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Hallo Leute!
Ich habe eine Aufgabe in Mathe, bei der ich nun schon mit 4 verschiedenen Rechenansätzen versucht habe, sie zu lösen, aber meine Ergebnisse sind immer unlogisch. Bitte helft mir weiter!
Hier die Aufgabe:
In einem beliebigen Dreieck ABC bilden die Vektoren [mm] \vec{a} [/mm] und [mm] \vec{b} [/mm] die Seiten [mm] \overrightarrow{AB} [/mm] und [mm] \overrightarrow{AC}. [/mm] Auf der Seite [mm] \overrightarrow{AC} [/mm] liegt der Punkt E und auf der Seite [mm] \overrightarrow{BC}
[/mm]
liegt der Punkt D. Die Strecken [mm] \overrightarrow{BE} [/mm] und [mm] \overrightarrow{AD} [/mm] schneiden sich im Punkt P. Außerdem ist [mm] \overrightarrow{BD}= \bruch{1}{3} \overrightarrow{BC} [/mm] und [mm] \overrightarrow{AE}= \bruch{1}{3} \overrightarrow{AC}. \overrightarrow{AD} [/mm] und [mm] \overrightarrow{BE} [/mm] schneiden sich in P. In welchem Verhältnis teilt P die Strecke [mm] \overrightarrow{AD} [/mm] ?
In meinem Buch ist auch noch eine Zeichnung dazu, aber ich weiß nicht, wie man die hier ins Forum reinkriegt. Ich hoffe, die Aufgabe ist trotzdem einigermaßen verständlich und ihr könnt mir helfen!
Vielen Dank im Voraus!
Maren
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Hi, Maren,
ich hoff', ich hab' die Skizze nach Deiner Beschreibung richtig hingekriegt!
Zunächst aber mal der mathematische Hintergrund:
Da die Vektoren [mm] \vec{a} [/mm] und [mm] \vec{b} [/mm] linear unabhängig (also keinesfalls parallel) sind, kann eine Gleichung der Art
(***) [mm] r*\vec{a} [/mm] + [mm] s*\vec{b} [/mm] = [mm] \vec{o} [/mm]
nur dann lösbar sein, wenn r=0 und auch s=0 sind.
Wir bilden also eine geschlossene Vektorkette, die den fraglichen Punkt P
enthält und formen ihn zu einer Gleichung der Art (***) um. Die Konstanten bei den beiden genannten Vektoren werden dann einfach =0 gesetzt!
Nun zur Lösungshilfe: Vektorkette ABPA,
also: [mm] \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BP}+\overrightarrow{PA}=\vec{o} [/mm] (!!!)
Die 3 Vektoren lassen sich nun durch (manchmal allerdings unbekannte Stücke von) [mm] \vec{a} [/mm] und [mm] \vec{b} [/mm] ausdrücken:
[mm] \overrightarrow{AB} [/mm] = [mm] \vec{a} [/mm] (Glück gehabt!).
[mm] \overrightarrow{BP} [/mm] = [mm] k*\overrightarrow{BE} [/mm] (mit unbekannter Konstante k)
[mm] \overrightarrow{BE} [/mm] = [mm] -\vec{a}+\bruch{1}{3}\vec{b}
[/mm]
(Um von B nach E zu kommen, kannst Du statt dem "direkten Weg" auch den Weg über A nehmen!)
also: [mm] \overrightarrow{BP} [/mm] = [mm] k*(-\vec{a}+\bruch{1}{3}\vec{b}).
[/mm]
Nun der schwierigste Vektor:
[mm] \overrightarrow{PA} [/mm] = [mm] m*\overrightarrow{DA} [/mm] (mit unbekannter Konstante m)
[mm] \overrightarrow{DA} [/mm] = [mm] \bruch{1}{3}\overrightarrow{CB}-\vec{a}
[/mm]
[mm] \overrightarrow{CB} [/mm] = [mm] \vec{a}-\vec{b} [/mm] (Regel: "Spitze minus Fuß"!!!)
Also: [mm] \overrightarrow{DA} [/mm] = [mm] -\bruch{2}{3}\vec{a}-\bruch{1}{3}\vec{b}
[/mm]
Und somit:
[mm] \overrightarrow{PA} [/mm] = [mm] m*(-\bruch{2}{3}\vec{a}-\bruch{1}{3}\vec{b}).
[/mm]
Wenn Du nun alles wieder oben in (!!!) einsetzt, kriegst Du erst mal:
[mm] \vec{a} [/mm] + [mm] k*(-\vec{a} [/mm] + [mm] \bruch{1}{3}\vec{b}) [/mm] + [mm] m*(-\bruch{2}{3}\vec{a}-\bruch{1}{3}\vec{b}) [/mm] = [mm] \vec{o}
[/mm]
Umordnen und [mm] \vec{a} [/mm] bzw. [mm] \vec{b} [/mm] ausklammern ergibt:
(1 - k - [mm] \bruch{2}{3}m)*\vec{a} [/mm] + [mm] (\bruch{1}{3}k [/mm] - [mm] \bruch{1}{3}m)*\vec{b} [/mm] = [mm] \vec{o}.
[/mm]
Nach der Überlegung aus (***) müssen beide Klammern = 0 sein, woraus man k = m = [mm] \bruch{3}{5} [/mm] berechnet.
Das wiederum lässt sich so deuten:
Der Punkt P teilt die Strecke [BE] und auch die Srecke [AD] jeweils im Verhältnis 3 : 2.
(Keine Garantie auf Flüchtigkeitsfehler!)
mfG!
Zwerglein
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