Vektoranalysis < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:17 Mo 10.10.2005 | | Autor: | kruder77 |
Hallo,
ich habe gerade folgende Aufgabe gerechnet und weiß nicht ob dass alles so richtig ist wie ich es gemacht habe.
Der Text zur Aufgabe war einfach nur "Berechnen Sie: [mm] div(\bruch{\overrightarrow {r}}{r^{3}}) [/mm] wobei [mm] \overrightarrow{r} [/mm] und r gegeben sind"...
Da es die Divergenz eines Vektors ist, kommt ein Skalar heraus und es muss etwas mit "Quellen, Senken" zu tun haben.
hier nun meine Rechnung:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Kann mit vielleicht jemand erklären was ich aus dem Ergebniss für Schlüsse ziehen kann? Ich sehe da im Moment überhaupt keinen Sinn...
Vielen Dank
kruder
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:20 Mo 10.10.2005 | | Autor: | noebi |
Hallo!
Dein Fehler liegt in der Berechnung des Skalarprodukts des Nabla-Operators mit dem Vektor [mm] \bruch{\vec{r}}{r³}. [/mm] Wie der Name schon sagt, entsteht beim Skalarprodukt ein Skalar und kein Vektor und auch keine Matrix. Wenn du es mathematisch korrekt machen willst, musst du beim Skalarprodukt den ersten Vektor transponiert (liegend) darstellen. Dann ergibt sich mit den Rechenregeln für Matrizenmultiplikation ein Skalar. Machst du es umgekehrt, entsteht eine Matrix.
Du kannst auch spezlieller das Skalarprodukt zweier Vektoren [mm] \vec{a} [/mm] und [mm] \vec{b} [/mm] als [mm] \summe_{i=1}^{3}a_{i}b_{i} [/mm] sehen.
Wenn deine Ableitungen stimmen, erhältst du also:
div [mm] \bruch{\vec{r}}{r³} [/mm] = [mm] \bruch{1}{r^5} \vektor{-2x²+y²+z² \\ -2y²+x²+z² \\ -2z²+y²+z²}
[/mm]
Die Divergenz liefert die Quellen eines Vektorfeldes! Verschwindet die Divergenz, ist das Vektorfeld quellenfrei. In der Elektrostatik trifft dies zum Beispiel auf das magnetische Feld zu, dessen Divergenz immer verschwindet, was gleich bedeutend mit der Nichtexistenz magnetischer Monopole (=Quellen) ist. Anders beim elektrischen Feld: Hier liefert die Divergenz die elektrische Ladungsdichte.
Gruß,
Nöbi.
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