Vektoren (min Abst., Lotpkt.) < Längen+Abst.+Winkel < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:38 So 02.04.2006 | | Autor: | Sabbi2 |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Im Folgenden hab ich einen Punkt und eine Gerade gegeben und will den minimalen Abstand und Ortsvektor auf den Lotpunkt berechnen:
geg: Punkt [mm] \vec{ r_{p}}= \vektor{3 \\ 2\\ 3}
[/mm]
Gerade [mm] \vec{ r}= \vektor{1 \\ -1\\ 2} [/mm] + [mm] \lambda\vektor{3 \\ 4\\ 1}
[/mm]
ges.: Min. Abstand, Ortsvektor des Lotpunktes
Meine Lösung:
1. [mm] \lambda [/mm] normieren
[mm] \vektor{ \bruch{3}{ \wurzel{26}}\\ \bruch{4}{ \wurzel{26}}\\ \bruch{1}{ \wurzel{26}}}
[/mm]
2. Strecke von [mm] \vec{ r_{p}} [/mm] zu [mm] \vektor{1 \\ -1\\ 2}
[/mm]
[mm] =(\vektor{3 \\ 2\\ 3}-\vektor{1 \\ -1\\ 2})\vektor{ \bruch{3}{ \wurzel{26}}\\ \bruch{4}{ \wurzel{26}}\\ \bruch{1}{ \wurzel{26}}}
[/mm]
[mm] =\vektor{2 \\ 3\\ 1}\vektor{ \bruch{3}{ \wurzel{26}}\\ \bruch{4}{ \wurzel{26}}\\ \bruch{1}{ \wurzel{26}}}
[/mm]
[mm] =\vektor{ \bruch{6}{ \wurzel{26}}\\ \bruch{12}{ \wurzel{26}}\\ \bruch{1}{ \wurzel{26}}}
[/mm]
[mm] =\bruch{19}{ \wurzel{26}}
[/mm]
3. Ortsvektor des Lotpunktes
[mm] \vec{ r_L}= \vektor{1 \\ -1\\ 2}+\bruch{19}{ \wurzel{26}}\vektor{ \bruch{3}{ \wurzel{26}}\\ \bruch{4}{ \wurzel{26}}\\ \bruch{1}{ \wurzel{26}}}
[/mm]
[mm] \vec{ r_L}= \vektor{1 \\ -1\\ 2}+\vektor{ \bruch{57}{ \wurzel{26}}\\ \bruch{76}{ \wurzel{26}}\\ \bruch{19}{ \wurzel{26}}}
[/mm]
[mm] \vec{ r_L}= \vektor{ \bruch{83}{ \wurzel{26}}\\ \bruch{50}{ \wurzel{26}}\\ \bruch{71}{ \wurzel{26}}}
[/mm]
4. Minimaler Abstand
II [mm] \vektor{3 \\ 2\\ 3}-\vektor{ \bruch{83}{ \wurzel{26}}\\ \bruch{50}{ \wurzel{26}}\\ \bruch{71}{ \wurzel{26}}}II_2
[/mm]
=II [mm] \vektor{ \bruch{-5}{ \wurzel{26}}\\ \bruch{2}{ \wurzel{26}}\\ \bruch{7}{ \wurzel{26}}} II_2
[/mm]
Das II [mm] II_2 [/mm] sollen zwei so senkrechte Striche entlang der Vektorangabe sein...hab ich so gelernt, weiß aber nicht ob das jetzt hier korrekt ist.
Auch ganz wichtig: Ich bin mir nicht sicher, ob beim minimalen Abstand das so richtig ist mit "Punkt" minus "Ortvektor Lotpunkt" oder obs genau umgedreht sein muss...ich habe in verschiedenen Aufgaben genau entgegengesetzte Varianten gesehen und weiß jetzt nicht, wie nun richtig.
|
|
| |
|
Der Lösungsweg ist prinzipiell richtig - allerdings furchtbar umständlich! Du hast auch noch während des Rechengangs ein paar dicke Klöpse hineingebracht.
Zu 1.
Nicht [mm]\lambda[/mm] wird normiert, sondern der Richtungsvektor der Geraden.
Zu 2.
Da geht es nicht um eine Strecke, sondern um einen Verbindungsvektor.
Dann berechnest du das Skalarprodukt mit dem normierten Richtungsvektor der Geraden. Dort ist die vorletzte Zeile falsch. Denn Vektor mal Vektor gibt einen Skalar und keinen Vektor. Schnell weg damit. Das Ergebnis stimmt dann.
Zu 3.
[mm]\sqrt{26} \cdot \sqrt{26}[/mm] in den Nennern gibt 26. Die Wurzeln fallen daher weg. Das Ergebnis wäre richtig, wenn da keine Wurzeln stehen würden. Schreibfehler?
Zu 4.
Auch da gehören alle Wurzeln weg.
Hier ein viel einfacherer Weg: Man verbindet den Punkt [mm]P[/mm] mit einem beliebigen Geradenpunkt und berechnet das Skalarprodukt dieses Verbindungsvektors mit dem Richtungsvektor der Geraden. Dieses muß 0 sein, wenn man den Lotfußpunkt erwischt. Mit dem gefundenen [mm]\lambda[/mm] kann man dann den Lotfußpunkt durch Einsetzen in die Geradengleichung berechnen.
[mm]\left( \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix} - \lambda \, \begin{pmatrix} 3 \\ 4 \\ 1 \end{pmatrix} \right) \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ 4 \\ 1 \end{pmatrix} = 0[/mm]
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:06 So 02.04.2006 | | Autor: | Sabbi2 |
OK, danke...ich werde das mal ausprobieren.
|
|
|
|
