Vektoren die Ax=x erfüllen < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Gegeben ist die Matrix A = [mm] \pmat{ 2 & 5 & -9 \\ -2 & -6 & 12 \\ 1 & 3 & -4 }
[/mm]
Bestimmen Sie alle Vektoren , die die Gleichung Ax = x erfüllen.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Also wenn ich A*x rechne komme ich auf folgende gleichungen
I 2x+5x-9z =x
II -2x-6y+12z =y
III x+3y-4z =z
Aber irgendwie lassen die sich jetzt nicht auflösen, ich bekomme da nur so komische sachen wie y=y raus.
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Guten Tach
Hattet ihr den Begriffe Eigenwert und Eigenvektor schon. Wenn ja dann suchst du die Eigenvektoren von A zum EW ............- Ansonsten kannst du auch dein Gleichungssystem Lösen. Dabei hast du offensichtlich Probleme. Poste bitte mal wo.
Oder:
Stelle das mal so um, dass du dort drei homogene Gleichungen(d.h. A'x=0) stehen hast. Dann ist x ja ein Vektor des Kerns von A' und den kannst du dann berechnen.
Einen schönen tach noch
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Das Problem ist das in dem Gleichungssystem keine Zahl vorkommt die keine Variable als Faktor hat.
Ich habe II nach Z aufgelöst und dann III=II gesetzt. Dann kam ich am ende auf Y=Y.
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Und was machst du mit der ersten Gleichung? Wie löst du ein lineares Gleichungssystem mit 3 Gleichungen auf?
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Aber mein gleichungsystem enthält ja nur Variablen, überhaupt keine Konstanten, also kann ich als
Lösung ja niemals eine Konstante als Wert für eine Variable rausbekommen?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:33 Mi 09.01.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
[mm] $\pmat{ 2 & 5 & -9 \\ -2 & -6 & 12 \\ 1 & 3 & -4 } *\vektor{x\\y\\z}=\vektor{x\\y\\z}$
[/mm]
führt zu dem Gleichungssystem:
(I) $2x+5y-9z=x$
(II) $-2x-6y+12z=y$
(III) $x+3y-4z=z$
bzw. äquivalent dazu:
(I) $x+5y-9z=0$
(II) $-2x-7y+12z=0$
(III) $x+3y-5z=0$
Das sind 3 Gleichungen in den drei Variablen $x,y,z$, z.B. kannst Du mit dem Gaußalgorithmus weiterrechnen...
Wenn da $y=y$ rauskommt, dann kannst Du z.B. $y$ frei wählen, d.h. der Lösungsraum des Gleichungssystem hat schonmal eine Dimension [mm] $\ge [/mm] 1$...
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:40 Mi 09.01.2008 | | Autor: | dunkla |
Wahrscheinlich hast du dich verrechnet. Das Gleichungssystem hat mit hoher Sicherheit eine eindeutige Lösung. (Ich könnt sie dir auch geben, aber das wäre ja nicht zielführend.)
Vllt wäre es sinnvoll du schreibst uns erstmal auf, wie weit du gekommen bist, mit ein paar zwischenschritten.
mfg
dunkla
edit: hoppalla, ich bitte vielmals um Vergebung. Habe des unteren posts wegen nochmal nachgeschaut, hab das Gleichungssystem falsch abgeschrieben gehabt...
Ja, es gibt unendlich viele Lösungen...
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Ich habe jetzt mit dem gauß weitergerechnet und komme auf die Endform
I x + 5y - 9z=0
II -3/2y -15z=0
III -34z=0
Ich glaube ich begreifs nicht, im Ende sind dann alle Variablen null, also kann ich mir deren Werte frei wählen oder wie?
In der Lösung steht da: t [mm] \* \vektor{-1\\2\\1}
[/mm]
Aber wie komme ich auf diesen Vektor?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:33 Mi 09.01.2008 | | Autor: | Marcel |
> Ich habe jetzt mit dem gauß weitergerechnet und komme auf
> die Endform
>
> I x + 5y - 9z=0
> II -3/2y -15z=0
> III -34z=0
>
> Ich glaube ich begreifs nicht, im Ende sind dann alle
> Variablen null, also kann ich mir deren Werte frei wählen
> oder wie?
Hallo,
mir ist unklar, was Du da gerechnet hast, aber das kann nicht stimmen. Du bekommst am Ende hier nur heraus, dass man EINE Variable frei wählen kann und die anderen hier dann in Abhängigkeit zu dieser stehen. Wenn Du den Gaußalgorithmus anwendest erhälst Du das folgende (bzw. etwas analoges, je nachdem, wie Du vorgehst):
Dein Gleichungssystem ist äquivalent zu
(I') $x+5y-9z=0$
(II') $y-2z=0$
(III') $0=0$
(Die letzte Gleichung (III') ist also vollkommen irrelevant, da sie allgemeingültig ist, die kann man auch weglassen.)
(Die Rechnung dazu:
(I) $x+5y-9z=0$
(II) $-2x-7y+12z=0$
(III) $x+3y-5z=0$
hatte ich ja bereits da stehen. (I) bleibt stehen, dann berechnet man (I)-(III) und 2*(I)+(II) und erkennt sehr schnell, dass
(I)-(III) [mm] $\gdw$ [/mm] 2*(I)+(II) [mm] $\gdw$ [/mm] $y=2z$.)
Ich wähle jetzt mal im Gegensatz zu meinem anderen Post $z$ als freie Variable. Das heißt, ich setze $z=t$ für $t [mm] \in \IR$. [/mm] Dann ist wegen (II') dann $y=2z=2t$, und wenn wir dann $z=t$ und $y=2t$ in (I') einsetzen, folgt:
$x+5*(2t)-9t=0$, also $x+t=0$ bzw. $x=-t$.
D.h. genau "ein jeder" Vektor [mm] $\vektor{x\\y\\z}$ [/mm] der Form
[mm] $\vektor{x\\y\\z}=\vektor{-t_0\\2t_0\\t_0}$ [/mm] mit einem [mm] $t_0 \in \IR$ [/mm] erfüllt die Gleichung [mm] $A*\vektor{x\\y\\z}=\vektor{x\\y\\z}$.
[/mm]
Also erhält man, dass alle Lösungen der Gleichung genau in der Menge
[mm] $\{(-t,2t,t)^T \in \IR^3; t \in \IR\}$
[/mm]
gelegen sind, wobei [mm] $(-t,2t,t)^T=\vektor{-t\\2t\\t}$. [/mm]
Diese Menge kann man wegen
[mm] $t*(-1,2,1)^T=(-t,2t,t)^T$ [/mm] auch zu
[mm] \{t*(-1,2,1)^T \in \IR^3; t \in \IR\}
[/mm]
umschreiben.
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:46 Do 10.01.2008 | | Autor: | codymanix |
OK danke, ich glaube langsam leuchtets bei mir.. :)
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