Vektoren / Ebenen / Geraden < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:44 Fr 06.07.2007 | | Autor: | Zuggel |
| Aufgabe | Hallo alle zusammen! Ich habe ein Problem mit folgender Aufgabe:
Finden Sie die Koeffizienten a,b,c folgender Ebenen, sodass jeder immer jeweils orthogonal auf die anderen beiden liegen:
P : ax + y + z = 1, Q : x + by + z = 2, T : x + y + cz = −1
Ermitteln Sie weiters:
Die Gleichung der parallelen Strecke zu der Ebene P und Q, welche den Punkt S passiert, der definiert ist, durch den Schnittpunkt der y-Achse mit der Ebene T!
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Mein Lösungsansatz war folgender (welcher sich als falsch erwies):
Ich habe 3 Vekotren dieser Ebenen verwendet welche ich so definiert habe:
Vektor Ebene P (a/1/1)
Vektor Ebene Q (1/b/1)
Vektor Ebene T (1/1/c)
Mit dem Skalarprodukt, dessen Resultat einen orthogonalen Vektor zur Folge hat, habe ich versucht, die 3 Vektoren zusammenzuführen. Nur das Resultat bildet 2 Gleichungen mit 3 Unbekannten!
Danke für die Aufmerksamkeit
Grüße
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo Zuggel,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") !!
Du hast doch drei Bestimmungsgleichungen mit:
[mm] $\vektor{a\\1\\1}*\vektor{1\\b\\1} [/mm] \ = \ 0$
[mm] $\vektor{a\\1\\1}*\vektor{1\\1\\c} [/mm] \ = \ 0$
[mm] $\vektor{1\\b\\1}*\vektor{1\\1\\c} [/mm] \ = \ 0$
Gruß vom
Roadrunner
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:21 Fr 06.07.2007 | | Autor: | Zuggel |
Hallo! Danke für den herzhaften Empfang :) und danke für die schnelle ANtwort :)
In der Tat! Ok damit wäre das erste Problem dann gelöst... :)!
Wie sieht es mit der Geraden aus? Da fehlt mir einfach der Ansatz :)!
Grüße
Zuggel
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:31 Fr 06.07.2007 | | Autor: | M.Rex |
Hallo Zuggel und
Wenn du die Gerade suchst, die durch S geht, und Parallel zu den Ebene P und Q verläuft, kannst du als Richtungsvektor den Normalenvektor [mm] \vec{n_{t}} [/mm] der Ebene T nehmen, da diese ja senkrecht auf P und Q steht.
Also gilt:
[mm] g:\vec{x}=\vec{s}+\lambda\vec{n_{t}}
[/mm]
Bleibt noch, S zu berechnen.
Dazu mal die y-Achse als Geradengleichung:
[mm] y=\mu\vektor{0\\1\\0}
[/mm]
das mal in T= x + y + cz = −1 eingesetzt [mm] ergibt:0\mu+\mu+c*0\mu=-1\gdw\mu=-1
[/mm]
Also ist [mm] \vec{s}=(-1)*\vektor{0\\1\\0}=\vektor{0\\-1\\0}
[/mm]
Somit ergibt sich für die Gerade:
[mm] g:\vec{x}=\vektor{0\\-1\\0}+\lambda\vec{n_{t}}
[/mm]
Marius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:43 Fr 06.07.2007 | | Autor: | Zuggel |
Also ich habe deine Anweisungen befolgt, das Ergebnis des Skalarproduktes wie folgt:
Aus 1. Gleichung:
[mm] \pmat{ 1-b \\ 1-a \\ a*b -1 }
[/mm]
Aus 2. Gleichung:
[mm] \pmat{ b*c-1 \\ 1-c \\ 1-b }
[/mm]
Aus 3.Gleichung:
[mm] \pmat{ c-1 \\ 1-a*c \\ a-1 }
[/mm]
Wenn ich das auf a,b,c auflöse und die Gleichungen 0 setze, bekomme ich für a=b=c= 1 heraus. Wenn ich diese Ebenen dann zeichnen lasse mit Derive, bekomme ich 3 parallele Ebenen heraus.
Was habe ich hier falsch gemacht?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:47 Fr 06.07.2007 | | Autor: | M.Rex |
Hallo.
Das Skalarprodukt ist falsch, wie der Name schon sagt, sollte da ein Skalar (eine Zahl) herauskommen, kein Vektor.
$ [mm] \vektor{a\\1\\1}\cdot{}\vektor{1\\b\\1} [/mm] \ = \ 0 $
[mm] \gdw [/mm] a+b+1=0
$ [mm] \vektor{a\\1\\1}\cdot{}\vektor{1\\1\\c} [/mm] \ = \ 0 $
[mm] \gdw [/mm] a+1+c=0
$ [mm] \vektor{1\\b\\1}\cdot{}\vektor{1\\1\\c} [/mm] \ = \ 0 $
[mm] \gdw [/mm] 1+b+c=0
Also hast du folgendes LGS:
[mm] \vmat{a+b=-1\\a+c=-1\\b+c=-1}
[/mm]
Marius
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