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| Aufgabe | | Gegeben: A(3,-1,1), B(5,1,0), C(5,1,2) Dk(2+k, -k, 4-k) keR |
a) Zeige dassb die Punkte Dk auf einer Geraden liegen.
Lösung:
mit Allgemeiner Geradengleichung:
[mm] \vektor{2+k \\ -k \\ 4-k}= \vektor{2 \\ 0 \\ 4}+k*\vektor{1 \\ -1 \\ -1}
[/mm]
b) Bestimme k so, dass das Viereck ABCDk ein Parallelogramm ist.
Lösung:
Im Parallelogramm gilt:
[mm] \overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC} [/mm] und
[mm] \overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC}
[/mm]
Für Vektor [mm] \overrightarrow{AB} [/mm] gilt: (2,2,-1)
Für vektor [mm] \overrightarrow{BC} [/mm] gilt: (0,0,-2)
Für [mm] \overrightarrow{DC} [/mm] zb muss also gelten: (2,2,-1)
[mm] \overrightarrow{DC}= \vec{c}-\vec{d}=
[/mm]
[mm] \vektor{5 \\ 1 \\ 2}- \vektor{2+k \\ -k \\ 4-k} [/mm] soll sein: [mm] \vektor{2 \\ 2 \\ -1}
[/mm]
Dies gilt wenn k=1
--> Im Fall k=1 ist das Viereck ABCD ein parallelogramm
c) Betrachte das Viereck ABCD1. Zeige: Die Halbierende des Viereckwinkels in A hat die Gleichung:
[mm] \vec{x}= (3,-1,1)+\lambda*(1,1,1)
[/mm]
Formel für Winkelhalbierende in A:
w= [mm] \bruch{\overrightarrow{AB}}{|\overrightarrow{AB}|} [/mm] + [mm] \bruch{\overrightarrow{AD}}{|\overrightarrow{AD}|} [/mm] = [mm] \vektor{2/3 \\ 2/3 \\ 2/3}
[/mm]
Da Vektor (1,1,1) ein Vielfaches von Vektor (2/3, 2/3, 2/3) ist stimmt die Gleichung!
d) Zeige: Die WInkelhalbierende aus c) schneidet die Vierecksseite [mm] \overline{D1C} [/mm] im Punkt S(13/3, 1/3, 7/3)
Hier habe ich zuerst einmal gezeigt, dass S auf der Winkelhalbierenden liegt. War auch der Fall und hatte dann für [mm] \lambda= [/mm] 4/3 raus.
Doch wie gehts jetzt weiter?
lg :)
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:23 Di 16.09.2008 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
> Gegeben: A(3,-1,1), B(5,1,0), C(5,1,2) Dk(2+k, -k, 4-k)
> keR
> a) Zeige dassb die Punkte Dk auf einer Geraden liegen.
> Lösung:
>
> mit Allgemeiner Geradengleichung:
>
> [mm]\vektor{2+k \\ -k \\ 4-k}= \vektor{2 \\ 0 \\ 4}+k*\vektor{1 \\ -1 \\ -1}[/mm]
>
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> b) Bestimme k so, dass das Viereck ABCDk ein Parallelogramm
> ist.
> Lösung:
>
> Im Parallelogramm gilt:
>
> [mm]\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}[/mm] und
> [mm]\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC}[/mm]
>
> Für Vektor [mm]\overrightarrow{AB}[/mm] gilt: (2,2,-1)
> Für vektor [mm]\overrightarrow{BC}[/mm] gilt: (0,0,-2)
>
> Für [mm]\overrightarrow{DC}[/mm] zb muss also gelten: (2,2,-1)
> [mm]\overrightarrow{DC}= \vec{c}-\vec{d}=[/mm]
>
> [mm]\vektor{5 \\ 1 \\ 2}- \vektor{2+k \\ -k \\ 4-k}[/mm] soll sein:
> [mm]\vektor{2 \\ 2 \\ -1}[/mm]
>
> Dies gilt wenn k=1
> --> Im Fall k=1 ist das Viereck ABCD ein parallelogramm
>
![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]")
> c) Betrachte das Viereck ABCD1. Zeige: Die Halbierende des
> Viereckwinkels in A hat die Gleichung:
>
> [mm]\vec{x}= (3,-1,1)+\lambda*(1,1,1)[/mm]
>
> Formel für Winkelhalbierende in A:
>
> w= [mm]\bruch{\overrightarrow{AB}}{|\overrightarrow{AB}|}[/mm] +
> [mm]\bruch{\overrightarrow{AD}}{|\overrightarrow{AD}|}[/mm] =
> [mm]\vektor{2/3 \\ 2/3 \\ 2/3}[/mm]
>
> Da Vektor (1,1,1) ein Vielfaches von Vektor (2/3, 2/3, 2/3)
> ist stimmt die Gleichung!
Korrekt
>
> d) Zeige: Die WInkelhalbierende aus c) schneidet die
> Vierecksseite [mm]\overline{D1C}[/mm] im Punkt S(13/3, 1/3, 7/3)
>
> Hier habe ich zuerst einmal gezeigt, dass S auf der
> Winkelhalbierenden liegt. War auch der Fall und hatte dann
> für [mm]\lambda=[/mm] 4/3 raus.
> Doch wie gehts jetzt weiter?
Bestimme dazu mal die Hilfsgerade [mm] h:\vec{x}=\vec{c}+\lambda*\overrightarrow{CD_{1}} [/mm] Dann Zeige, dass S auch auf dieser Geraden liegt, und zwar mit [mm] \lambda<1 [/mm] (Sonst läge der Punkt ausserhalb der Vierecksseite [mm] \overline{D_{1}C}
[/mm]
>
> lg :)
>
>
Marius
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