Vektoren lin. abh. / Erzeug. < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Seien [mm] $l,m,n\in\IN$ [/mm] und [mm] $v_{1},...,v_{l} \in K^{m}$, $w_{1},...,w_{l}\in K^{n}$. [/mm] Für $i = 1,...,l$ bildet man aus [mm] $v_{i}$ [/mm] und [mm] $w_{i}$ [/mm] den Vektor [mm] $u_{i}\in K^{m+n}$, [/mm] der zuerst die Einträge von [mm] v_{i} [/mm] und dann die Einträge von [mm] w_{i} [/mm] enthält. Beweise / Widerlege:
1. [mm] $(v_{1},...,v_{l})$ [/mm] linear unabhängig [mm] \Rightarrow $(u_{1},...,u_{l})$ [/mm] linear unabhängig
2. [mm] $(v_{1},...,v_{l})$ [/mm] ist kein Erzeugendensystem von [mm] K^{m} \Rightarrow (u_{1},...,u_{l}) [/mm] ist kein Erzeugendensystem von [mm] K^{m+n} [/mm] |
Hallo!
Bei der obigen Aufgabe habe ich Schwierigkeiten, das vernünftig aufzuschreiben, bzw. ich mache es so, wie wir es in der Vorlesung noch nie gemacht haben, und weiß nicht ob es erlaubt ist.
1.) Ist richtig, Beweis:
Zu zeigen: [mm] $\lambda_{1}*u_{1} [/mm] + ... + [mm] \lambda_{l}*u_{l} [/mm] = 0 [mm] \Rightarrow \lambda_{1} [/mm] = ... = [mm] \lambda_{l} [/mm] = 0$.
[mm] $\lambda_{1}*u_{1} [/mm] + ... + [mm] \lambda_{l}*u_{l} [/mm] = 0$
[mm] $\Rightarrow \lambda_{1}*\vektor{v_{1_{1}}\\ \vdots \\ v_{1_{m}} \\ w_{1_{1}} \\ \vdots \\ w_{1_{n}}} [/mm] + ... + [mm] \lambda_{l}*\vektor{v_{l_{1}}\\ \vdots \\ v_{l_{m}} \\ w_{l_{1}} \\ \vdots \\ w_{l_{n}}} [/mm] = 0$
Dieser Schritt scheint mir jetzt etwas - naja - . Kann man dazu noch was schreiben?
[mm] $\Rightarrow \lambda_{1}*\vektor{v_{1_{1}}\\ \vdots \\ v_{1_{m}}} [/mm] + ... + [mm] \lambda_{l}*\vektor{v_{l_{1}}\\ \vdots \\ v_{l_{m}}} [/mm] = 0$
[mm] $\Rightarrow \lambda_{1}*v_{1} [/mm] + ... + [mm] \lambda_{l}*v_{l} [/mm] = 0$
[mm] $\Rightarrow \lambda_{1} [/mm] = ... = [mm] \lambda_{l} [/mm] = 0$,
da [mm] $(v_{1},...,v_{l})$ [/mm] linear unabhängig.
2.) Ist richtig, Beweis:
Es funktioniert nach demselben Prinzip wie oben:
Zu zeigen: [mm] $\exists [/mm] v [mm] \in K^{m}: \forall \lambda_{1},...,\lambda_{l}\in [/mm] K: v [mm] \not= \lambda_{1}*v_{1} [/mm] + ... + [mm] \lambda_{l}*v_{l} \Rightarrow \exists [/mm] u [mm] \in K^{m+n}: \forall \lambda_{1},...,\lambda_{l}\in [/mm] K: u [mm] \not= \lambda_{1}*u_{1} [/mm] + ... + [mm] \lambda_{l}*u_{l}$.
[/mm]
Sei [mm] $w\in K^{n}$ [/mm] beliebig, $u = [mm] \vektor{v_{1}\\ \vdots \\ v_{m}\\ w_{1} \\ \vdots \\ w_{n} }$.
[/mm]
Angenommen, es gäbe [mm] $\lambda_{1},...,\lambda_{l}\in [/mm] K$ sodass:
$u = [mm] \vektor{v_{1}\\ \vdots \\ v_{m}\\ w_{1} \\ \vdots \\ w_{n} } [/mm] = [mm] \lambda_{1}*u_{1} [/mm] + ... + [mm] \lambda_{l}*u_{l}$.
[/mm]
[mm] $\Rightarrow \vektor{v_{1}\\ \vdots \\ v_{m}\\ w_{1} \\ \vdots \\ w_{n} } [/mm] = [mm] \lambda_{1}*\vektor{v_{1_{1}}\\ \vdots \\ v_{1_{m}} \\ w_{1_{1}} \\ \vdots \\ w_{1_{n}}} [/mm] + ... + [mm] \lambda_{l}*\vektor{v_{l_{1}}\\ \vdots \\ v_{l_{m}} \\ w_{l_{1}} \\ \vdots \\ w_{l_{n}}}$
[/mm]
[mm] $\Rightarrow \vektor{v_{1}\\ \vdots \\ v_{m}} [/mm] = [mm] \lambda_{1}*\vektor{v_{1_{1}}\\ \vdots \\ v_{1_{m}}} [/mm] + ... + [mm] \lambda_{l}*\vektor{v_{l_{1}}\\ \vdots \\ v_{l_{m}}}$
[/mm]
[mm] $\Rightarrow [/mm] v = [mm] \lambda_{1}*v_{1} [/mm] + ... + [mm] \lambda_{l}*v_{l}$,
[/mm]
Widerspruch zur Voraussetzung, dass v nicht von [mm] (v_{1},...,v_{l}) [/mm] erzeugt werden kann.
Stimmt das so?
Danke für Eure Hilfe,
Grüße,
Stefan
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:56 Sa 05.12.2009 | | Autor: | Merle23 |
> Seien [mm]l,m,n\in\IN[/mm] und [mm]v_{1},...,v_{l} \in K^{m}[/mm],
> [mm]w_{1},...,w_{l}\in K^{n}[/mm]. Für [mm]i = 1,...,l[/mm] bildet man aus
> [mm]v_{i}[/mm] und [mm]w_{i}[/mm] den Vektor [mm]u_{i}\in K^{m+n}[/mm], der zuerst die
> Einträge von [mm]v_{i}[/mm] und dann die Einträge von [mm]w_{i}[/mm]
> enthält. Beweise / Widerlege:
>
> 1. [mm](v_{1},...,v_{l})[/mm] linear unabhängig [mm]\Rightarrow[/mm]
> [mm](u_{1},...,u_{l})[/mm] linear unabhängig
>
> 2. [mm](v_{1},...,v_{l})[/mm] ist kein Erzeugendensystem von [mm]K^{m} \Rightarrow (u_{1},...,u_{l})[/mm]
> ist kein Erzeugendensystem von [mm]K^{m+n}[/mm]
> Hallo!
>
> Bei der obigen Aufgabe habe ich Schwierigkeiten, das
> vernünftig aufzuschreiben, bzw. ich mache es so, wie wir
> es in der Vorlesung noch nie gemacht haben, und weiß nicht
> ob es erlaubt ist.
>
> 1.) Ist richtig, Beweis:
>
> Zu zeigen: [mm]\lambda_{1}*u_{1} + ... + \lambda_{l}*u_{l} = 0 \Rightarrow \lambda_{1} = ... = \lambda_{l} = 0[/mm].
>
> [mm]\lambda_{1}*u_{1} + ... + \lambda_{l}*u_{l} = 0[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow \lambda_{1}*\vektor{v_{1_{1}}\\ \vdots \\ v_{1_{m}} \\ w_{1_{1}} \\ \vdots \\ w_{1_{n}}} + ... + \lambda_{l}*\vektor{v_{l_{1}}\\ \vdots \\ v_{l_{m}} \\ w_{l_{1}} \\ \vdots \\ w_{l_{n}}} = 0[/mm]
>
> Dieser Schritt scheint mir jetzt etwas - naja - . Kann man
Wieso ist dieser Schritt "naja"? Er ist doch vollkommen korrekt.
> dazu noch was schreiben?
>
> [mm]\Rightarrow \lambda_{1}*\vektor{v_{1_{1}}\\ \vdots \\ v_{1_{m}}} + ... + \lambda_{l}*\vektor{v_{l_{1}}\\ \vdots \\ v_{l_{m}}} = 0[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow \lambda_{1}*v_{1} + ... + \lambda_{l}*v_{l} = 0[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow \lambda_{1} = ... = \lambda_{l} = 0[/mm],
>
> da [mm](v_{1},...,v_{l})[/mm] linear unabhängig.
>
Schön. ^^
> 2.) Ist richtig, Beweis:
>
> Es funktioniert nach demselben Prinzip wie oben:
>
> Zu zeigen: [mm]\exists v \in K^{m}: \forall \lambda_{1},...,\lambda_{l}\in K: v \not= \lambda_{1}*v_{1} + ... + \lambda_{l}*v_{l} \Rightarrow \exists u \in K^{m+n}: \forall \lambda_{1},...,\lambda_{l}\in K: u \not= \lambda_{1}*u_{1} + ... + \lambda_{l}*u_{l}[/mm].
>
> Sei [mm]w\in K^{n}[/mm] beliebig, [mm]u = \vektor{v_{1}\\ \vdots \\ v_{m}\\ w_{1} \\ \vdots \\ w_{n} }[/mm].
>
Hier müsstest du noch erwähnen, dass [mm]u = \vektor{v \\ w}[/mm] ist, wobei das v genau das ist, welches keine Darstellung als Linearkombination hat.
> Angenommen, es gäbe [mm]\lambda_{1},...,\lambda_{l}\in K[/mm]
> sodass:
>
> [mm]u = \vektor{v_{1}\\ \vdots \\ v_{m}\\ w_{1} \\ \vdots \\ w_{n} } = \lambda_{1}*u_{1} + ... + \lambda_{l}*u_{l}[/mm].
>
> [mm]\Rightarrow \vektor{v_{1}\\ \vdots \\ v_{m}\\ w_{1} \\ \vdots \\ w_{n} } = \lambda_{1}*\vektor{v_{1_{1}}\\ \vdots \\ v_{1_{m}} \\ w_{1_{1}} \\ \vdots \\ w_{1_{n}}} + ... + \lambda_{l}*\vektor{v_{l_{1}}\\ \vdots \\ v_{l_{m}} \\ w_{l_{1}} \\ \vdots \\ w_{l_{n}}}[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow \vektor{v_{1}\\ \vdots \\ v_{m}} = \lambda_{1}*\vektor{v_{1_{1}}\\ \vdots \\ v_{1_{m}}} + ... + \lambda_{l}*\vektor{v_{l_{1}}\\ \vdots \\ v_{l_{m}}}[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow v = \lambda_{1}*v_{1} + ... + \lambda_{l}*v_{l}[/mm],
>
> Widerspruch zur Voraussetzung, dass v nicht von
> [mm](v_{1},...,v_{l})[/mm] erzeugt werden kann.
>
> Stimmt das so?
>
Ja. Sehr gut! ^^
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Hey Merle23,
dann danke für deine Antwort!
Grüße,
Stefan
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:54 So 06.12.2009 | | Autor: | asiafire |
Hallo Stefan,
Ich möchte gerne analog zur ursprünglichen Fragestellung folgende Fragen in den Raum werfen und um Hilfe bitten, weil ich beim Verständnis ein wenig Probleme habe:
3. $ [mm] (v_{1},...,v_{l}) [/mm] $ linear abhängig $ [mm] \Rightarrow [/mm] $ $ [mm] (u_{1},...,u_{l}) [/mm] $ linear abhängig
4. $ [mm] (v_{1},...,v_{l}) [/mm] $ ist ein Erzeugendensystem von $ [mm] K^{m} \Rightarrow (u_{1},...,u_{l}) [/mm] $ ist ein Erzeugendensystem von $ [mm] K^{m+n} [/mm] $
Ebenso sei zu beweisen oder widerlegen.
Vielen Dank bereits für die Unterstützung.
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Hallo asiafire,
> Hallo Stefan,
>
> Ich möchte gerne analog zur ursprünglichen Fragestellung
> folgende Fragen in den Raum werfen und um Hilfe bitten,
> weil ich beim Verständnis ein wenig Probleme habe:
>
> 3. [mm](v_{1},...,v_{l})[/mm] linear abhängig [mm]\Rightarrow[/mm]
> [mm](u_{1},...,u_{l})[/mm] linear abhängig
> 4. [mm](v_{1},...,v_{l})[/mm] ist ein Erzeugendensystem von [mm]K^{m} \Rightarrow (u_{1},...,u_{l})[/mm]
> ist ein Erzeugendensystem von [mm]K^{m+n}[/mm]
>
> Ebenso sei zu beweisen oder widerlegen.
- Weil du beim Verständnis Probleme hast -
etwas genauer dürfte es beim nächsten Mal schon sein! 
Wie die Vektoren [mm] u_{i} [/mm] aufgebaut sind, ist in der Aufgabe beschrieben und dürfte nach meinem Post auch klar geworden sein.
Zu 3):
Das ist doch fast dasselbe, was oben beim mir bei 1) steht.
Oben hatte ich anschaulich so argumentiert: Ja, wenn der "obere Teil" (also die Vektoren [mm] v_{i}) [/mm] der Vektoren [mm] u_{i} [/mm] linear unabhängig sind, dann ist es auch der gesamte Vektor, weil schon aus dem Gleichungssystem der oberen Komponenten folgt, dass alle Lambdas 0 sein müssen.
Nun weißt du, dass die [mm] v_{i} [/mm] linear abhängig sind. Die [mm] w_{i} [/mm] könnten aber linear unabhängig sein - was folgt dann mit 1) ?
Zu 4):
Dasselbe Prinzip wie bei 3): Du weißt nun schon etwas über die [mm] v_{i}, [/mm] aber noch nichts über die [mm] w_{i} [/mm] - könntest du vielleicht die [mm] w_{i} [/mm] so wählen, dass du 2) anwenden kannst?
Grüße,
Stefan
PS.: Auflösung: Beides ( 3) und 4) ) ist falsch. Finde Gegenbeispiele!
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