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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:21 Mi 27.12.2006 | | Autor: | Emilia |
| Aufgabe | Eine Abbildung sei gegeben durch die Matrix [mm] A=\pmat{ 1 & 0 & 0 \\ 2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 &1 } [/mm]
a. Bestimmen sie für die Urbildvektioren [mm] \vec{x}= \vektor{-1 \\ -1 \\ 2} [/mm] und [mm] \vec{y}= \vektor{2 \\ 1 \\ 1 } [/mm] die durch die von A beschriebene lineare Abbildung entstehenden Bildvektoren und zeichnen Sie sie zusammen mit den Urbildvektoren in ein Koordinatensystem ein. Konstruieren Sie zeichnerisch den bildvektor A [mm] (\vec{x}+\vec{y}) [/mm] sowie seinen Urbildvektor.
Was fällt Ihnen auf?
Überpfüfen sie Ihre Vermutung rechnerisch!
b. Bestimmen sie Bildraum und Kern der durch A beschriebenen Abbildung.
c. Stellen sie Kern und Bildraum graphisch dar.
d. Stellen Sie die Lösungsmenge in der Grafik von Teil c. zusätlich dar.
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Guten Tag ihr Lieben,
das Chaos ist perfekt, ich gebe zu Algebra liegt mir einfach nicht....ich habe nun wirklich einige Male die Aufgabe durchgelesen und kann kaum was damit anfangen....
zu a.
wie soll ich diesen Bildvektoren bestimmen?
wie soll ich die Vermutung recherisch überprüfen?
zu b.
wie funktioniert sowas *schnief*
zu d.
höööööö??
würde sich irgendeiner meiner erbarmen und mir durch eine Erklärung unter Verwendung eines Vokabulars niedrigeren Niveaus, weiterhelfen...ich wäre zu tiefst verbunden...
Liebe Grüße
Julia
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:44 Mi 27.12.2006 | | Autor: | M.Rex |
Hallo Julia
Zuerst mal ein paar hinweise:
Wenn du eine Abbildung A(x,y,z) (das ist ein anderes Wort für Funktion) hast, dann geben dir die Variablen an, wovon sie abhängig ist.
So ist z.B: f(x,y)=x+y von x und y abhängig
f bildet also den Punkt P(x,y), was mal ja auch mit den Vektor [mm] \vektor{x\\y} [/mm] darstellen könnte auf die Zahl x+y ab.
Also
f: [mm] \IR²\to\IR
[/mm]
[mm] \underbrace{\vektor{x\\y}}_{?in\IR²}\mapsto\underbrace{x+y}_{\in\IR}
[/mm]
Jetzt gibt es zu jeder Funktion f auch eine Matrix A, so dass [mm] f(x,y,z)=A\vektor{x\\y\\z}
[/mm]
Jetzt sollst du in teil A die Bildvektoren von [mm] \vec{x} [/mm] und [mm] \vec{y} [/mm] bestimmen, also die Vektoren
[mm] \vec{x'}=A\vec{x} [/mm] und [mm] \vec{y'}=A\vec{u}
[/mm]
sowie den Vektor [mm] \vec{u}=A(\vec{x}+\vec{y})
[/mm]
Der Bildraum ist der Wertebereich der Abbildung, der Kern sind die Vektoren [mm] \vec{k}, [/mm] für die Gilt: [mm] A\vec{k}=0, [/mm] also quasi die "Nullstellen" der Funktion.
Hilft das erstmal weiter?
Marius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 02:28 Do 28.12.2006 | | Autor: | Emilia |
Acha, acha....okay ich sammel mich...die Matrix von A bedeutet das in dem Falle dass die werte in der Obersten Reihe die Variabeln für die x-Funktion sind, die in der zweiten für die y-Funktion und in der dritten für die z-Funktion???? Was genau soll ich da machen? Gleichungssystem aufstellen und dann mit den gegebenen punkten gleichsetzen und dann nach x bzw. y auflösen???
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(Antwort) fertig | | Datum: | 03:22 Do 28.12.2006 | | Autor: | M.Rex |
Nicht ganz:
A beschreibt die Funktion, und das ganze ist eine Matrixmulitplikation.
es gilt ja:
[mm] \vec{x'}=A\vec{x}
[/mm]
[mm] =\pmat{ 1 & 0 & 0 \\ 2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 &1 }*\vektor{-1\\-1\\2}=\vektor{-1\\-2\\0}
[/mm]
Dementsprechend kannst du jetzt weitermachen.
Marius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:57 Do 28.12.2006 | | Autor: | Emilia |
acha acha..und was muss ich nun mit dieser wunderbaren Funktion anstellen??? nach irgendwas auflösen??? Nullstellen ausrechenen???
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:40 Do 28.12.2006 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
In teil a) solst du nur die Vektoren
[mm] \vec{x'}=A\vec{x}, \vec{y'}=A\vec{y}
[/mm]
und [mm] \vec{z}=A(\vec{x}+\vec{y}) [/mm] berechnen.
Bei b) sollst du eine Vektor [mm] \vec{u} [/mm] so besstimmen, dass gilt:
[mm] A\vec{u}=\vektor{0\\0\\0}
[/mm]
Also
[mm] \pmat{ 1 & 0 & 0 \\ 2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 &1 }*\vektor{u_{1}\\u_{2}\\u_{3}}=\vektor{0\\0\\0}
[/mm]
[mm] \gdw \vmat{1*u_{1}=0\\2u_{2}=0\\1u_{3}=0}
[/mm]
[mm] \gdw\vektor{u_{1}\\u_{2}\\u_{3}}=\vektor{0\\0\\0}
[/mm]
Das heisst, der einzige Vektor, der auf den Nullvektor abgebildet wird ist [mm] \vec{0}.
[/mm]
(Die Elemente, die auf das Nullelement (hier [mm] \vec{0}) [/mm] abgebildet werden, bilden die Menge des Kernes der Abbildung)
Und für den Bildraum:
Nimm dir mal einen beliebigen Vektor [mm] \vec{v} [/mm] und berechne mal [mm] \vec{v'}=A\vec{v}. [/mm] Dann kannst du die Bildmenge angeben.
Marius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:32 Do 28.12.2006 | | Autor: | Emilia |
JUCHUUUUUUUUUUUUUUU ich habs Ansatzweise verstanden *freu*
zu a.
für
[mm] \vec{x}=\vektor{-1 \\ -2 \\ 0}
[/mm]
[mm] \vec{y}=\vektor{2 \\ 2 \\ 1}
[/mm]
[mm] \vec{z}=\vektor{1 \\ 2 \\ 3}
[/mm]
heraus..ist das soweit richtig??? die frage ist nun, was sollte mir da auffallen und wie soll ich dann diese Vermutung rechnerisch überprüfen???
zu b.
einen beliebigen [mm] \vec{v} [/mm] ist es den wirklich egal welche Zahlen ich dabei nehme?
[mm] \vec{v}A [/mm] = [mm] \pmat{1 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1} [/mm] * [mm] \vektor{2 \\ 1 \\ 4}
[/mm]
= [mm] \vektor{2 \\ 2\\ 4}
[/mm]
zum Beispiel...was sagt mir das allerdings???
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:59 Do 28.12.2006 | | Autor: | Emilia |
kleine Verbesserung, habe gerade gravierenden Fehler festgestellt.....
zu a.
[mm] \vec{x}=\vektor{-2 \\ 0 \\ 2}
[/mm]
[mm] \vec{y}=\vektor{2 \\ 0 \\ 1}
[/mm]
[mm] \vec{y}=\vektor{2 \\ 0 \\ 3}
[/mm]
für c.
zu b.
[mm] \vec{v}A =\pmat{1 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1} [/mm] * [mm] \vektor{2 \\ 1 \\ 4} [/mm] = [mm] \vektor{2 \\ 0 \\ 3}
[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:21 Do 28.12.2006 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Schau doch mal bitte, welche Matrix du meinst: Im Eröffnungspost ist [mm] A=\pmat{1 & \red{0} & 0 \\ \red{2} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1}
[/mm]
, im letzten dagegen [mm] A=\pmat{1 & \green{2} & 0 \\ \green{0} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1}
[/mm]
> JUCHUUUUUUUUUUUUUUU ich habs Ansatzweise verstanden *freu*
> zu a.
>
> für
> [mm]\vec{x}=\vektor{-1 \\ -2 \\ 0}[/mm]
>
> [mm]\vec{y}=\vektor{2 \\ 2 \\ 1}[/mm]
>
> [mm]\vec{z}=\vektor{1 \\ 2 \\ 3}[/mm]
>
> heraus..ist das soweit richtig??? die frage ist nun, was
> sollte mir da auffallen und wie soll ich dann diese
> Vermutung rechnerisch überprüfen???
>
> zu b.
>
> einen beliebigen [mm]\vec{v}[/mm] ist es den wirklich egal welche
> Zahlen ich dabei nehme?
>
> [mm]\vec{v}A[/mm] = [mm]\pmat{1 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1}[/mm] *
> [mm]\vektor{2 \\ 1 \\ 4}[/mm]
> = [mm]\vektor{2 \\ 2\\ 4}[/mm]
>
> zum Beispiel...was sagt mir das allerdings???
>
Nimm hier doch die Variablen [mm] v_{1}, v_{2} [/mm] und [mm] v_{3}
[/mm]
Dann hast du mit der "letzten" Matrix A
[mm] A\vec{v}=\pmat{1 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1}*\vektor{v_{1}\\v_{2}\\v_{3}}=\vektor{v_{1}+2v_{2}\\0\\v_{3}}
[/mm]
Jetzt erkennt man, dass alle Bildvektoren auf einer Koordinatenachse liegen, der y-Achse (2.Achse).
Wenn die "erste Matrix gemeint ist, verändert sich halt das ganze ein wenig.
Marius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:25 Do 28.12.2006 | | Autor: | Emilia |
Tut mir leid...jetzt gibst du dir schon so Mühe mir das so gut es geht zu erklären und ich tip die Matrix falsch ab..sorry....die zweite Matrix stimmt, die ganz am Anfang ist demnach nicht richtig abgetippt...
Also ich fasse zusammen
a.
[mm] \vec{x´}A=\vektor{-3 \\ 0 \\ 2}
[/mm]
[mm] \vec{y´}A=\vektor{4 \\ 0 \\ 1}
[/mm]
[mm] \vec{x+y}A=\vektor{1 \\ 0 \\ 3}
[/mm]
wenn ich mir das so genau angucke, fällt mir nur eins auf und zwar dass der Mittlere Teil jeweil 0 ist, was das allerdings aussagen soll ist mir unbegreiflich.
Wie soll ich dann diese Feinheit rechnerisch überprüfen?
b.
[mm] \pmat{ 1 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 &1 }\cdot{}\vektor{u_{1}\\u_{2}\\u_{3}}=\vektor{0\\0\\0}
[/mm]
[mm] \gdw \vmat{1\cdot{}u_{1}+2u_{1}=0\\0u_{2}=0\\1u_{3}=0}
[/mm]
[mm] \gdw\vektor{u_{1}\\u_{2}\\u_{3}}=\vektor{0\\0\\0}
[/mm]
Der einzige Vektor, der auf den Nullvektor abgebildet wird ist [mm] \vec{0}
[/mm]
[mm] A\vec{v}=\pmat{1 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1}\cdot{}\vektor{v_{1}\\v_{2}\\v_{3}}=\vektor{v_{1}+2v_{2}\\0\\v_{3}}
[/mm]
Alle Bildvektoren liegen auf einer Koordinatenachse, der y-Achse.
dann bleibt nur noch e
Stellen Sie die Lösungsmenge in der Grafik zusätzlich dar. Was ist damit gemeint?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:36 Do 28.12.2006 | | Autor: | M.Rex |
> Tut mir leid...jetzt gibst du dir schon so Mühe mir das so
> gut es geht zu erklären und ich tip die Matrix falsch
> ab..sorry....die zweite Matrix stimmt, die ganz am Anfang
> ist demnach nicht richtig abgetippt...
>
> Also ich fasse zusammen
>
> a.
>
> [mm]\vec{x´}A=\vektor{-3 \\ 0 \\ 2}[/mm]
>
> [mm]\vec{y´}A=\vektor{4 \\ 0 \\ 1}[/mm]
>
> [mm]\vec{x+y}A=\vektor{1 \\ 0 \\ 3}[/mm]
![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]")
>
> wenn ich mir das so genau angucke, fällt mir nur eins auf
> und zwar dass der Mittlere Teil jeweil 0 ist, was das
> allerdings aussagen soll ist mir unbegreiflich.
Was heisst denn, dass die zweite Koordinate aller Vektoren Null ist. Das hast du unten selber beantwortet, nämlich dass alle Punkte auf der 2. Achse liegen
>
> Wie soll ich dann diese Feinheit rechnerisch überprüfen?
Indem du zwei beliebige Vektoren [mm] \vec{a}=\vektor{a_{1}\\a_{2}\\a_{3}} [/mm] und [mm] \vec{a}=\vektor{b_{1}\\b_{2}\\b_{3}} [/mm] nimmst, und dann
[mm] A\vec{a} [/mm] und [mm] A(\vec{a}+\vec{b}) [/mm] berechnest. Dann sollte als zweite Koordinate 0 herauskommen
> b.
>
> [mm]\pmat{ 1 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 &1 }\cdot{}\vektor{u_{1}\\u_{2}\\u_{3}}=\vektor{0\\0\\0}[/mm]
>
> [mm]\gdw \vmat{1\cdot{}u_{1}+2u_{1}=0\\0u_{2}=0\\1u_{3}=0}[/mm]
>
> [mm]\gdw\vektor{u_{1}\\u_{2}\\u_{3}}=\vektor{0\\0\\0}[/mm]
>
> Der einzige Vektor, der auf den Nullvektor abgebildet wird
> ist [mm]\vec{0}[/mm]
>
> [mm]A\vec{v}=\pmat{1 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1}\cdot{}\vektor{v_{1}\\v_{2}\\v_{3}}=\vektor{v_{1}+2v_{2}\\0\\v_{3}}[/mm]
>
> Alle Bildvektoren liegen auf einer Koordinatenachse, der
> y-Achse.
>
> dann bleibt nur noch e
>
> Stellen Sie die Lösungsmenge in der Grafik zusätzlich dar.
> Was ist damit gemeint?
>
Also zeichnest du dir die gegebenen Vektoren [mm] \vec{x}, \vec{y} (\vec{x}+\vec{y}) [/mm] einzeichnest und dazu noch
[mm] A\vec{x}, A\vec{y} A(\vec{x}+\vec{y})
[/mm]
Marius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:49 Do 28.12.2006 | | Autor: | Emilia |
Indem du zwei beliebige Vektoren nimmst und dann [mm] A\vec{a} [/mm] und [mm] A(\vec{a}+\vec{b}) [/mm] berechnest....???? was meinst du damit...das versteh ich nicht.....
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:28 Do 28.12.2006 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Du sollst doch am Anfang folgendes berechnen:
[mm] \vec{x'}=A\vec{x}
[/mm]
[mm] \vec{y'}=A\vec{y}
[/mm]
und [mm] \vec{z}=A(\vec{x}+\vec{y})
[/mm]
Und dann bekommst du, dass alle Ergebnisse die zweite Koordinate 0 haben.
Und genau das zeigst du, indem du dir zwei allgemeine Vektoren [mm] \vec{a}=\Vektor{a_{1}\\a_{2}\\a_{3}} [/mm] und [mm] \vec{b}=\vektor{b_{1}\\b_{2}\\b_{3}} [/mm] hernimmst und folgendes Berechnest.
[mm] \vec{a'}=A\vec{a}
[/mm]
[mm] \vec{b'}=A\vec{b} [/mm] brauchat du nicht, weil [mm] \vec{b'} [/mm] identisch zu [mm] \vec{a'}wird, [/mm] nur mit anderen Variablen.
Bleibt noch [mm] A(\vec{a}+\vec{b}) [/mm] zu berechnen.
Die Ergebnisvektoren sollten als zweite Koordinate immer Null haben, und genau das sollst du zeigen.
Marius
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