Vektoren < Abbildungen+Matrizen < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | gegeben sind die Vektoren:
[mm]\vec{a}=\begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 2 \end{pmatrix}[/mm]
[mm]\vec{b}=\begin{pmatrix} 3 \\ 4 \\ 1 \end{pmatrix}[/mm]
[mm]vec {c}=\begin{pmatrix} 2 \\ 4 \\ 6 \end{pmatrix}[/mm]
[mm]\vec{d}=\begin{pmatrix} 2 \\3 \\ -3 \end{pmatrix}[/mm]
a.)Zeigen Sie, dass ein mit [mm]\vec{a},\vec{b},\\vec{c}[/mm] als Koeffizienten und [mm]\vec{d}[/mm] als Ergebnisvektor aufgeselltes Gleichungssystem keine Lösung hat.
b.) Welchen Wert müsste [mm]d_1[/mm] haben, damit sich nun ein Gleichungssystem mit beliebig vielen Lösungen ergibt?
c.) Berechnen Sie eine dieser Lösungen! |
Hallo!!
Also mit der ersten Aufgabe hatte ich keine Probleme.
Aber bei der zweiten kommt bei mir -3 raus und dass ist offensichtlich falsch
und außerdem glaube ich muss ich hier die Linearkombination anwenden,
die ich vielleicht nicht richtig verstanden habe ?!
Bitte gibt mir hier jemand einen Tipp? Ihr seit immer unglaublich hilfreich
und erklärt es mir so gut!!;))
Danke,Danke!!
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:49 So 09.03.2014 | | Autor: | Sax |
Hi,
> gegeben sind die Vektoren:
> [mm]\vec{a}=\begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 2 \end{pmatrix}[/mm]
>
> [mm]\vec{b}=\begin{pmatrix} 3 \\ 4 \\ 1 \end{pmatrix}[/mm]
> [mm]\vec{c}=\begin{pmatrix} 2 \\ 4 \\ 6 \end{pmatrix}[/mm]
>
> [mm]\vec{d}=\begin{pmatrix} 2 \\3 \\ -3 \end{pmatrix}[/mm]
>
> a.)Zeigen Sie, dass ein mit [mm]\vec{a},\vec{b},\vec{c}[/mm] als
> Koeffizienten und [mm]\vec{d}[/mm] als Ergebnisvektor aufgeselltes
> Gleichungssystem keine Lösung hat.
Hier wird der Begriff des Koeffizienten falsch verwendet.
In der Gleichung [mm] \lambda*\vec{a}+\mu*\vec{b}+\nu*\vec{c}=\vec{d} [/mm] heißen [mm] \lambda, \mu, \nu [/mm] Koeffizienten, nicht die Vektoren [mm] \vec{a}, \vec{b}, \vec{c} [/mm] .
> b.) Welchen Wert müsste [mm]d_1[/mm] haben, damit sich nun ein
> Gleichungssystem mit beliebig vielen Lösungen ergibt?
> c.) Berechnen Sie eine dieser Lösungen!
> Hallo!!
>
> Also mit der ersten Aufgabe hatte ich keine Probleme.
> Aber bei der zweiten kommt bei mir -3 raus und dass ist
> offensichtlich falsch
Wenn das offensichtlich ist, dann ergibt sich doch wohl die Lösung -3 als Ergebnis deiner letzten Gleichung, aber -3 löst nicht die erste, ursprüngliche Gleichung.
Gehe also von der letzten Schritt für Schritt zurück, setzte jeweils -3 ein und schaue, wo -3 zum ersten Mal versagt. Der entsprechende Umformungsschritt muss den Fehler enthalten. Es ist ein Vorzeichenfehler, weil die Lösung tatsächlich [mm] d_1=3 [/mm] lautet.
> und außerdem glaube ich muss ich hier die
> Linearkombination anwenden,
Eine Linearkombination ist keine Operation, die man anwendet, sondern eine Summe von Vektoren.
Die Summe, die ich dir oben aufgeschrieben habe ist eine Linearkombination der Vektoren [mm] \vec{a}, \vec{b} [/mm] und [mm] \vec{c}.
[/mm]
> die ich vielleicht nicht richtig verstanden habe ?!
> Bitte gibt mir hier jemand einen Tipp? Ihr seit immer
> unglaublich hilfreich
> und erklärt es mir so gut!!;))
>
> Danke,Danke!!
Wenn du nachgewiesen hast, dass [mm] \vec{d} [/mm] nicht als Linearkombination von [mm] \vec{a}, \vec{b} [/mm] und [mm] \vec{c} [/mm] dargestellt werden kann, dann hast du doch gleichzeitig gezeigt, dass [mm] \vec{a}, \vec{b} [/mm] und [mm] \vec{c} [/mm] keine Basis des Vektorraumes bilden können, insbesondere ist der von [mm] \vec{a}, \vec{b} [/mm] und [mm] \vec{c} [/mm] aufgespannte Raum nicht dreidimensional. Tatsächlich ist er zweidimensional, weil [mm] \vec{a} [/mm] und [mm] \vec{b} [/mm] linear unabhängig sind, [mm] \vec{c}=4*\vec{a}-2*\vec{b} [/mm] (*).
Um [mm] d_1 [/mm] zu finden, brauchst dur nur die zweite und dritte Komponente der Gleichung [mm] \alpha*\vec{a}+\beta*\vec{b}=\begin{pmatrix} d_1 \\3 \\ -3 \end{pmatrix} [/mm] zu betrachten um [mm] \alpha [/mm] und [mm] \beta [/mm] zu bestimmen, mit diesen beiden Werten berechnest du dann [mm] d_1.
[/mm]
Wenn du eine Darstellung hast, liefert dir Gleichung (*) alle weiteren.
Gruß Sax.
|
|
|
|
