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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:55 So 05.12.2004 | | Autor: | Mato |
Die erste Aufgabe lautet: Wie muss die reele Zahl a gewählt werden, damit die Vektoren eine Basis des [mm] R^3^bilden?
[/mm]
Die Vektoren sind: [mm] \vektor{a 0 3 \\ 1 1 0 \\ 2 a 1}
[/mm]
Nach dem Gauss-Verfahren kriege ich nur eine Lösung und zwar [mm] a^2 [/mm] +2a+1=0, mit der Lösung, für a ungleich -1.
Es gibt jedoch die zweite Lösung a ungleich 2. Auf die zweite Lösung kann ich rechnerisch nicht kommen. Ich kann lediglich beim Einsetzen nachweisen, dass die Lösung für a gleich 2 keine Basis bilden würde.
Die zweite Aufgabe lautet: Wie muss die reele Zahl a gewählt werden, damit die Vektoren eine Basis des [mm] R^3^bilden?
[/mm]
Die Vektoren: [mm] \vektor{4 -3 a \\ 4 - 3 a \\ 8 a -12}
[/mm]
Mein Problem besteht darin, dass für diese Aufgabe in meinem Buch eine Lösung für a ungleich -6 gibt.
Ich bin mit der Lösung nicht einverstanden. Da die ersten beiden Vektoren gleich sind, bedeutet das für mich, dass die beiden von einander linear abhängig sind, also können diese auch keine Basis bilden, da dieses ein Widerspruch zur definition wäre.
Die dritte Aufgabe lautet: Wie muss die reele Zahl a gewählt werden, damit die Vektoren eine Basis des [mm] R^3^bilden?
[/mm]
Die Vektoren: [mm] \vektor{a^3 1 27\\ a^2 1 9 \\ a 1 a^5}
[/mm]
Nach dem Gauss-Verfahren kriege ich mehrere Lösungen und zwar für [mm] 3a^8 -3a^7 -27a^3 +81a^2 [/mm] -54a=0
Für diese Gleichung kriege ich entweder mit Polynomdivision oder mit Horner-Schema mindestens zwei Lösungen und zwar für a=0 und a=1.
Mein Problem besteht darin, dass im Buch nur eine Lösung für a gibt und zwar die Eins.
Ich bedanke mich schon mal im Voraus!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:05 Mo 06.12.2004 | | Autor: | Sigrid |
Hallo Mato,
> Die erste Aufgabe lautet: Wie muss die reele Zahl a gewählt
> werden, damit die Vektoren eine Basis des [mm]R^3^bilden?
[/mm]
> Die Vektoren sind: [mm]\vektor {a 0 3 \\1 1 0\\2 a 1}\[/mm]
Deine Vektoren sind leichter zu lesen, wenn du den Formeleditor korrekter benutzt. Deine Vektoren sollen wohl so aussehen:
[mm]\begin{pmatrix} a \\ 0\\ 3 \end{pmatrix} [/mm] [mm]\begin{pmatrix} 1\\ 1\\ 0 \end{pmatrix} [/mm] [mm]\begin{pmatrix} 2 \\ a\\ 1 \end{pmatrix} [/mm]
oder?
> Nach
> dem Gauss-Verfahren kriege ich nur eine Lösung und zwar [mm]a^2[/mm]
> +2a+1=0, mit der Lösung, für a ungleich -1.
> Es gibt jedoch die zweite Lösung a ungleich 2. Auf die
> zweite Lösung kann ich rechnerisch nicht kommen. Ich kann
> lediglich beim Einsetzen nachweisen, dass die Lösung für a
> gleich 2 keine Basis bilden würde.
Nach meiner Rechnung sind die Vektoren auch für a=2 linear unabhängig, bilden also eine Basis.
>
> Die zweite Aufgabe lautet: Wie muss die reele Zahl a
> gewählt werden, damit die Vektoren eine Basis des
> [mm]R^3^bilden?
[/mm]
> Die Vektoren: [mm]\vektor{4 -3 a \\ 4 - 3 a \\ 8 a -12}
[/mm]
>
> Mein Problem besteht darin, dass für diese Aufgabe in
> meinem Buch eine Lösung für a ungleich -6 gibt.
> Ich bin mit der Lösung nicht einverstanden. Da die ersten
> beiden Vektoren gleich sind, bedeutet das für mich, dass
> die beiden von einander linear abhängig sind, also können
> diese auch keine Basis bilden, da dieses ein Widerspruch
> zur definition wäre.
Das sehe ich genau so. Ich vermute, dass sich in die Aufgabenstellung ein Druckfehler eingeschlichen hast. Ich gehe dabei davon aus, dass du die Vektoren
[mm]\begin{pmatrix} 4 \\ -3\\ a \end{pmatrix} [/mm] [mm]\begin{pmatrix} 4 \\ -3\\ a \end{pmatrix} [/mm] [mm]\begin{pmatrix} 8 \\ a\\ -12 \end{pmatrix} [/mm]
meinst.
> Die dritte Aufgabe lautet: Wie muss die reele Zahl a
> gewählt werden, damit die Vektoren eine Basis des
> [mm]R^3^bilden?
[/mm]
> Die Vektoren: [mm]\vektor{a^3 1 27\\ a^2 1 9 \\ a 1 a^5}
[/mm]
>
> Nach dem Gauss-Verfahren kriege ich mehrere Lösungen und
> zwar für [mm]3a^8 -3a^7 -27a^3 +81a^2[/mm] -54a=0
> Für diese Gleichung kriege ich entweder mit
> Polynomdivision oder mit Horner-Schema mindestens zwei
> Lösungen und zwar für a=0 und a=1.
> Mein Problem besteht darin, dass im Buch nur eine Lösung
> für a gibt und zwar die Eins.
>
Auch hier hast du recht. Steht in der Aufgabenstellung eventuell schon [mm] a \not= 0 [/mm]?
Welches Buch benutzt ihr eigentlich?
> Ich bedanke mich schon mal im Voraus!
>
>Gruß Sigrid
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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