Vektoren in einer Ebene < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:40 Do 03.06.2004 | | Autor: | Fiver |
Für welchen Wert k liegen die folgenden drei Vektoren in einer Ebene?
[mm]\vec a = \vektor{ -3 \\ 4\\0 }[/mm] [mm] \vec b = \vektor{-2 \\ 3\\5}[/mm] [mm]\vec c = \vektor{-1 \\ 3\\k}[/mm]
Hallo zusammen,
tja, ich weiß nicht einmal genau, was gemeint ist. Sollen [mm]\vec a[/mm] und [mm]\vec b[/mm] eine Ebene aufspannen und [mm]\vec c[/mm] eine 'Gerade' darin sein? Soll irgendeine Ebene existieren und alle Vektoren darin 'Geraden' sein?
Hm, ist eigentlich der Normalenvektor für Ebenen das, was der Einheitsvektor für Vektoren ist? Ich meine, ok, der Normalenvektor steht im 90° Winkel auf der jeweiligen Ebene, ist also schon etwas anderes, aber drückt nicht der Winkel zwischen zwei Normalenvektoren den Winkel zwischen zwei Ebenen aus? Ist also der Normalenvektor genauso vernachlässigbar wie der Einheitsvektor?
Dieser Normalenvektor verwirrt mich. Brauche ich den hier?
Die Variable in einem linearen Gleichungssystem zu ermitteln ist wohl nicht möglich...vier Variablen, drei Gleichungen.
 Ich hab's versucht.
Viele Grüße
Fiver
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:04 Do 03.06.2004 | | Autor: | Oliver |
Hallo Fever,
> Für welchen Wert k liegen die folgenden drei Vektoren in
> einer Ebene?
>
>
> [mm]\vec a = \vektor{ -3 \\ 4\\0 }[/mm] [mm]\vec b = \vektor{-2 \\ 3\\5}[/mm]
> [mm]\vec c = \vektor{-1 \\ 3\\k}[/mm]
>
> tja, ich weiß nicht einmal genau, was gemeint ist. Sollen
> [mm]\vec a[/mm] und [mm]\vec b[/mm] eine Ebene aufspannen und [mm]\vec c[/mm] eine
> 'Gerade' darin sein? Soll irgendeine Ebene existieren und
> alle Vektoren darin 'Geraden' sein?
Beide Interpretationen sind richtig: Zwei der Vektoren spannen eine Ebene auf und der dritte liegt in eben dieser Ebene. Das ist äquivalent mit der Feststellung, dass alle drei Vektoren in einer Ebene liegen (Versuch' Dir das mal bitte im Geiste zu verdeutlichen.) ... und das wiederum heißt doch nichts anderes, als dass sie linear abhängig sind.
> zwei Ebenen aus? Ist also der Normalenvektor genauso
> vernachlässigbar wie der Einheitsvektor?
Vernachlässigbar bei was?
> Dieser Normalenvektor verwirrt mich. Brauche ich den
> hier?
Nö ...
> Die Variable in einem linearen Gleichungssystem zu
> ermitteln ist wohl nicht möglich...vier Variablen, drei
> Gleichungen.
Fast: Drei Gleichungen, drei Unbekannte ;) Wir hatten ja weiter oben festgestellt, dass [mm] $\vec c_k$ [/mm] von [mm] $\vec [/mm] a$ und [mm] $\vec [/mm] b$ linear abhängig sein muss, wenn die Forderung nach dem "in einer Ebene liegen" erfüllt sein soll. Das heißt, Du musst [mm] $\vec c_k$ [/mm] als Linearkombination von [mm] $\vec [/mm] a$ und [mm] $\vec [/mm] b$ darstellen können, also [mm] $\vec c_k [/mm] = r [mm] \vec [/mm] a + s [mm] \vec [/mm] a$ mit den drei Unbekannten $r$, $s$ und $k$.
Kommst Du jetzt alleine weiter? Poste doch mal Dein Ergebnis, dann schaue ich mal drüber ...
Mach's gut
Oliver
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:29 So 06.06.2004 | | Autor: | Fiver |
Hallo Oliver,
vielen Dank für deine schnelle Antwort.
Hat mir sehr geholfen, das ist die vorläufige Lösung:
[mm]\vec c_k = r \vec a + s\vec b[/mm]
[mm]\pmat{ -3r &- 2s \\ 4r &+ 3s \\ 0r &+ 5s }[/mm] = [mm] \vektor{-1 \\ 3 \\ k}[/mm]
I -3r - 2s = -1
II 4r + 3s = 3
III 0r + 5s = k
Aus III ergibt sich: k = [mm] \bruch{k}{5}[/mm]
Ferner ergibt sich aus:
4 * I -12r - 8s = -4 und
3 * II 12r + 9s = 9
------------------------------
s = 5
s = 5 eingesetzt III ergibt für k den Wert 25, was sich auch mit der Aussage k = [mm] \bruch{k}{5}[/mm] deckt.
Kann man das Gleichungssystem noch weiter auflösen, oder ist der Beweis damit erbracht? Eigentlich schon, oder?
Ich hab' noch eine weitere Lösung in meinem Mathebuch gefunden:
Wenn das Spatprodukt der drei Vektoren 0 ist, sind die Vektoren [mm]\vec c[/mm] und [mm]\vec a[/mm] x [mm]\vec b[/mm] zueinander orthogonal. Zitat L. Papula: "Dies aber bedeutet, dass der Vektor [mm]\vec a[/mm] (hier [mm]\vec c[/mm]) in der von [mm]\vec b[/mm] und [mm]\vec c[/mm] aufgespannten Ebene liegt."
Warum?
Jedenfalls, ich hab's ausprobiert und das Ergebnis stimmt mit dem aus dem linearen Gleichungssystem überein:
[ [mm]\vec a[/mm], [mm]\vec b[/mm], [mm]\vec c[/mm]] = [mm] \vmat{ -3 & 4 & 0 \\ -2 & 3 &5 \\ -1 & 3 & k }[/mm] = 0
Nach der Regel von Sarrus aufgelöst, ergibt sich:
[ [mm]\vec a[/mm], [mm]\vec b[/mm], [mm]\vec c[/mm]] = -9k -20 + 0 + 8k +45 = 0
1k + 25 = 0
k = 25
Na toll, jetzt hab' ich's also rausgefunden, das Ergebnis, aber warum liegt [mm]\vec c[/mm] in der von [mm]\vec a[/mm] und [mm]\vec b[/mm] aufgespannten Ebene, wenn [mm]\vec c[/mm] orthogonal zu [mm]\vec a[/mm] x [mm]\vec b[/mm] ist?
Ach, jetzt beim Schreiben und selber Formulieren fällt es mir wie Schuppen von den Augen. Ok. Kein weiterer Erklärungsbedarf hier.
Viele Grüße
Fiver
P.S.: Ich hab' 'ne ganze Menge Vektoralgebra-Aufgaben, die ich auch teilweise gelöst(?) habe. Ich mache ein Online-Studium und das Mathe-Modul ist nicht gerade der Hit, außerdem ist die Kommunikation unter den Kommilitonen und Tutoren äußerst dürftig.
Daher möchte ich dich/euch bitten, die Aufgaben, mit denen ich nicht so zufrieden bin, mal durchzusehen, vielleicht können wir die ja in einzelnen Postings diskutieren?
Mir hilft ein Dialog sehr, da ich ganz gerne verstehen würde, was ich da eigentlich rechne, und ob es am Ende stimmt.
Keine Sorge: Prüfung ist im September 
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:22 So 06.06.2004 | | Autor: | Paulus |
Hallo Fiver
> Hallo Oliver,
>
> vielen Dank für deine schnelle Antwort.
> Hat mir sehr geholfen, das ist die vorläufige Lösung:
>
>
> [mm]\vec c_k = r \vec a + s\vec b[/mm]
>
>
> [mm]\pmat{ -3r &- 2s \\ 4r &+ 3s \\ 0r &+ 5s }[/mm] = [mm]\vektor{-1 \\ 3 \\ k}[/mm]
>
> I -3r - 2s = -1
> II 4r + 3s = 3
> III 0r + 5s = k
>
> Aus III ergibt sich: k = [mm]\bruch{k}{5}[/mm]
>
Da meinst du wohl: [mm]s=\bruch{k}{5}[/mm]
> Ferner ergibt sich aus:
>
> 4 * I -12r - 8s = -4 und
> 3 * II 12r + 9s = 9
> ------------------------------
> s = 5
>
> s = 5 eingesetzt III ergibt für k den Wert 25, was sich auch mit der Aussage k = [mm]\bruch{k}{5}[/mm] deckt.
... ebenso wie hier.
> Kann man das Gleichungssystem noch weiter auflösen, oder ist der Beweis damit erbracht? Eigentlich schon, oder?
Ja, ich würde aber als Lösung klar hinschreiben:
[mm] $\vec{c}=5*\vec{b}-3*\vec{a}$
[/mm]
>
> P.S.: Ich hab' 'ne ganze Menge Vektoralgebra-Aufgaben, die ich auch teilweise gelöst(?) habe. Ich mache ein Online-Studium und das Mathe-Modul ist nicht gerade der Hit, außerdem ist die Kommunikation unter den Kommilitonen und Tutoren äußerst dürftig.
> Daher möchte ich dich/euch bitten, die Aufgaben, mit denen ich nicht so zufrieden bin, mal durchzusehen, vielleicht können wir die ja in einzelnen Postings diskutieren?
> Mir hilft ein Dialog sehr, da ich ganz gerne verstehen würde, was ich da eigentlich rechne, und ob es am Ende stimmt.
> Keine Sorge: Prüfung ist im September
>
>
Ja doch, nur zu!
Mit lieben Grüssen
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:20 Di 08.06.2004 | | Autor: | Fiver |
Hallo zusammen,
vielen Dank Paulus,
dann lege ich wohl mal los:
Bestimmen Sie alle Einheitsvektoren (Vektoren der Länge 1) des dreidimensionalen Raumes,
die mit den beiden Vektoren
[mm]\vec a \vektor{1 \\ 0 \\ 0}[/mm] und [mm]\vec b \vektor{0 \\ 1 \\1}[/mm]
einen Winkel von 45° bilden.
Mein Versuch einer Lösung sieht folgendermaßen aus:
[mm] \delta [/mm] = 45° cos 45° = [mm]\bruch{1}{2} \wurzel{2}[/mm] [mm] \delta [/mm] arcos = [mm] \bruch{a * e}{|\vec a| * |\vec b|}[/mm]
[mm]\bruch{1}{2} \wurzel{2}[/mm] = [mm] \bruch{1 * 1}{|1| * |\vec e|}[/mm]
Daraus folgt, dass alle Einheitsvektoren [mm]\vec e[/mm], deren Betrag [mm]\bruch{1}{2} \wurzel{2}[/mm] ist,
einen 45°-Winkel mit [mm]\vec a[/mm] bilden?
Dann gibt's aber kein Ergebnis,
weil es für |e| = [mm]\wurzel{e_x^{2} + e_y^{2} + e_z^{2}}[/mm] kein Ergebnis gleich [mm]\bruch{1}{2} [/mm] geben kann.
Genausowenig wie für [mm]\vec b[/mm] mit [mm]\vec e[/mm],
denn da müsste der Betrag von [mm]\vec e[/mm] 0,5 sein, also [mm]\wurzel{\bruch{1}{4}}[/mm].
Ehrlich gesat, und das ist wohl allzu offensichtlich, habe ich keine Ahnung, wie man das rechnet.
Und was heißt mit den beiden Vektoren? Mir ist nichts dazu eingefallen, wie mehrere Vektoren im 45°-Winkel zwischen den anderen beiden liegen können. Ich hab' versucht mir das irgendwie dreidimensional aufzumalen,
aber das hat nicht wirklich geholfen.
Für jeden Hinweis bin ich dankbar.
Viele Grüße
Fiver
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:32 Mi 09.06.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo Fiver,
> Hallo zusammen,
>
> vielen Dank Paulus,
> dann lege ich wohl mal los:
Kein Problem, aber bitte neue Aufgaben in einen neuen Diskussionsstrang.
> Bestimmen Sie alle Einheitsvektoren (Vektoren der Länge 1)
> des dreidimensionalen Raumes,
> die mit den beiden Vektoren
>
> [mm]\vec a \vektor{1 \\ 0 \\ 0}[/mm] und [mm]\vec b \vektor{0 \\ 1 \\1}[/mm]
>
> einen Winkel von 45° bilden.
>
> Mein Versuch einer Lösung sieht folgendermaßen aus:
>
> [mm] \delta [/mm] = 45° cos 45° = [mm]\bruch{1}{2} \wurzel{2}[/mm] [mm] \delta [/mm] arcos = [mm]\bruch{a * e}{|\vec a| * |\vec b|}[/mm]
Die letzte Formel verstehe ich nicht.
Für den Winkel [mm] $\angle(u,v)$ [/mm] zwischen zwei Vektoren u, v gilt ja die Beziehung:
[mm] $\cos \angle(u,w)=\bruch{u\*v}{|u|*|v|}$
[/mm]
D.h., hier soll ja [mm] $\angle(a,e)=45°$ [/mm] sein und [mm] $\angle(b,e)=45°$, [/mm] also zwei Gleichungen:
[mm] $\bruch{1}{2}\wurzel{2}=\cos \angle(a,e)=\cos 45°=\bruch{a\*e}{|a|*|e|}$
[/mm]
[mm] $\bruch{1}{2}\wurzel{2}=\cos \angle(b,e)=\cos 45°=\bruch{b\*e}{|b|*|e|}$
[/mm]
> [mm]\bruch{1}{2} \wurzel{2}[/mm] = [mm]\bruch{1 * 1}{|1| * |\vec e|}[/mm]
>
> Daraus folgt, dass alle Einheitsvektoren [mm]\vec e[/mm], deren Betrag [mm]\bruch{1}{2} \wurzel{2}[/mm] ist,
> einen 45°-Winkel mit [mm]\vec a[/mm] bilden?
Äh, der Satz "alle Einheitsvektoren, deren Betrag [mm] $\bruch{1}{2}\wurzel{2}$ [/mm] ist,..." gefällt mir besonders gut Nein, Einheitsvektoren haben natürlich immer die Länge (=Betrag) 1.
> Dann gibt's aber kein Ergebnis,
> weil es für |e| = [mm]\wurzel{e_x^{2} + e_y^{2} + e_z^{2}}[/mm] kein Ergebnis gleich [mm]\bruch{1}{2} [/mm] geben kann.
> Genausowenig wie für [mm]\vec b[/mm] mit [mm]\vec e[/mm],
> denn da müsste der Betrag von [mm]\vec e[/mm] 0,5 sein, also [mm]\wurzel{\bruch{1}{4}}[/mm].
>
> Ehrlich gesat, und das ist wohl allzu offensichtlich, habe ich keine Ahnung, wie man das rechnet.
> Und was heißt mit den beiden Vektoren? Mir ist nichts dazu eingefallen, wie mehrere Vektoren im 45°-Winkel zwischen den anderen beiden liegen können. Ich hab' versucht mir das irgendwie dreidimensional aufzumalen,
> aber das hat nicht wirklich geholfen.
Das sieht ungefähr so aus: Stelle dir mal einen der beiden Vektoren, sagen wir a, vor.
Nun einen zweiten Vektor e, der mit diesem Vektor a einen 45° Winkel bildet. Läßt du diesen um a rotieren, so erhälst du nur Vektoren, die einen 45° Winkel mit a bilden (diese rotierenden Vektoren e bilden einen Kegel, mit a als Höhe.
e kann aber auch auf eine andere Art einen 45° Winkel mit a bilden (es gibt ja in einer Ebene zu einer Geraden a an einem Punkt vier Vektoren, die einen 45° Winkel mit a bilden; zwei davon sind aber durch Spiegelung der beiden anderen entstanden und deswegen bereits durch obige Rotation erfasst.)
Nun kommt der zweite Vektor b ins Spiel, um ihn herum entstehen auch mehrere Rotationskegel.
Die Schnitte eines Roationskegels von a mit einem Rotationskegel um b sind dann die gesuchten Vektoren.
Zunächst einmal sammeln wir alle Informationen in Gleichungen:
[mm] $\bruch{1}{2}\wurzel{2}=\cos \angle(a,e)=\cos 45°=\bruch{a\*e}{|a|*|e|}$
[/mm]
[mm] $\bruch{1}{2}\wurzel{2}=\cos \angle(b,e)=\cos 45°=\bruch{b\*e}{|b|*|e|}$
[/mm]
(siehe oben)
Ausserdem soll e ein Einheitsvektor sein, also |e|=1 bzw. [mm] $e_x^2+e_y^2+e_z^2=1$ ($e=\vektor{e_x\\e_y\\e_z}$)
[/mm]
Vereinfachen der drei Gleichungen ($|a|=1$ und [mm] $|b|=\wurzel{2}$) [/mm] und Einsetzen der Koordinaten:
[mm] $\bruch{1}{2}\wurzel{2}=\bruch{e_x}{1}$
[/mm]
[mm] $\bruch{1}{2}\wurzel{2}=\bruch{e_y+e_z}{\wurzel{2}}$
[/mm]
[mm] $e_x^2+e_y^2+e_z^2=1$
[/mm]
Drei Gleichungen, drei Unbekannte... sieht lösbar aus, was meinst du?
Schreib' uns doch mal deine Lösungen/weiteren Versuche.
Viele Grüße,
Marc
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