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| Aufgabe | Gegeben sind jeweils drei Punkte.
a) A(3/2/1) B(4/4/0) C(-2/4/6)
Bestimmen sie jeweils für die Ebene durch die Drei Punkte eine Vektorgleichung, eine Koordinatengleichung und einen Lotvektor.
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GUten Tag an alle,
Könnet ihr mir dabei bitte helfen ich habe nämlich kein Plan wie ich das angehen soll :-(
lg
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo JasminMichelle,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> Gegeben sind jeweils drei Punkte.
> a) A(3/2/1) B(4/4/0) C(-2/4/6)
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> Bestimmen sie jeweils für die Ebene durch die Drei Punkte
> eine Vektorgleichung, eine Koordinatengleichung und einen
> Lotvektor.
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> GUten Tag an alle,
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> Könnet ihr mir dabei bitte helfen ich habe nämlich kein
> Plan wie ich das angehen soll :-(
Schau Dir mal diesen Artikel an.
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> lg
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> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
Gruß
MathePower
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Ich habe mir deinen Artikel mal angeschaut, aber wenn ich ehrlich bin, kann ich damit nicht wirklich etwas anfangen. Könnstest du mir mal ein Beispiel anhand der Punkte geben, bzw. einen Rechenweg mit Zahlen (keine Variablen) aufzeigen, weil ich es sonst nicht verstehen kann.
MfG JME
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:51 Sa 18.04.2009 | | Autor: | gaugau |
Wie in dem Artikel schon steht lautet die Parameterform (entspricht denke ich mal der "Vektorgleichung")
$ [mm] \vec [/mm] x = [mm] \vec [/mm] a + [mm] r\cdot{} \vec [/mm] u + [mm] s\cdot{} \vec [/mm] v $
Das heißt, du berechnest zwei Vektoren anhand der gegebenen Punkte, die du dann als Spannvektoren nutzt. Also z.B.:
E: $ [mm] \vec [/mm] x = [mm] \vec [/mm] a + [mm] r\cdot{} \overrightarrow{AB} [/mm] + [mm] s\cdot{} \overrightarrow{AC} [/mm] $
Wie du [mm] \overrightarrow{AB} [/mm] bzw. [mm] \overrightarrow{AC} [/mm] bestimmst sollte dir klar sein.
Dann kannst du dir mithilfe des Skalarprodukts einen orthogonalen Vektor zu den Spannvektoren [mm] \overrightarrow{AB} [/mm] und [mm] \overrightarrow{AC} [/mm] berechnen, indem du das LGS löst.
$ [mm] \overrightarrow{AB} \cdot \vec [/mm] n = 0 $
$ [mm] \overrightarrow{AC} \cdot \vec [/mm] n = 0 $
Du erhältst mit [mm] n_{1}, n_{2}, n_{3} [/mm] den Normalenvektor (entspricht denke ich dem "Lotvektor") [mm] \vec{n} [/mm] = [mm] \vektor{n_{1} \\ n_{2} \\ n_{3}}.
[/mm]
Anschließend verwendest du die Koeffizienten des Normalenvektors der Gleichung und stellst eine Gleichung wie folgt auf:
$ [mm] n_{1}x_{1} [/mm] + [mm] n_{2}x_{2} [/mm] + [mm] n_{3}x_{3} [/mm] = d $
d wählst du hier, indem du die Koordinaten eines Punktes der Ebene einsetzt.
Nun hast du die Ebene in den drei verschiedenen Formen.
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Die Gleichung für die Ebene hab ich jetzt bestimmen können. Aber ab dem Skalarprodukt komme ich nicht weiter bzw. ich verstehe nicht was du meinst.
MfG JME
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:30 Sa 18.04.2009 | | Autor: | abakus |
> Die Gleichung für die Ebene hab ich jetzt bestimmen können.
> Aber ab dem Skalarprodukt komme ich nicht weiter bzw. ich
> verstehe nicht was du meinst.
>
> MfG JME
Hallo,
Ein Vektor, der senkrecht auf einer Ebene steht, steht auch sekrecht auf jeder Gerade in dieser Ebene.
Deshalb muss das Skalarprodukt des gesuchten Lotvektors mit jedem der beiden Spannvektoren Null ergeben.
Ich hoffe allerdings, dass ihr außer dem Skalarprodukt auch das Vektorprodukt (auch Kreuzprodukt genannt) kennengelernt habt.
Das Vektorprodukt zweier Vektoren steht senkrecht auf beiden. Damit liefert das Vektorprodukt der beiden Spannvektoren deiner Ebene sofort einen Lotvektor der Ebene.
Außerdem: Wenn du die Ebenengleichung auch in der Form ax+by+cz=d aufgestellt hast, dann ist [mm] \vektor{a \\ b\\c} [/mm] der gesuchte Lotvektor der Ebene.
Gruß Abakus
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Also wäre das Kreuzprodukt wäre (12/0/12) und das Skalarprodukt wäre -6.
Ist/wäre das richtig?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:51 Sa 18.04.2009 | | Autor: | abakus |
> Also wäre das Kreuzprodukt wäre (12/0/12) und das
> Skalarprodukt wäre -6.
> Ist/wäre das richtig?
Skalarprodukt brauchst du nicht, Vektorprodukt stimmt. Also steht der Vektor [mm] \vektor{12 \\ 0\\12} [/mm] (und damit auch 1/12 davon, also [mm] \vektor{1 \\ 0\\1} [/mm] ) senkrecht auf beiden Spannvektoren und damit auf der gesamten Ebene.
Eine Ebenengleichung in Koordinatenform lautet damit
12x+0y+12z=d (und Einsetzten eines Ebenenpunktes - z.B. durch die Koordinaten von A - erhältst du den konkreten Wert für d.
(Du kannst die Gleichung genau so mit 1x+0y+1z=d ansetzen und erhältst mit diesen kleineren Koeffizienten ein entsprechend kleineres d).
Gruß Abakus
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Ah ok und wie komme ich nun an den Lotvektor? Ich blick nun langsam nicht mehr durch :(
MfG JME
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> Ah ok und wie komme ich nun an den Lotvektor?
Hallo,
der Vektor, den Du durchs Kreuzprodukt (=Vektorprodukt) gewonnen hast, steht doch senkrecht auf der Ebene.
Gruß v. Angela
Ich blick nun
> langsam nicht mehr durch :(
>
> MfG JME
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Ist das Kreuzprodukt nicht der Richtungsvektor für die Lotgerade?
MfG JME
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:01 Sa 18.04.2009 | | Autor: | gaugau |
> Ist das Kreuzprodukt nicht der Richtungsvektor für die
> Lotgerade?
>
> MfG JME
Ja, das Kreuzprodukt ergibt den Vektor [mm] \vec{n}, [/mm] der senkrecht auf der Ebene steht.
Diesen kannst du wiederum als Richtungsvektor verwenden, um eine Lotgerade aufzustellen:
g: [mm] \vec{x} [/mm] = [mm] \vec{p} [/mm] + r [mm] \cdot \vec{n}
[/mm]
Du brauchst also den Lotvektor, um die Lotgerade aufzustellen. Der Lotvektor fungiert hier also als Richtungsvektor.
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