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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:30 Di 15.03.2005 | | Autor: | Krissy05 |
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Gegeben sind die Punkte A(3/3/2) B(5/3/0) und C(3/5/0)
a.)Zeigen sie, dass das Dreieck ABC gleichseitig ist und berechnen sie den Flächeninhalt.
b.) Berechnen sie den Abstand des Punktes O (0/0/0) von der Ebene durch A,B,C
c.) Berechnen sie das Volumen der Pyramide mit der Grundfläche ABC und der Spitze O.
d.) Bestimmen sie den Fußpunkt der Pyramidenhöhe . Berechnen sie den Abstand der Punkte O und F. Kontrollieren sie damit ihr Ergebnis von b.)
Fragen/Ansätze:
Ich weiss nicht, wie ich den Flächeninhalt und das Volumen berrechne wenn ich nur die Vektoren gegeben habe. Also wie ich von den Vektoren der Punkte A,B,C, etc. auf den Flächeninhalt, das Volumen komme. Ausserdem wie ich zeigen kann wie dass das Dreieck gleichseitig ist und wie ich den Fußpunkt bestimmen kann. Grundwissen, wie das Aufstellen der Funktionsgleichung und die Abstandsberechnung mit der Hess'schen Normalenform sind Vorhanden und verstanden. Das Dreieck habe ich bereits gezeichnet und den Abstand des Punktes 0(0/0/0) von der Ebene bestimmt! Bei den anderen Aufgaben fehlen mir die Ansätze!
Wenn mir jemand mit dieser Aufgabe helfen kann wäre ich sehr dankbar!
MfG Krissy
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Hi,
also ich will dir dann schonmal die Aufgabe a erklären.
Weißt du wie man die Länge eines Vektors berechnet?
Also, du erstellst 3 Vektoren.
[mm] \overline{AB}, \overline{AC}, \overline{BC}
[/mm]
[mm] \overline{AB} [/mm] = B - A = [mm] \vektor{2\\0\\-2}
[/mm]
[mm] \overline{AC} [/mm] = C - A = [mm] \vektor{0\\2\\-2}
[/mm]
[mm] \overline{BC} [/mm] = C - B = [mm] \vektor{-2\\2\\0}
[/mm]
Das sind nun deine 3 Richtungen, wovon du jetzt nur noch die Längen vergleichen musst.
[mm] |\overline{AB}| [/mm] = [mm] \wurzel{2²+0²+(-2)²} [/mm] = [mm] \wurzel{8}
[/mm]
[mm] |\overline{AC}| [/mm] = [mm] \wurzel{0²+2²+(-2)²} [/mm] = [mm] \wurzel{8}
[/mm]
[mm] |\overline{BC}| [/mm] = [mm] \wurzel{(-2)²+2²+0²} [/mm] = [mm] \wurzel{8}
[/mm]
Alle Seiten sind gleich !!
Die Fläche kannst du übrigens mit dem Kreuzprodukt ausrechnen sobald du 2 Richtungen aus einem Winkel heraus weist.
Z.B.
[mm] \bruch{1}{2}*( \overline{AB} \times \overline{AC})
[/mm]
Ich hoffe ich konnte dir helfen.
Gruß Jens
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Hi, Krissy,
> Gegeben sind die Punkte A(3/3/2) B(5/3/0) und C(3/5/0)
>
> a.)Zeigen sie, dass das Dreieck ABC gleichseitig ist und
> berechnen sie den Flächeninhalt.
Das mit dem gleichseitigen Dreieck hat Dir ja cagivamito schon erklärt. Für den Flächeninhalt eines gleichseitigen Dreiecks aber kannst Du auch die Formel verwenden: [mm] A=\bruch{a^{2}}{4}*\wurzel{3}, [/mm] wobei bei Dir ja die Seitenlänge [mm] a=\wurzel{8} [/mm] ist. Ergebnis: [mm] A=2*\wurzel{3})
[/mm]
> b.) Berechnen sie den Abstand des Punktes O (0/0/0) von
> der Ebene durch A,B,C
Wie das geht, weißt Du? Jedenfalls ist dieser Abstand nach meiner Berechnung: [mm] d=\bruch{8}{\wurzel{3}}
[/mm]
> c.) Berechnen sie das Volumen der Pyramide mit der
> Grundfläche ABC und der Spitze O.
Nachdem Du nun Grundflächeninhalt und Höhe kennst, ist das recht einfach:
[mm] V=\bruch{1}{3}*A*h [/mm] = [mm] \bruch{16}{3}
[/mm]
(Alle Rechnungen natürlich ohne Gewähr für Rechenfehler! Also: Alles nachrechnen!)
> d.) Bestimmen sie den Fußpunkt der Pyramidenhöhe .
> Berechnen sie den Abstand der Punkte O und F. Kontrollieren
> sie damit ihr Ergebnis von b.)
Der 2. Teil zuerst: Klar, dass dabei derselbe Wert rauskommt wie bei b).
Aber wie gehst Du vor? Nun: Wenn Du schon weißt, wie man Geraden und Ebenen schneidet, ist es einfach:
Du nimmst die Ebene durch die Punkte A, B und C und schneidest sie mit der Geraden, die durch O geht und auf der Ebene senkrecht steht, also mit der Geraden:
g: [mm] \vec{x} [/mm] = [mm] k*\vektor{1\\1\\1}.
[/mm]
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