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| Aufgabe | | Im [mm] \IR^2 [/mm] sei das Vektorfeld [mm] F(x,y)=(x+y^2,y+1) [/mm] gegeben. Berechnen Sie das Kurvenintegral [mm] \integral_{a}^{}{F |d\nu|}, [/mm] wobei a die Berandung des Dreiecks mit den Eckpunkten (0,0), (2,0) und (1,1) bezeichnet. |
Die gegebene Kurve a wird in drei stetig diffbare Teilkurven zerlegt:
[mm] a_1: [/mm] Strecke von (0,0) nach (2,0) gegeben durch [mm] a_1(t)=(t,0)
[/mm]
[mm] a_2: [/mm] Strecke von (2,0) nach (1,1) gegeben durch [mm] a_2(t)=(2-t,t)
[/mm]
[mm] a_3: [/mm] Strecke von (1,1) nach (0,0) gegeben durch [mm] a_3(t)=(1-t,1-t)
[/mm]
Jetzt meine Frage, wie berechnen die diese Strecken?? das es dann hinhaut, merk ich auch. ich weiß aber nicht, wie man da rechnerisch drauf kommt.
in einer teilaufgabe zuvor, war a wie folgt def., weiß nicht, ob man das hier auch noch braucht: a(t):=(b(cos(t)+tsin(t)), b(sin(t)-tcos(t))
Danke für hilfe.
Gruß
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Hallo!
Welche Parametrisierung man genau nimmt, ist relativ egal. Du benötigst hier eine Parametrisierung, die eine Strecke abhängig von einem einzigen Parameter darstellt.
Dazu kannst du einfach eine vektorielle Gradengleichung aufstellen:
[mm] \vec{x}=\vec{A}+t*\overrightarrow{AB} [/mm] mit [mm] t\in[0;1]
[/mm]
Das beschreibt die Strecke AB. Und du weißt selbst, daß eine Grade beliebig viele Parametrisierungen hat, wenn du dir dein [mm] a_1 [/mm] anschaust, siehst du, daß dort [mm] t\in[0;2] [/mm] benutzt wird.
Wichtig ist nur, daß t auch die Umlaufrichtung bestimmt. Mit wachsendem t solltest du dich von A nach B, bei der nächsten Strecke von B nach C, und letztendlich von C nach A bewegen. Es wäre fatal, wenn es bei der zweiten Strecke von C nach A geht!
Bei deiner "vorherigen" Aufgabe war der Weg eine Karotinoide, also eine herzförmige Kurve. Zugegeben, auf deren Parametrisierung kommt man nicht so einfach von alleine...
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Hi, vielen dank. Echt super erklärt.
Habe dann nochmal eine andere Frage zu dieser Aufgabe:
Mit [mm] F=(F_1,F_2) [/mm] gilt: [mm] \integral_{a}^{}{F |d\nu|}= (\integral_{a}^{}{F_1 |d\nu|}, \integral_{a}^{}{F_2 |d\nu|}) [/mm]
So dann sagen z.B. [mm] \integral_{a_1}^{}{F_1 |d\nu|}=\integral_{0}^{1}{F_1(a_2(t)) |a_2(t)|dt}, [/mm] also hier [mm] |a_2(t)| [/mm] fehlt ein strich, soll Ableitung bedeuten. Versteh aber nicht,wie die die Ableitung berechnet haben, denn die kommen da auf:
[mm] \integral_{a_1}^{}{F_1 |d\nu|}=\integral_{0}^{1}{F_1(a_2(t)) |a_1(t)|dt}=\wurzel{2}\integral_{0}^{1}{(2-t+t^2)dt}
[/mm]
das würde ja heißen, dass die Ableitung von [mm] a_2(t)=(2-t,t) [/mm] gleich [mm] \wurzel{2}(2-t+t^2) [/mm] ist, aber das geht doch gar nicht.
wie kommt dieser Schritt zu stande, kann mir das vielleicht noch jemand erklären?
Danke
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:40 Sa 28.06.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
Was ist denn bei dir [mm] F_1(a_2(t)) [/mm] und was ist [mm] |a_1'|?
[/mm]
Gruss leduart
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Hi.
Also [mm] F_1(a_2(t))=(2-t+t^2) [/mm] ja und bei der Ableitung bin ich mir noch nicht so sicher, wie man die bildet. es ist ja: [mm] |a_2'|=|(2-t,t)'|=|(2-t+t)'|=\wurzel{2} [/mm] ja ok, so würde es hinhauen, aber wieso darf man eigentlich aus (2-t,t)=(2-t+t) machen, also das komma wird ja einfach zum +, aber wieso?
bei [mm] a_3(t) [/mm] würde es auch wieder nicht klappen. [mm] |a_3'|=|(1-t,1-t)|=|1-t+1-t| [/mm] hier würde ja nicht wurzel 2 raukommen, obwohl es in der muterlösung rauskommt. komisch jetzt.
gruß
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:11 Sa 28.06.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
> Hi.
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> Also [mm]F_1(a_2(t))=(2-t+t^2)[/mm] ja und bei der Ableitung bin
> ich mir noch nicht so sicher, wie man die bildet. es ist
> ja: [mm]|a_2'|=|(2-t,t)'|=|(2-t+t)'|=\wurzel{2}[/mm] ja ok, so würde
> es hinhauen, aber wieso darf man eigentlich aus
> (2-t,t)=(2-t+t) machen, also das komma wird ja einfach zum
> +, aber wieso?
Weil du einfach Unsinn rechnest!
Bilde die Ableitung von (2-t,t) und schreib sie auf! Dann bild den Betrag!
(die Ableitung von (2-t+t) wäre 0!
>
> bei [mm]a_3(t)[/mm] würde es auch wieder nicht klappen.
> [mm]|a_3'|=|(1-t,1-t)|=|1-t+1-t|[/mm] hier würde ja nicht wurzel 2
> raukommen, obwohl es in der muterlösung rauskommt. komisch
> jetzt.
Starr nicht auf die Musterlösung, sondern tu ,was da steht! nämlich erst [mm] a_3 [/mm] ableiten, dann den Betrag bilden.
Gruss leduart
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Hi.
ja ok, da habe ich fehler gemacht, sorry. so, aber:
[mm] |a_2'|=|(2-t,t)'|=|(-1,1)|=\wurzel{2}, [/mm] so hier habe ich abe wieder (-1,1), also wir haben es ja eigentlich mit einem tupel zutun, aber wieso kann man dann daraus [mm] \wurzel{(-1)^2+(1)^2}=\wurzel{2} [/mm] machen?
ebenso bei dem anderen:
[mm] |a_3'|=|(1-t,1-t)|=|(-1,-1)|= \wurzel{(-1)^2+(-1)^2}=\wurzel{2}
[/mm]
kannste mir das vielleicht noch kurz erklären?
gruß
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Hallo!
Vielleicht mal ein ganz einfaches Beispiel:
Das Feld soll einen konstanten Wert F haben. Der Weg soll von (0|0) zu (3|4) gehen.
Beim Kurvenintegral wird der Weg in einzelne Stücke einer bestimmten Länge zerlegt. Diese einzelnen Längenstücke werden mit dem Feld an ihrer Stelle multipliziert, und anschließend werden alle Werte aufaddiert.
In meinem Beispiel ist das Feld überall konstant, sodaß man gleich die gesamte Länge mit dem Feld multiplizieren kann, und sich so das Integral spart. Die Länge des Weges ist 5. Demnach kommt hier für das Integral raus: I=5F
Aber wenn das Feld und der Weg nicht so einfach sind, kommt man ums Integrieren nicht rum.
Der Weg wird gegeben durch:
[mm] $\vec [/mm] {s}= [mm] \vektor{3t\\4t} [/mm] mit [mm] t\in[0;1]$
[/mm]
Das Feld soll immernoch konstant sein, also lautet das Integral nun
[mm] I=\int_0^1Fdt=F [/mm] Das stimmt aber nicht!
Das Problem ist hier, daß die Länge verloren gegangen ist! Die Frage ist, wie groß ist die Länge denn, wenn wir t um ein kleines Stück dt verändern? Allgemein ist die Veränderung [mm] $\frac{d\vec s}{dt}=\vec [/mm] s'$ , aber wir brauchen nicht eine Positionsänderung im Raum, sondern die STRECKEnänderung dorthin. Und das ist [mm] $\left|\frac{d\vec s}{dt}\right|=|\vec [/mm] s'|$
[mm] $|\vec [/mm] s'|*dt$ ist dann die Länge des Wegstücks, daß durch $dt$ beschrieben wird!!! Und die brauchen wir:
[mm] I=\int_0^1F|\vec s'|*dt=\int_0^1F*5*dt=5F [/mm] Jetzt stimmt es also!
Versuch es damit mal zu verstehen, woher dieser zusätzliche Betragsterm kommt.
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:48 Sa 28.06.2008 | | Autor: | Kroni |
Hallo,
ich hätte eine Frage zum Kurvenintegral: Auch hier lese ich wieder, dass man über den Betrag von etwas integriert. Im wesentlichem ist das doch so, dass man ein Vektorfeld [mm] $\vec{K}$ [/mm] hat, welches eine Funktion von [mm] $\vec{r}$ [/mm] ist. Wenn ich jetzt ein Wegintegral (man nennt es ja auch Kurvenintegral) lösen will, und schon eine vorgegebene Parametrisierte Kurve habe, also [mm] $\vec{r}=\vec{r}(t)$, [/mm] dann haben wir das immer so gelöst, indem wir dann umparametrisiert haben: In das Vektorfeld K haben wir dann für x, y, z die Parameterdarstellung eingesetzt, die durch [mm] $\vec{r}=\vec{r}(t)$ [/mm] gegeben ist. Da ja im Allgemeinen das Kurvenintegral darsteht als [mm] $\int K(\vec{r} [/mm] dr$ haben wir dann umparametrisiert und das so geschrieben:
[mm] $\int [/mm] K(t) [mm] \frac{d\vec{r}}{dt} [/mm] dt$
Hier kann ich aber nirgends ein Betrag sehen....
Ist es so, dass die Darstellung in der Obigen Aufgabe richtig ist, und meine Darstellung auch?! Weil wenn ich jetzt schon eine solche Parametrisierung vorgegeben hätte, dann würde ich das so berechnen, wie ichs oben hingeschrieben habe...
Ich sehe gerade die Äquivalenz nicht...
LG
Kroni
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:31 Sa 28.06.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo Kroni
Ich denk, die aufgabe von jaru.. ist eine andere als das normals Kurvenintegral von [mm] \vec{K}*\vec{dr} [/mm] in seinem integral steht ausdrücklich der Betrag! es kommt also offensichtlich nicht auf die Richtung des Weges zur Kraft an.Ich kenn das auch nur aus der physik, wie du es aufgeschrieben hast.
Wenn du etwa ein konservatives Kraftfeld (z.Bsp: ein konstantes hast) würde bei Integration längs eines geschlossenen weges siche nicht 0 rauskommen.
(und das Wegintegral wäre, wenn K ne Kraft ist ja die Arbeit)
Was dieses Integral mit dem Betrag soll, weiss ich nicht.
(eben fällt es mir ein: Nimm an, du willst die Gesamtkraft auf einen festen Körper, der ne Linie beschreibt ausrechnen, dann macht dieses Integral Sinn!)
EHs Beispiel mit konstantem Kraftfeld, würde in "unserem" Wegintegral nur F*L geben, wenn Kraft und Weg parallel wären, wenn sie senkrecht wären dagegen 0.
Also lass dich nicht beirren. Es sind einfach 2 verschiedene Probleme
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:47 Sa 28.06.2008 | | Autor: | Kroni |
Hi leduart,
danke für deine Antwort. So langsam macht das Sinn. Ich hatte das mit dem Betrag vorher nur noch nie gesehen, und ein Weg bzw. Linienintegral war für mich immer "ohne Betrag", sondern einfach nur die Ableitung ohne Betrag...
Werde nochmal darüber nachdenken, und mich nicht beirren lassen =)
Beste Grüße,
Kroni
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