentialebene ermittelt: 4*x+2*y-6
Jetzt fehlt mir nur noch der Einheitsvektor: Als Lösung gegeben ist:
[mm] \bruch{1}{\wurzel{21}} \vektor{-4 \\ -2 \\ 1}
[/mm]
Auf den Vektor komme ich (Kreuzprodukt von b und l?), aber mir ist nicht klar, wie ich auf [mm] \bruch{1}{\wurzel{21}} [/mm] komme. Kann mir hier jmd. helfen?
Vielen Dank im vorraus
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Hallo dave-o,
> Ermitteln Sie die Gleichung der Tangentialebene an die
> Funktion z=x*y+x für [mm]x_{1}=2, y_{1}=3.[/mm] Bestimmen Sie einen
> Einheitsvektor, der senkrecht auf dieser Ebene steht.
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
> Zuerst einmal habe ich bereits folgendes gemacht: Ich habe
> [mm]P_{1}[/mm] berechnet: (2,3,8). Ich habe die partiellen
> Ableitungen [mm]f_{x}[/mm] (y+1) und [mm]f_{y}[/mm] (x) gebildet und auch die
> gegebenen x und y-Werte eingesetzt [mm](f_{x}(2,3)=4; f_{y}(2,3)=2)[/mm]
>
> Ich habe die Vektoren in der Ebene gebildet:
>
> [mm]b=\vektor{1 \\ 0 \\ f_{x}}=\vektor{1 \\ 0 \\ 4}[/mm]
>
> [mm]l?=\vektor{0 \\ 1 \\ f_{y}}=\vektor{0 \\ 1 \\ 2}[/mm]
>
> Mit Hilfe der Formel
> [mm]f(x_{0},y_{0})+f_{x}(x_{0},y_{0})*(x-x_{0})+f_{y}(x_{0},y_{0})*(y-y_{0})[/mm]
> habe ich auch die Gleichung der Tangentialebene ermittelt:
> 4*x+2*y-6
Die Gleichung der Tangentialebene lautet doch:
[mm]z=4*x+2*y-6 \gdw 4*x+2*y-z=6[/mm]
>
> Jetzt fehlt mir nur noch der Einheitsvektor: Als Lösung
> gegeben ist:
>
> [mm]\bruch{1}{\wurzel{21}} \vektor{-4 \\ -2 \\ 1}[/mm]
>
> Auf den Vektor komme ich (Kreuzprodukt von b und l?), aber
Ja, dieser Vektor ist das Kreuzprodukt von b und l.
> mir ist nicht klar, wie ich auf [mm]\bruch{1}{\wurzel{21}}[/mm]
> komme. Kann mir hier jmd. helfen?
[mm]\wurzel{21}=\wurzel{\left(-4\right)^2+\left(-2\right)^2+1^{2}}[/mm]
>
> Vielen Dank im vorraus
>
>
>
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:48 So 13.04.2008 | | Autor: | dave-o |
Hallo Mathepower, vielen Dank für Deine Antwort. Kannst Du mir evtl. noch kurz die Bedeutung dieses Faktors erläutern, habe dazu leider keine Aufzeichnungen.
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Hallo dave-o,
> Hallo Mathepower, vielen Dank für Deine Antwort. Kannst Du
> mir evtl. noch kurz die Bedeutung dieses Faktors erläutern,
> habe dazu leider keine Aufzeichnungen.
Der Faktor [mm]\wurzel{21}=\wurzel{\left(-4\right)^2+\left(-2\right)^2+1^{2}}[/mm] normiert den Vektor [mm]\bruch{1}{\wurzel{21}} \vektor{-4 \\ -2 \\ 1} [/mm] auf den Betrag 1.
Gruß
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:17 So 13.04.2008 | | Autor: | dave-o |
Hallo Mathepower, ich glaube wir haben jetzt etwas aneinander vorbeigeredet, ich wollte eigentlich nur wissen, was [mm] \bruch{1}{\wurzel{21}} [/mm] bedeutet, habe jetzt aber auch selbst rausgefunden, dass das der Betrag des Vektors ist, und dieser ja notwendig ist, damit es sich um einen Normalenvektor (ist doch dasselbe wie ein Einheitsvektor?) handelt. Wie auch immer, langsam steige ich glaube ich dahinter.
Gruß
dave-o
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