Vektoren mit Konstanten < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:48 Mi 20.06.2007 | | Autor: | error1 |
| Aufgabe | Zeigen sie das die Vektoren [mm] u=\vektor{1 \\ 1 \\ 1} [/mm] , [mm] v=\vektor{a \\ b \\ c} [/mm] und
[mm] w=\vektor{a² \\ b² \\ c²} [/mm] ein erzeugendensystem des R³ sind, wobei a,b,c R konstant und paarweise verschieden sind.
b) sind die vektoren linear unabhängig? |
Hier würde ich ja eine Gleichungssystem
1k + as + a²k = x
1k + bs + b²k = z
1k + cs + c²k = x
aufstellen und dieses nach k,r und s auflösen. bei b) dasselbe nur mit (0,0,0) am Ende.
Jedoch scheiter ich bei der auflösung des Systems.
Hoffe ihr könnt mir helfen.
Danke
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> Zeigen sie das die Vektoren [mm]u=\vektor{1 \\ 1 \\ 1}[/mm] ,
> [mm]v=\vektor{a \\ b \\ c}[/mm] und
> [mm]w=\vektor{a² \\ b² \\ c²}[/mm] ein erzeugendensystem des R³
> sind, wobei a,b,c R konstant und paarweise verschieden
> sind.
>
> b) sind die vektoren linear unabhängig?
> Hier würde ich ja eine Gleichungssystem
> 1k + as + a²r = x
> 1k + bs + b²r = y
> 1k + cs + c²r = z
>
> aufstellen und dieses nach k,r und s auflösen. bei b)
> dasselbe nur mit (0,0,0) am Ende.
> Jedoch scheiter ich bei der auflösung des Systems.
>
> Hoffe ihr könnt mir helfen.
Hallo,
ich könnte Dir viel besser helfen, wenn ich wüßte, was Du tust.
Da könnte ich nämlich sehen, ob Du die Sache grundsätzlich falsch angehest, oder ob Dir nur ein kleiner Trick nicht einfällt.
Auch wüßte ich, mit welcher Methode Du Gleichungssysteme löst, und könnte mich beim Antworten darauf einstellen.
> Hier würde ich ja eine Gleichungssystem
> 1k + as + a²r = x
> 1k + bs + b²r = y
> 1k + cs + c²r = z
>
> aufstellen und dieses nach k,r und s auflösen.
Genau. Unsere Variablen sind k,r,s, und wir behandeln x,y,z wie Konstanten.
Es bietet sich an, zunächst k zu eliminieren.
Das GS geht über in
1k + as + a²r = x
(a-b)s [mm] +(a^2- [/mm] b²)r =x-y
(a-c)s + [mm] (a^2-c²)r [/mm] =x-z
Wenn Du nun bedenkst, daß die a,b,c paarweise verschieden sind, kannst Du bedenkenlos durch (a-b) und a-c dividieren.
Danach eliminierst Du s.
Gruß v. Angela
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Hi, error,
> Zeigen sie das die Vektoren [mm]u=\vektor{1 \\ 1 \\ 1}[/mm] ,
> [mm]v=\vektor{a \\ b \\ c}[/mm] und
> [mm]w=\vektor{a² \\ b² \\ c²}[/mm] ein erzeugendensystem des R³
> sind, wobei a,b,c R konstant und paarweise verschieden
> sind.
>
> b) sind die vektoren linear unabhängig?
> Hier würde ich ja eine Gleichungssystem
> 1k + as + a²k = x
> 1k + bs + b²k = z
> 1k + cs + c²k = x
>
> aufstellen und dieses nach k,r und s auflösen. bei b)
> dasselbe nur mit (0,0,0) am Ende.
> Jedoch scheiter ich bei der auflösung des Systems.
Das denk' ich mir!
Ich würde die Aufgabe auch ganz anders angehen, nämlich so:
(1) Zunächst musst Du mal begründen, dass nicht 2 dieser 3 Vektoren parallel sind - das geht recht einfach.
(2) Also können sie nur dann linear abhängig sein, wenn einer der drei sich als Linearkombination der anderen beiden darstellen lässt, z.B.:
[mm] \vektor{a^{2} \\ b^{2} \\ c^{2}} [/mm] = [mm] \lambda*\vektor{1 \\ 1 \\ 1} [/mm] + [mm] \mu*\vektor{a \\ b \\ c} [/mm]
Daraus ergibt sich ein überbestimmtes LGS in den Variablen [mm] \lambda [/mm] und [mm] \mu, [/mm] das Du zum Widerspruch führen musst.
Ergebnis jedenfalls: Die drei Vektoren SIND linear UNabhängig.
mfG!
Zwerglein
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:15 Fr 22.06.2007 | | Autor: | error1 |
hallo,
dann komme ich weiter
1k + as + a²r = x
s + [b²-a²/b-a]r = x-y/b-a
[(c²-a²/c-a) - (b²-a²/b-a)]r= [x-z/c-a] - [x-y/b-a]
ist das richtig.wie geht es denn weiter?
oder kann man hier schon auf die lösung schließen?
danke
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> hallo,
>
> dann komme ich weiter
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> 1k + as + a²r = x
> s + [b²-a²/b-a]r = x-y/b-a
> [(c²-a²/c-a) - (b²-a²/b-a)]r= [x-z/c-a] -
> [x-y/b-a]
>
> ist das richtig.wie geht es denn weiter?
> oder kann man hier schon auf die lösung schließen?
>
Hallo,
zum einen solltest Du mal darüber nachdenken, ob Du hier die dritte binomische Formel irgendwo gebrauchen könntest...
Weiter erhältst Du doch bereits aus der dritten Gleichung Dein r.
Das in die zweite eingesetzt, liefert Dir s, und mit s und r bekommst Du Dein k.
Gruß v. Angela
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