Vektoren unter Bedingungen fin < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:58 So 07.11.2004 | | Autor: | Reaper |
geg.: Finden Sie alle Vektoren der Länge [mm] \wurzel{2}, [/mm] die senkrecht auf den Vektor (1,0,-2) stehen und mit dem Vektor (1,0,1) den Winkel 60 Grad einschließen.
Ich blicke bei dem Beispiel überhaupt nicht druch. Geht das wieder mit Winkelfunktionen oder ganz anders?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:55 Mo 08.11.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo Reaper,
> geg.: Finden Sie alle Vektoren der Länge [mm]\wurzel{2},[/mm] die
> senkrecht auf den Vektor (1,0,-2) stehen und mit dem Vektor
> (1,0,1) den Winkel 60 Grad einschließen.
Nehme dir eine Darstellung eines Vektors [mm] $\vektor{x\\y\\z}$ [/mm] her und formuliere die gegebenen Bedingungen mathematisch:
I) Länge [mm] $\wurzel{2}$: $\vmat{\vektor{x\\y\\z}}=\wurzel{2}$ $\gdw$ $\wurzel{x^2+y^2+z^2}=\wurzel{2}$ $\gdw$ $x^2+y^2+z^2=2$.
[/mm]
II) Senkrecht auf dem Vektor [mm] $\vektor{1\\0\\-2}$ [/mm] bedeutet: [mm] $0\stackrel{!}{=}\vektor{1\\0\\-2}\*\vektor{x\\y\\z}=x-2z$, [/mm] wobei [mm] $\*$ [/mm] das Skalarprodukt ist.
III) Mit [mm] $\vektor{1\\0\\-2}$ [/mm] einen Winkel von 60° einschließend: [mm] $\cos 60^{\circ}=\bruch{\vektor{1\\0\\1}\*\vektor{x\\y\\z}}{\vmat{\vektor{1\\0\\1}}*\vmat{\vektor{x\\y\\z}}}=\bruch{x+z}{\wurzel{2}*\wurzel{2}}$
[/mm]
Es gilt übrigens [mm] $\cos 60°=\bruch{1}{2}$
[/mm]
Insgesamt erhalten wir diese drei einfachen Gleichungen:
[mm] $x^2+y^2+z^2=2$
[/mm]
$x-2z=0$
$x+z=1$
Das sieht doch schon viel freundlicher und lösbarer aus 
Viel Spaß dabei,
Marc
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