Vektoren abhängig? < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:49 Sa 07.08.2004 | | Autor: | kai |
Ich habe diese Frage in keinem weiteren Forum gestellt.
Es sind 2 Vektoren der 3. Dimension gegeben!
Aus denen hab ich das folgende l. Gleichungssystem erstellt: 4r + 8t = 0 ; -3r - 6t = 0 ; 2r + 4t = 0;
Ich soll bestimmen, ob sie unabh. oder abh. sind. Man sieht ja gleich das die Vektoren l. abh. sind z.B. für r=2 und t=-1 das ist ja noch recht leicht zu durchschauen! Aber wenn ich jetzt 3,4 oder 5 Vektoren hab ist das ja nicht mehr so leicht.
Nun zu meiner Frage:
Wenn ich das o.g. l. Gleichss. auflösen will krieg ich ja offensichtlich immer 0=0 raus oder nicht? Heisst das dann das die Vektoren l. abhängig sind?
Hoffe nur das das jetzt keine dumme Frage ist;)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:48 Sa 07.08.2004 | | Autor: | Clemens |
Hallo kai!
> Nun zu meiner Frage:
> Wenn ich das o.g. l. Gleichss. auflösen will krieg ich ja offensichtlich
> immer 0=0 raus oder nicht?
Wenn du ein Gleichungssystem auflöst, ermittelst du die möglichen Werte der Unbekannten (hier r und t), für die die Gleichungen des Gleichungssystems stimmen. Wenn du die dann einsetzt, kommt natürlich immer 0 = 0 raus.
Hier gilt zum Beispiel:
Lösungsmenge = {(r,t) aus [mm] R^2| [/mm] r = -2t}
(hier habe ich die Lösungen als Paar aufgefasst).
Vielleicht meinst du aber die Frage auch so, dass du eine Gleichung nach einer Variablen auflöst und dann in die anderen Gleichungen einsetzt. Dann eliminierst du ja eine Variable. Wenn dann in allen Gleichungen 0 = 0 rauskommt, dann kannst du natürlich für alle Variablen jeden denkbaren Wert einsetzen und es kommt immer 0 = 0 raus. Hier musst du aber aufpassen, was ich an deinem auf 2 Gleichungen reduzierten LGS zeigen möchte:
I 4r + 8t = 0
II 2r + 4t = 0
I <==> r = -2t
I in II ==> -4t + 4t = 0
==> 0 = 0
Jetzt kommt tatsächlich 0 = 0 raus und die untere Gleichung stimmt für alle Werte, die r und t annehmen können. Die oberen aber nicht, denn zum Beispiel stimmt die Gleichung I für r = 1 und t = 0 nicht. Das liegt daran, dass wir keine Äquivalenzumformungen gemacht haben, sondern nur Implikationen.
Wenn du aus einem LGS also folgerst, dass 0 = 0, dann können die Vektoren linear abhängig oder unabhängig sein.
> Heisst das dann das die Vektoren l. abhängig sind?
Die Vektoren v1, ..., vn heißen linear abhängig, wenn es Zahlen r1,...,rn mit ri [mm] \not= [/mm] 0 für ein i, und r1*v1 + ... + rn*vn = 0.
D. h. wenn du die lineare Abhängigkeit zeigen willst, reicht es nicht, dass du für ein (r,t)-Paar zeigst, dass alle Gleichungen auf die Form 0 = 0 gebracht werden können, sondern du musst zeigen, dass (r,t) [mm] \not= [/mm] (0,0). Das trifft hier natürlich zu: r = 2, t = -1, also sind die Vektoren linear abhängig.
> Aber wenn ich jetzt 3,4 oder 5 Vektoren hab ist das ja nicht mehr so leicht.
Bei so vielen Vektoren und so vielen Vorfaktoren bietet sich der Gauss'sche Algorithmus an, um die Lösungen des LGS zu ermitteln.
> Hoffe nur das das jetzt keine dumme Frage ist;)
Es gibt keine dummen Fragen.
MfG Clemens
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