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Hi,
das ist eine Aufgabe aus einer Altklausur, leider habe ich dazu keine Musterlösung oder irgendeinen Ansatz. Ich habe so eine Aufgabe bisher nicht gesehen.
[Dateianhang nicht öffentlich]
Um die Aufgabe irgendwie lösen zu können, würde ich jetzt das ganze "ausschreiben".
[mm] $F(\vec{x}):=\vec{x}-\bruch{<\vec{x},\vec{v}>}{||\vec{v}||^2}*\vec{v}$
[/mm]
[mm] $F(\vec{x}):=\vektor{x \\ y \\ z}-\bruch{<\vec{x},\vec{v}>}{(\wurzel{2^2+1^2+2^2})^2}*\vektor{2 \\ 1 \\ 2}$
[/mm]
[mm] $F(\vec{x}):=\vektor{x \\ y \\ z}-\bruch{\vektor{x\ \ y\ \ z}*\vektor{2 \\ 1 \\ 2}}{(\wurzel{2^2+1^2+2^2})^2}*\vektor{2 \\ 1 \\ 2}$
[/mm]
[mm] $F(\vec{x}):=\vektor{x \\ y \\ z}-\bruch{\vektor{2x+y+2z}}{9}*\vektor{2 \\ 1 \\ 2}$
[/mm]
Also falls das bis hier hin stimmen sollte, weiß ich ab hier nicht mehr weiter!
Könnt ihr mir vielleicht helfen und sagen ob das so stimmt oder ob es total falsch ist?
Danke!
Gruß Thomas
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: PNG) [nicht öffentlich]
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Hi, Knockdown,
> Um die Aufgabe irgendwie lösen zu können, würde ich jetzt
> das ganze "ausschreiben".
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> [mm]F(\vec{x}):=\vec{x}-\bruch{<\vec{x},\vec{v}>}{||\vec{v}||^2}*\vec{v}[/mm]
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> [mm]F(\vec{x}):=\vektor{x \\ y \\ z}-\bruch{<\vec{x},\vec{v}>}{(\wurzel{2^2+1^2+2^2})^2}*\vektor{2 \\ 1 \\ 2}[/mm]
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> [mm]F(\vec{x}):=\vektor{x \\ y \\ z}-\bruch{\vektor{x\ \ y\ \ z}*\vektor{2 \\ 1 \\ 2}}{(\wurzel{2^2+1^2+2^2})^2}*\vektor{2 \\ 1 \\ 2}[/mm]
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> [mm]F(\vec{x}):=\vektor{x \\ y \\ z}-\bruch{\vektor{2x+y+2z}}{9}*\vektor{2 \\ 1 \\ 2}[/mm]
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> Also falls das bis hier hin stimmen sollte, weiß ich ab
> hier nicht mehr weiter!
Also ich würd so weitermachen:
[mm] F(\vec{x}):=\bruch{1}{9}*\vektor{9x \\ 9y \\ 9z}-\bruch{1}{9}*\vektor{2*(2x + y + 2z) \\ 1*(2x + y + 2z) \\ 2*(2x + y + 2z)}
[/mm]
= [mm] \bruch{1}{9}*\vektor{9x - 2*(2x + y + 2z) \\ 9y - 1*(2x + y + 2z) \\ 9z -2*(2x + y + 2z)}
[/mm]
= [mm] \bruch{1}{9}*\vektor{5x - 2y - 4z \\ -2x + 8y - 2z \\ -4x - 2y + 5z}
[/mm]
= [mm] \bruch{1}{9}*\pmat{ 5 & -2 & -4 \\ -2 & 8 & -2 \\ -4 & -2 & 5}*\vektor{x \\ y \\ z}
[/mm]
(Nachrechnen! Keine Garantie!)
mfG!
Zwerglein
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Hi Zwerglein,
vielen dank fürs weiter machen! Da wär ich im leben net in der Klausur drauf gekomme :( Jetzt wo ich es sehe, siehts wirklich logisch aus.
> = [mm]\bruch{1}{9}*\vektor{9x - 2*(2x + y + 2z) \\ 9y - 1*(2x + y + 2z) \\ 9z -2*(2x + y + 2z)}[/mm]
>
> = [mm]\bruch{1}{9}*\vektor{5x - 2y - 4z \\ -2x + 8y - 2z \\ -4x - 2y + 5z}[/mm]
>
> = [mm]\bruch{1}{9}*\pmat{ 5 & -2 & -4 \\ -2 & 8 & -2 \\ -4 & -2 & 5}*\vektor{x \\ y \\ z}[/mm]
>
> (Nachrechnen! Keine Garantie!)
>
> mfG!
> Zwerglein
>
Ich hab das jetzt nochmal nachgerechnet, müsste aber stimmen!
Mir ist dazu jetzt ne Frage gekommen und zwar dürfen wir in der Arbeit KEINEN Taschenrechner verwenden. Zu dieser Aufgabe aber, soll man ja auch noch den Kern bestimmen. Kann ich jetzt hingehen und das [mm] $\bruch{1}{9}$ [/mm] ausgeklammert lassen, und die Matrix [mm] \pmat{ 5 & -2 & -4 \\ -2 & 8 & -2 \\ -4 & -2 & 5} [/mm] nach Gauß transformieren, dann den Kern bestimmen. [mm] $\vektor{9 \\ -9 \\ 0}$ [/mm] heraus, kann ich dann [mm] $\bruch{1}{9}*\vektor{9 \\ -9 \\ 0}$ [/mm] nehmen --> [mm] $\vektor{1 \\ -1\\ 0}$ [/mm] geht das?
Also kann ich, wenn ich eine Matrix habe und einen Wert (Skalar bzw. das Lamda) ausklammern kann um die Matrix für das "Kopfrechnen" zu vereinfachen trotzdem den Kern bestimmen und diesen mit dem Skalar multiplizieren um auf den "eigentlichen" Kern kommen kann.
Danke Gruß Thomas
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Ja, natürlich geht das!
Matrizen sind lin Abbildungen, und der Kern sind alle Vektoren [mm] \vec{x}, [/mm] für die [mm] A\vec{x}=\vec{0} [/mm] gilt.
Jetzt kannst du da noch skalare Werte hineinschreiben, das ändert nichts am Resultat: [mm] A(b*\vec{x})=b*A\vec{x}\vec{0}
[/mm]
Anschaulich ist der Kern eine Grade, Ebene, ... durch den Ursprung, die auf 0 abgebildet wird. Das heißt aber auch, daß vielfache eines vektors aus dem Kern ebenfalls im Kern sind.
Der ausgeklammerte Wert verursacht nun einfach eine Verlängerung/ Verkürzung eines Vektors, auf den die Matrix wirkt. Demnach macht das nichts aus.
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Hi,
also das ist die Matrix, von der ich den Kern bestimmen soll. Ich mache das jetzt mal, nur um zu sehen, dass ich das auch richtig mache, da ich das mit einem Skalar vor einer Matrix noch nie hatte.
[mm] $\bruch{1}{9}\cdot{}\pmat{ 5 & -2 & -4 \\ -2 & 8 & -2 \\ -4 & -2 & 5}$
[/mm]
Mit Gauß transformiert
[mm] $\bruch{1}{9}\cdot{}\pmat{ 1 & -4 & 1 \\ 0 & 2 & -1 \\ 0 & 0 & 0}$
[/mm]
Nun "erweitere ich die Matrix":
[mm] $\bruch{1}{9}\cdot{}\pmat{ 1 & -4 & 1 \ \ \ | 0 \\ 0 & 2 & -1 \ \ | 0 \\ 0 & 0 & 1 \ \ \ |\ a }$
[/mm]
[mm] $x_3=a$
[/mm]
[mm] $x_2=\bruch{1}{2}a$
[/mm]
[mm] $x_1=a$
[/mm]
Wie geht es ab hier genau weiter? Also wegen dem [mm] $\bruch{1}{9}$
[/mm]
Im Normalfall würde ich jetzt so weitermachen:
[mm] $\bruch{1}{2}a*\vektor{2 \\ 1 \\ 2}$
[/mm]
[mm] $Span=\vektor{\vektor{2 \\ 1 \\ 2}}$
[/mm]
So jetzt habe ich den [mm] $\bruch{1}{9}$ [/mm] net eingebaut wie muss ich das mache? Einfach alles mal [mm] $\bruch{1}{9}$ [/mm] multiplizieren?
Danke für die Hilfe
Gruß Thomas
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> Hi,
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> also das ist die Matrix, von der ich den Kern bestimmen
> soll. Ich mache das jetzt mal, nur um zu sehen, dass ich
> das auch richtig mache, da ich das mit einem Skalar vor
> einer Matrix noch nie hatte.
>
> [mm]\bruch{1}{9}\cdot{}\pmat{ 5 & -2 & -4 \\ -2 & 8 & -2 \\ -4 & -2 & 5}[/mm]
>
> Mit Gauß transformiert
>
> [mm]\bruch{1}{9}\cdot{}\pmat{ 1 & -4 & 1 \\ 0 & 2 & -1 \\ 0 & 0 & 0}[/mm] ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") Hallo Thomas
>
>
> Nun "erweitere ich die Matrix":
>
Wieso machst du das? Du kannst doch von hier direkt "Rückwärtseinsetzen": Mit Zeile 2 hast du 1 freie Variable, zB [mm] x_3=t\in\IR \Rightarrow x_2=\bruch{1}{2}t \underbrace{\Rightarrow}_{Zeile 1} x_1=t [/mm]
Also ker(F)= [mm] Span\vektor{1 \\ \bruch{1}{2} \\ 1}=Span\vektor{2 \\ 1 \\ 2}.
[/mm]
[mm] \vektor{2 \\ 1 \\ 2} [/mm] ist also eine Basis vom Kern(F)
>
> [mm]\bruch{1}{9}\cdot{}\pmat{ 1 & -4 & 1 \ \ \ | 0 \\ 0 & 2 & -1 \ \ | 0 \\ 0 & 0 & 1 \ \ \ |\ a }[/mm]
>
> [mm]x_3=a[/mm]
>
> [mm]x_2=\bruch{1}{2}a[/mm]
>
> [mm]x_1=a[/mm]
>
>
> Wie geht es ab hier genau weiter? Also wegen dem
> [mm]\bruch{1}{9}[/mm]
>
>
> Im Normalfall würde ich jetzt so weitermachen:
>
> [mm]\bruch{1}{2}a*\vektor{2 \\ 1 \\ 2}[/mm]
>
>
> [mm]Span=\vektor{\vektor{2 \\ 1 \\ 2}}[/mm] ![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]")
>
>
> So jetzt habe ich den [mm]\bruch{1}{9}[/mm] net eingebaut wie muss
> ich das mache? Einfach alles mal [mm]\bruch{1}{9}[/mm]
> multiplizieren?
>
Nö, alles was [mm] \vektor{2 \\ 1 \\ 2} [/mm] aufspannt, spannt doch auch [mm] \vektor{\bruch{2}{9} \\ \bruch{1}{9} \\ \bruch{2}{9}} [/mm] auf.
Es ist doch [mm] span\vektor{2 \\ 1 \\ 2}=\{\lambda\cdot\vektor{2 \\ 1 \\ 2} mit \lambda\in\IR\}=\{\mu\cdot\vektor{\bruch{2}{9} \\ \bruch{1}{9} \\ \bruch{2}{9}} mit \mu\in\IR\}=\{\underbrace{\bruch{1}{9}\mu}_{\in\IR}\cdot\vektor{ 2 \\ 1 \\ 2} mit \mu\in\IR\} [/mm] Wenn [mm] \mu [/mm] ganz [mm] \IR [/mm] durchläuft, dann auch [mm] \bruch{1}{9}\mu
[/mm]
Wie Event_Horizon schon sagte, ist es egal, ob du alle [mm] \vec{x} \ne\vec{0} [/mm] mit [mm] A\cdot\vec{x}=\vec{0} [/mm] oder [mm] \bruch{1}{9}A\cdot\vec{x}=\vec{0}, [/mm] denn
[mm] \bruch{1}{9}A\cdot\vec{x}=\vec{0}\Leftrightarrow A\cdot\vec{x}=\vec{0}
[/mm]
> Danke für die Hilfe
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>
>
> Gruß Thomas
>
Gruß zurück 
schachuzipus
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