Vektoren einer Basis finden < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:05 So 13.11.2005 | | Autor: | nadine19 |
Hallo!
Ich habe Probleme zu verstehen was eine Basis (eines Vektorraumes) ist bzw. welchen Nutzen man daraus ziehen kann. Für mich hören sich die Definitionen sehr abstrakt an... Ich denke mir ist klar, was man unter linear unabhängig versteht (wenn alle koeffizienten einer linearen gleichung 0 sind und es sonst keine lösung gibt) Weiters sieht meine bisherige Vorstellung einer Basis so aus: ein beliebiger Vektor [mm] \nu [/mm] kann als Linearkombination der Basisvektoren geschrieben werden.
Ich verstehe aber nicht wie ich mit diesem Wissen folgende Aufgabe lösen kann:
Man finde einen dritten Vektor, so dass diese drei Vektoren eine Basis des [mm] R^3 [/mm] bilden:
[mm] \vektor{1 \\ 1 \\ 2}, \vektor{2 \\ 2 \\ 5}
[/mm]
Würde mich über Hinweise bzgl. der Vorgehensweise um so etwas zu Lösen sehr freuen!
lg, nadine
PS: Dimension heißt: alle "Zeilen" eines Basisvektors zählen - ist das richtig?
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:12 Mo 14.11.2005 | | Autor: | Kohei |
Hi Nadine.
Zur Dimension kann ich Dir leider nichts sagen, aber
zum Rest kann ich etwas sagen.
Wenn in einer Reihe von Vektoren keiner der Vektoren
skalares Vielfaches des anderen ist, sind die Vektoren
linear unabhängig. Sie können dann eine Basis bzw.
ein Erzeugendensystem bilden.
Ein Bsp für den [mm] R^{3};
[/mm]
[mm] v_{1}=(2,0,-1)
[/mm]
[mm] v_{2}=(4,0,7)
[/mm]
[mm] v_{3}=(-1,1,4)
[/mm]
Diese Vektoren sind lin. unabhängig und somit Basis.
Du könntest also die Aufgabe lösen ohne wirklich zu rechnen.
lg Kohei
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:27 Mo 14.11.2005 | | Autor: | BennoO. |
hi nadine.
okay, ich werde mal versuchen dir das "anschaulich" zu erklären.
damit du verstehen kannst, was eine basis ist, muß ich erstmal erklären, was ein erzeugendensystem ist. ich schreibe mal die def. davon auf, und sag dann was dazu, okay!?
"geg. vektorraum V und eine teilmenge M von V:
man spricht von einem erzeugendesytem von V wenn gilt: für jeden vektor v aus V gibt es ein [mm] k_i [/mm] aus R (i=1...n) und ein [mm] x_i [/mm] aus V (i=1...n) so das [mm] gilt:v=k_1x_1+k_2x_2...k_nx_n."
[/mm]
soweit zur definition. nun will ich ich's mal "anschaulich" zuerklären.
nimm als beispiel mal den [mm] R^2. [/mm] um den [mm] R^2 [/mm] "aufzuspannen, brauchst du 2 lin.unabhängige vektoren im [mm] R^2. [/mm] (beispiel die vektoren [mm] \vektor{1 \\ 0}, \vektor{0 \\ 1} [/mm] ).
das sind genau die koordinatenachsen. wenn du den [mm] R^3 [/mm] aufspannen möchtest, dann brauchst du drei lin unabh. vektoren im [mm] R^3. [/mm] (beispiel [mm] \vektor{1 \\ 0 \\ 0}, \vektor{0 \\ 1 \\ 0}, \vektor{0 \\ 0 \\ 1} [/mm] ) dies sind genau die koordinatenachsen. die drei vektoren spannen also den raum auf. wenn du den R^ 4 z.b aufspannen willst, dann brauchst du 4, den [mm] R^5 [/mm] 5 lin. unabh. vektoren und so weiter und so fort. so weit so gut. nehmen wir jetzt mal als beispiel den [mm] R^3. [/mm] die drei einheitsvektoren(siehe oben) spannen diesen raum auf. diese drei vektoren bilden ein erzeugendensystem für den [mm] R^3, [/mm] da sich jeder vekrotr [mm] \vektor{v_1 \\ v_2 \\ v_3} [/mm] als linearkombination der drei einheitsvekroten darstellen lässt.(def. von oben) nehmen wir jetzt noch zusätzlich einen vierten vektor, dazu, z.b den vektor [mm] \vektor{0 \\ 1 \\ 1}. [/mm] dann hast du vier vektoren im [mm] R^3. [/mm] das ist dann immer noch ein erzeugendensystem, allerdings keine "basis" mehr. von einer basis spricht man, wenn das erzeugendensystem "minimal" ist. das heißt, wenn du einen vektor aus deiner teilmenge auslassen darfst, ohne die "lineare hülle" zu ändern.(das heißt, die verbleibenden vektoren spannen immer noch denselben raum auf, wie mit dem "ausgelassenen" vektor) also die drei einheitsvektoren bilden ein erzeugendensystem und gleichzeitig eine basis, da sie 1) alle linear unabhängig sind und 2) du keinen vektor auslassen darfst. (weil du für den [mm] R^3 [/mm] ja mind. drei lin.unabhänige vektoren brauchst)
nimmst du jetzt einen vektor dazu, der eine lin. kombination der drei vektoren ist (z.b den vektor [mm] \vektor{0 \\ 1 \\ 1} [/mm] ) so ist es zwar noch ein erzeugendensystem aber keine basis mehr, weil du zwar drei lin. unabhänige vektoren hast, aber den "vierten" könntest du auch "weglassen". soweit verstanden?
nun zu deiner aufgabe: du sollst einen dritten vektor finden, so das die teilmenge [mm] \vektor{1 \\ 1 \\ 2}, \vektor{2 \\ 2 \\ 5} [/mm] eine basis des [mm] R^3 [/mm] bildet. zwei vektoren können höchstens ne ebene aufspannen. du brauchst also für den [mm] R^3 [/mm] noch einen dritten vektor. deine bedingung ist nun, das du einen vektor findest, der lin. unabhänigig zu den gegebenen zwei vektoren ist. das heißt ges. ist ein vektor [mm] \vektor{a \\ b \\ c}mit [/mm] a,b ,c aus R, der lin. unabhängig zu den beiden vektoren ist. du musst also ein LGS aufstellen , das so aussieht: [mm] x_1* \vektor{1 \\ 1 \\ 2}+x_2* \vektor{2 \\ 2 \\ 5}+x_3* \vektor{a \\ b \\ c}= \vektor{0 \\ 0 \\ 0}
[/mm]
dieses LGS musst du lösen. und hinterher a,b,c wählen. ich hab für a=b=c=1 gewählt und habe den vektor [mm] \vektor{-3 \\ 1 \\ 0} [/mm] erhalten. (hoffe ich hab mich jetzt nciht verrechnet. im prinzip könntest du jeden bel. vektor nehmen, solange irgentein wert in dem vektor, den du wählst, negativ ist) .soweit verstanden?
zur dimension: die dimension des vektorraums, is, die anzahl der vektoren in einer basis. um also zuerkennen, ob geg. vektroen eine basis bilden musst du schauen, ob I) diese vektoren lin. unabhängig sind (wenn nicht, dann entsprechneden vektor "entfernen"), und ob II) die dimension der noch "verbleibenden"vektoren, mit der dimension des vektorraums übereinstimmen.
hab jetzt in meinem beitrag weitgehend auf def. verzichtet, ums verständlciehr zu machen. hoffe ich konnte dir da helfen.
viele grüße benno
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:00 Mo 14.11.2005 | | Autor: | leduart |
Hallo Nadine
> Hallo!
> Ich habe Probleme zu verstehen was eine Basis (eines
> Vektorraumes) ist bzw. welchen Nutzen man daraus ziehen
> kann. Für mich hören sich die Definitionen sehr abstrakt
> an... Ich denke mir ist klar, was man unter linear
> unabhängig versteht (wenn alle koeffizienten einer linearen
> gleichung 0 sind und es sonst keine lösung gibt) Weiters
> sieht meine bisherige Vorstellung einer Basis so aus: ein
> beliebiger Vektor [mm]\nu[/mm] kann als Linearkombination der
> Basisvektoren geschrieben werden.
Das ist richtig. Und die Basis, oder verschiedene Basen helfen dir später z. Bsp. Gleichungssysteme zu lösen.
> Ich verstehe aber nicht wie ich mit diesem Wissen folgende
> Aufgabe lösen kann:
> Man finde einen dritten Vektor, so dass diese drei Vektoren
> eine Basis des [mm]R^3[/mm] bilden:
>
> [mm]\vektor{1 \\ 1 \\ 2}, \vektor{2 \\ 2 \\ 5}[/mm]
Zuerst musst du feststellen, ob die zwei nicht abhängig sind. da es nur 2 sind, und der eine kein Vielfaches des anderen ist, ist das direkt klar.
aber du siehst hoffentlich direkt, dass man mit den zweien nur Vektoren erzeugen kann, deren erste 2 Komponenten gleich sind.
also iat z.Bsp. [mm] \vektor{1 \\ 0 \\ 0}, [/mm] ein guter Kandidat. genausogut wäre aber [mm] \vektor{0 \\ 1 \\ 0}, [/mm] oder [mm] \vektor{-1 \\ 1 \\ 0}, [/mm] und noch viele mehr.
Wenn es nur darauf ankommt, einen zu finden, bist du fertig.
um zu beweisen, dass sie wirklich ne Basis sind musst du eigentlich zeigen, dass das Glsystem
[mm] a*\vektor{1 \\ 1 \\ 2}+b*\vektor{2 \\ 2 \\ 5}+c*\vektor{1 \\ 0 \\ 0}=\vektor{0 \\ 0 \\ 0}, [/mm] Nur die Lösung a=b=c=0 hat.
Das kannst du durch Ausrechnen, oder mit Determinante, wenn du die schon kennst.
3. Möglichkeit, man stellt ein bekanntes Basissystem aus den 3 Vektoren her, wie:
[mm] \vektor{1 \\ 0 \\ 0},\vektor{0 \\ 1 \\ 0}, \vektor{0 \\ 0 \\ 1},. [/mm] dass die 3 eine Basis bilden ist klar, wenn man sie alle drei erzeugen kann ist das manchmal schneller
> PS: Dimension heißt: alle "Zeilen" eines Basisvektors
> zählen - ist das richtig?
Nein, man kann einen Basisvektor beliebig verlängern, indem man weitere "Zeilen" 0 anhängt.
Die Dimension ist die Maximalzahl der lin. unabhaängigen Vektoren.
Gruss leduart
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:05 Mo 12.12.2005 | | Autor: | nadine19 |
Hallo!
Ich wollte noch mal allen Antworten recht herzlich danken! Leider konnte ich das nicht früher, da das Forum für mich zunächst nicht mehr erreichbar war und ich dann auch noch krank wurde...großen Dank jedenfalls!
|
|
|
|
