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| Aufgabe | Stellen Sie fest, für welche Werte [mm] \alpha \in \IR [/mm] das Vektorfeld
f : [mm] \IR^3 \to \IR^3 [/mm] , f(x;y;z) = [mm] (y^2cosx;2ysinx+e^{ \alpha z};2ye^{ \alpha z}
[/mm]
konservativ ist und bestimmen Sie dafür ein Potential [mm] \gamma
[/mm]
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Also mein Ansatz um alpha zu finden wäre das Kreuzprodukt von nabla mit meinem Vektor zu berechnen und zu schauen wie ich alpha wählen muss, so dass da Null rauskommt. Funktioniert das so?
Und wie bestimme ich dann hier ein Potential?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:59 Mo 24.06.2013 | | Autor: | notinX |
Hallo,
> Stellen Sie fest, für welche Werte [mm]\alpha \in \IR[/mm] das
> Vektorfeld
> f : [mm]\IR^3 \to \IR^3[/mm] , f(x;y;z) = [mm](y^2cosx;2ysinx+e^{ \alpha z};2ye^{ \alpha z}[/mm]
>
> konservativ ist und bestimmen Sie dafür ein Potential
> [mm]\gamma[/mm]
> .
> Also mein Ansatz um alpha zu finden wäre das Kreuzprodukt
> von nabla mit meinem Vektor zu berechnen und zu schauen wie
> ich alpha wählen muss, so dass da Null rauskommt.
> Funktioniert das so?
ja, das sollte funktionieren.
> Und wie bestimme ich dann hier ein Potential?
Ein Potential ist eine Funktion [mm] $\phi=\phi(\vec [/mm] r)$ mit [mm] $\nabla\phi(\vec [/mm] r)=f$. Die findest Du durch Integration.
Gruß,
notinX
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Ok, also den ersten Teil habe ich jetzt gelöst mit [mm] \alpha [/mm] = 2
Aber leider weiß ich nicht wie ich ein Vektorfeld integrieren kann, kann mir das vielleicht jemand anhand eines Beispiels zeigen oder mir einen "Plan" zur Hand geben?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:22 Mo 24.06.2013 | | Autor: | notinX |
> Ok, also den ersten Teil habe ich jetzt gelöst mit [mm]\alpha[/mm]
> = 2
Wenn Du eine Überprüfung des Ergebnisses wünscht, tippe bitte Deine Rechnung ab.
> Aber leider weiß ich nicht wie ich ein Vektorfeld
> integrieren kann, kann mir das vielleicht jemand anhand
> eines Beispiels zeigen oder mir einen "Plan" zur Hand
> geben?
Integriere jede Komponente einzeln (nach der jeweiligen Koordinate) und beachte dabei dass die Integrationskonstante von den anderen beiden Koordinaten abhängen kann. Wähle die Integrationskonstante dann so, dass die Definitionsgleichung für eine Potentialfunktion erfüllt ist.
Gruß,
notinX
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Ok dann hätte ich [mm] (y^2sin(x)+c(y,z);y^2sin(x)+ye^{ \alpha z}+c(x,z); \bruch{2ye^{ \alpha z}}{\alpha}+c(x,y)) [/mm] oder?
Und wie genau bestimme ich jetzt c?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:15 Mo 24.06.2013 | | Autor: | notinX |
> Ok dann hätte ich [mm](y^2sin(x)+c(y,z);y^2sin(x)+ye^{ \alpha z}+x(x,z); \bruch{2ye^{ \alpha z}}{\alpha}+c(x,y))[/mm]
> oder?
Die Integral stimmen, aufschreiben würde ich das so aber nicht.
> Und wie genau bestimme ich jetzt c?
[mm] $\alpha=2$ [/mm] hast Du ja schon rausgefunden. Bei den Integraionskonstanten handelt es sich um drei Verschiedene. Vergleiche die ersten beiden Komponenten, was muss man zu [mm] $y^2\sin [/mm] x$ addieren, dass [mm] $y^2\sin [/mm] x [mm] +ye^{2z}$ [/mm] rauskommt? Damit hättest Du die erste Konstante schonmal bestimmt. Die anderen funktionieren genauso.
Gruß,
notinX
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Dann wäre die zweite Konstante also -y^2sin(x)+ [mm] \bruch{2ye^{2z}}{2} [/mm] und dir dritte - [mm] \bruch{2ye^{ \alpha z}}{ \alpha }+y^2sin(x) [/mm] ?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:29 Mo 24.06.2013 | | Autor: | notinX |
> Dann wäre die zweite Konstante also -y^2sin(x)+
> [mm]\bruch{2ye^{2z}}{2}[/mm] und dir dritte - [mm]\bruch{2ye^{
\alpha z}}{ \alpha }+y^2sin(x)[/mm]
> ?
Nein, die Konstanten können nicht von allen drei Variablen abhängen, dann wärens ja keine Konstanten bezüglich einer der Koordinaten. Wenn [mm] $c_2(x,z)=-y^2\sin x+ye^{2z}$ [/mm] wäre, würde die zweite Komponente so aussehen: [mm] $2ye^{2z}$ [/mm] Damit wäre die Potentialgleichung nicht erfüllt.
Gruß,
notinX
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Ich habe gedacht ich müsste immer zu der "aktuellen" komponenten etwas dazuaddieren, so dass die nächste Komponente rauskommt. Habe ich das falsch verstanden?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:51 Mo 24.06.2013 | | Autor: | notinX |
> Ich habe gedacht ich müsste immer zu der "aktuellen"
> komponenten etwas dazuaddieren, so dass die nächste
> Komponente rauskommt. Habe ich das falsch verstanden?
Ja, wie ich bereits sagte - es sind drei verschiedene Integrationskonstanten. Die müssen so bestimmt werden, dass alle Komponenten gleich sind.
Gruß,
notinX
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Ok neuer Versuch, dann müsste also die zweite Konstante 0 und die dritte KOnstante +y^2sin(x) sein?
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Hallo,
am besten du schreibst immer noch einmal die komplette (!) Lösung hin.
[mm] U(x,y,z)=y^2\sin(x)+ye^{2z}
[/mm]
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Ok, die komplette Lösung ist [mm] \alpha [/mm] =2.
Durch Integration erhält man:
y^2sin(x)+c(y,z);
[mm] y^2sin(x)+ye^{ \alpha z}+c(x,z);
[/mm]
[mm] \bruch{2ye^{ \alpha z}}{\alpha}+c(x,y)
[/mm]
und daraus folgt dann:
[mm] c(y,z)=ye^{ \alpha z}
[/mm]
c(x,z)=0
c(x,y)=y^2sin(x)
Und dann nur noch alpha durch 2 ersetzen ... richtig?
Danke für eure Hilfe 
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Wo ist denn bitteschön die Lösung? Das sind alles nur Terme!
Wie notin schon schrieb. Das Potential ist eine Funktion [mm] U:\IR^3\to\IR [/mm] !!!
Also: U(x,y,z)=... ???
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> Wo ist denn bitteschön die Lösung? Das sind alles nur
> Terme!
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> Wie notin schon schrieb. Das Potential ist eine Funktion
> [mm]U:\IR^3\to\IR[/mm] !!!
>
> Also: U(x,y,z)=... ???
>
Du hast doch oben schon geschrieben:
> $ [mm] U(x,y,z)=y^2\sin(x)+ye^{2z} [/mm] $
ist das nicht bereits das Ergebnis? :-?
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> > Wo ist denn bitteschön die Lösung? Das sind alles nur
> > Terme!
> >
> > Wie notin schon schrieb. Das Potential ist eine Funktion
> > [mm]U:\IR^3\to\IR[/mm] !!!
> >
> > Also: U(x,y,z)=... ???
> >
>
> Du hast doch oben schon geschrieben:
>
> > [mm] U(x,y,z)=y^2\sin(x)+ye^{2z}[/mm]
>
> ist das nicht bereits das Ergebnis? :-?
Ja.
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Achte auf deine Schreibweise. Wenn du deine Lösung so abgibst, wie oben, dann würde ich dir Punkte abziehen.
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Ok, mache ich. Danke für den Hinweis
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