Vektoren in neuer Basis < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:43 Mi 15.02.2006 | | Autor: | andi_bar |
| Aufgabe | Neue Basis: [mm] v1=\vektor{1 \\ -1 \\ 0} v2=\vektor{1 \\ 0 \\ 1} v3=\vektor{0 \\ 1 \\ -1}
[/mm]
[mm] a=\vektor{3 \\ -2 \\ 1}
[/mm]
Stelle den Vektor a in der neuen Basis dar. |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Also das war ne Klausuraufgabe und ich es auf dem Weg gelöst:
Als erstes lineare unabhängigkeit geprüft.
Dann berechnet:
a' = a1 * v1 + a2 * v2 + a3 * v3
a' = 3 * [mm] \vektor{1 \\ -1 \\ 0} [/mm] -2 * [mm] \vektor{1 \\ 0 \\ 1} [/mm] + [mm] \vektor{0 \\ 1 \\ -1}
[/mm]
a' = [mm] \vektor{1 \\ -2 \\ -3}
[/mm]
Das wurde aber als falsch bewertet.
Dann habe ich es auf nem anderen Weg versucht, indem ich ein Gleichungssystem aufgestellt habe. Linke Seite die neue Basis und recht Seite der Vektor und habe die Koeffizienten berechnet. Diese dann als neuen Vektor genommen. Hatte dann diesen hier: [mm] \vektor{2 \\ 0 \\ 1}
[/mm]
Aber ist der nun richtig? Vielleicht könnt ihr mir Gewissheit geben?
Danke im voraus!
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Hi, andi_bar,
> Neue Basis: [mm]v1=\vektor{1 \\ -1 \\ 0} v2=\vektor{1 \\ 0 \\ 1} v3=\vektor{0 \\ 1 \\ -1}[/mm]
>
> [mm]a=\vektor{3 \\ -2 \\ 1}[/mm]
>
> Stelle den Vektor a in der neuen Basis dar.
> Also das war ne Klausuraufgabe und ich es auf dem Weg
> gelöst:
>
> Als erstes lineare unabhängigkeit geprüft.
>
> Dann berechnet:
>
> a' = a1 * v1 + a2 * v2 + a3 * v3
> a' = 3 * [mm]\vektor{1 \\ -1 \\ 0}[/mm] -2 * [mm]\vektor{1 \\ 0 \\ 1}[/mm] +
> [mm]\vektor{0 \\ 1 \\ -1}[/mm]
> a' = [mm]\vektor{1 \\ -2 \\ -3}[/mm]
>
> Das wurde aber als falsch bewertet.
Ist auch falsch! Deine Lösung wäre nur dann richtig, wenn die Koordinatendarstellung des Vektors a bezüglich der Basis [mm] \{v1; v2; v3 \} [/mm] gleich [mm] \vektor{3 \\ -2 \\ 1} [/mm] wäre.
Aber das ist sie eben nicht! Dies ist die Darstellung bezüglich der Basis [mm] e1=\vektor{1 \\ 0 \\ 0}; e2=\vektor{0 \\ 1 \\ 0}; e3=\vektor{0 \\ 0 \\ 1}. [/mm]
> Dann habe ich es auf nem anderen Weg versucht, indem ich
> ein Gleichungssystem aufgestellt habe. Linke Seite die neue
> Basis und rechte Seite der Vektor und habe die Koeffizienten
> berechnet. Diese dann als neuen Vektor genommen. Hatte dann
> diesen hier: [mm]\vektor{2 \\ 0 \\ 1}[/mm]
>
> Aber ist der nun richtig? Vielleicht könnt ihr mir
> Gewissheit geben?
Stimmt nicht ganz! Richtig wäre [mm] \vektor{2 \\ 1 \\ 0}.
[/mm]
mfG!
Zwerglein
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:56 Mi 15.02.2006 | | Autor: | DaMenge |
Hi,
als Ergänzung:
gesucht sind die koeffizienten, so dass
$ [mm] \vektor{3\\-2\\1} [/mm] = [mm] x_1 [/mm] * [mm] \vektor{1 \\ -1 \\ 0}x_2*\vektor{1 \\ 0 \\1}+x_3 *\vektor{0 \\ 1 \\ -1}$
[/mm]
was ja gleich als Matrixschreibweise ist :
[mm] $\pmat{1&1&0\\-1&0&1\\0&1&-1}*\vektor{x_1\\x_2\\x_3}=\vektor{3\\-2\\1}$
[/mm]
also [mm] $\vektor{x_1\\x_2\\x_3}=\pmat{1&1&0\\-1&0&1\\0&1&-1}^{-1}*\vektor{3\\-2\\1}$
[/mm]
diese inverse Matrix ist natürlich die  Transformationsmatrix, die man auch hätte einfach berechnen können...
viele Grüße
DaMenge
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:03 Mi 15.02.2006 | | Autor: | andi_bar |
Vielen Dank euch beiden. Jetzt erschliessen sich bei mir einige Zusammenhänge und ich hab es jetzt verstanden.
Natürlich ist die Lösung (2,1,0)..hab mich in der Zeile vertan.
Danke!
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