Vektoren < Vektoren < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:23 Mo 29.05.2006 | | Autor: | Anka88 |
| Aufgabe | Bezogen auf ein Koordinatensystem mit einem Flughafen im Ursprung verlaufen die Bahnen zweier Flugzeuge auf den Greaden
g: [mm] \vec{x}= \vektor{0 \\ 5 \\ 1} [/mm] + t [mm] \vektor{1 \\ 2 \\ 2} [/mm]
h: [mm] \vec{x}= \vektor{4 \\ 9 \\ 3} [/mm] + t [mm] \vektor{1 \\ 1 \\0}
[/mm]
(1 Koordinateneinheit=1km)
Berechnen Sie, wie nah sich die Flugzeuge im ungünstigsten Fall kommen können.
|
Hallo meine letzte Hoffnungen  ,
Ich habe versucht, die beiden Geraden erst einmal zu zeichnen. Allerdings schneiden sie sich in meiner Zeichnung- das kann doch nicht sein, oder? Ich weiß aber leider nicht, was ich falsch gemacht habe.
Mein Lösungsansatz: Ich glaube, hier muss der Abstand windschiefer Geraden berechnet werden. Hierzu gehe ich davon aus, dass [mm] \vec{n} [/mm] zu den beiden Richtungsvektoren orthogonal ist (stimmt das?). Daraus folgt:
[mm] n_{1}+2n_{2}-6n_{3}=0
[/mm]
[mm] n_{1}+ n_{2} [/mm] =0
War mein Ansatz richtg? Wie geht´s nun weiter? Spielt der Schnittwinkel eine Rolle?
Ich hoffe, ihr könnt mir helefn!
Danke im Voraus,
Anka
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:43 Mo 29.05.2006 | | Autor: | Anka88 |
Hallo Dieter,
vielen Dank für deine Antwort.
zu deinen Anmerkungen:
"Das kann durchaus sein und ist auch normal, schließlich ist deine Zeichnung ein 2dimensionales Bild des 3dimensionalen Raumes."
> Das ist natürlich logisch!! Oh Mann, ich war schon am Verzweifeln! Danke!
"Wo kommt die 1. Gleichung her, da scheint mir ein Fehler zu stecken...
Im Prinzip kann man das aber so machen."
> Ups, da war ich wohl im Buch in der Zeile verrutscht... es muss natürlich heißen:
[mm] n_{1}+2n_{2}+2n_{3}=0
[/mm]
[mm] n_{1}+n_{2}=0
[/mm]
>> War mein Ansatz richtg? Wie geht´s nun weiter? Spielt der
>> Schnittwinkel eine Rolle?
>Nicht wirklich.
Worauf bezieht sich denn das "Nicht wirklich"? Auf den Ansatz? Oder auf die Schnittwinkel?
Und wie muss ich das Gleichungssystem jetzt fortführen?
Fragen über Fragen... 
Gruß,
Anka
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:36 Mo 29.05.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo Anka!
> Ups, da war ich wohl im Buch in der Zeile verrutscht...
> es muss natürlich heißen:
> [mm]n_{1}+2n_{2}+2n_{3}=0[/mm]
> [mm]n_{1}+n_{2}=0[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") Richtig ...
Nun forme die 2. Gleichung zum Beispiel nach [mm] $n_1 [/mm] \ = \ ...$ um und setze diese in die 1. Gleichung ein. Dann kannst Du eine der beiden verbliebenen Unbekannten beliebig wählen und daraus die anderen beiden Größen ermitteln.
> > Nicht wirklich.
>
> Worauf bezieht sich denn das "Nicht wirklich"? Auf den
> Ansatz? Oder auf die Schnittwinkel?
Du brauchst den Schnittwinkel "nicht wirklich" ... der Ansatz mit dem Normalenvektor ist genau richtig!
Gruß
Loddar
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:01 Di 30.05.2006 | | Autor: | Anka88 |
Vielen Dank für eure Hilfe! Ich habe jetzt ne Lösung raus und hoffe, dass die richtig ist:
g: [mm] \vec{x}= \vektor{0 \\ 5 \\ 1}+t \vektor{1 \\ 2 \\ 2}
[/mm]
h: [mm] \vec{x}= \vektor{4 \\ 9 \\ 3}+t \vektor{1 \\ 1 \\ 0}
[/mm]
Lösungsansatz: [mm] \vec{n} [/mm] ist orthogonal zu den beiden Richtungsvektoren, daher gilt:
[mm] n_{1} [/mm] + [mm] 2n_{2}+ 2n_{3}=0
[/mm]
[mm] n_{1} [/mm] + [mm] n_{2}=0
[/mm]
Setzt man [mm] n_{1}=2, [/mm] so erhält man eine ganzzahlige Lösung des LGS mit [mm] n_{2}=-2 [/mm] und [mm] n_{3} [/mm] =1.
Aus [mm] \vec{n}=\vektor{2 \\ -2 \\ 1} [/mm] ergibt sich [mm] |\vec{n}|=\wurzel{ 2^{2}+ (-2)^{2}+ 1^{2}}=3 [/mm] und daraus [mm] \vec{n_{0}}=\bruch{1}{3}\*\vektor{2 \\ -2 \\ 1}
[/mm]
Damit ist der Abstand von g und h:
[mm] d=|[\vektor{4 \\ 9 \\ 3}- \vektor{0 \\ 5 \\ 1}]|\*\bruch{1}{3}\*\vektor{2 \\ -2 \\ 1} [/mm] = [mm] \bruch{4\*2+4\*(-2)+2\*1}{3} [/mm] = [mm] \bruch{8-8+2}{3} [/mm] = [mm] \bruch{2}{3}
[/mm]
Nebenrechnung: [mm] \bruch{2}{3}km=0,66666666km\approx0,667km=667m
[/mm]
Im ungünstigsten Fall können sich die Flugzeuge 667m nah kommen.
Meiner Meinung nachmist diese Zahl ganz logisch. (Ich kenne mich mit Flugzeugen allerdings auch nicht so aus ) Ist die Lösung richtig oder habe ich irgendwo einen Fehler gemacht?
Gruß, Anka
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:05 Di 30.05.2006 | | Autor: | Disap |
Hallo.
Ich halte deine Lösung für richtig und kann keinen Fehler erkennen.
Gruß,
Disap
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:11 Di 30.05.2006 | | Autor: | statler |
Dieter
|
|
|
|
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
