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| Aufgabe | Die Koordinatengleichung eines Kreises lautet:
[mm] (x-m1)^{2}+(y-m2)^{2}=r^{2}
[/mm]
eine weitere Darstellungsmöglichkeit ist die Vektorgleichung:
[mm] (x-m)^{2}=r^{2}
[/mm]
Welcher Zusammenhang besteht zwischen diesen beiden Gleichungen bzw.
wie lässt sich die eine zu der anderen umformen? |
Hallo zusammen,
wie ihr an der Aufgabenstellung vielleicht seht, ist die Aufgabe von mir selbst gestellt, weil ich an dieser Stelle leider noch Verständnisprobleme habe...
Muss ins mündliche Abitur und da Kriese und Kugeln Themen sind, sollte ich das erklären können.
Meine erste Frage:
Welche dieser beiden Gleichungen erhält man direkt aus den geometrischen Verhältnissen?-Habe ich es richtig verstanden, dass der Radius natürlich der Abstand des Mittelpunktes M(m1/m2) von einem beliebigen Punkt auf der Kreisbahn P(x/y) ist und man demnach einfach den Satz des Pythagoras anwenden kann um auf die Koordinatengleichung zu kommen?
Falls dies der Fall ist: Da auf der rechten Seite der Gleichung [mm] r^{2} [/mm] steht, müsste die linke Seite doch als "quadrat des Abstandes von r (und damit von m zu x) zu deuten sein?!
Meine nächste Frage ist nun:
Wie kommt man von der Koordinatengleichung zu dieser Vekorgleichung-
kann man sich die Vektorgleichung auch aus den geometrischen Verhältnissen herleiten, oder ergibt sich diese irgendwie aus der Koordinatengleichung?
Bitte sehr um Hilfe und wäre unheimlich dankbar!
Danke schonmal im Voraus!
mfg
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Hallo,
> Die Koordinatengleichung eines Kreises lautet:
> [mm](x-m1)^{2}+(y-m2)^{2}=r^{2}[/mm]
> eine weitere Darstellungsmöglichkeit ist die
> Vektorgleichung:
> [mm](x-m)^{2}=r^{2}[/mm]
> Welcher Zusammenhang besteht zwischen diesen beiden
> Gleichungen bzw.
> wie lässt sich die eine zu der anderen umformen?
> Meine erste Frage:
> Welche dieser beiden Gleichungen erhält man direkt aus
> den geometrischen Verhältnissen?
Im Grunde beide, aber eher die erste.
> -Habe ich es richtig
> verstanden, dass der Radius natürlich der Abstand des
> Mittelpunktes M(m1/m2) von einem beliebigen Punkt auf der
> Kreisbahn P(x/y) ist und man demnach einfach den Satz des
> Pythagoras anwenden kann um auf die Koordinatengleichung zu
> kommen?
Genau!
> Falls dies der Fall ist: Da auf der rechten Seite der
> Gleichung [mm]r^{2}[/mm] steht, müsste die linke Seite doch als
> "quadrat des Abstandes von r (und damit von m zu x) zu
> deuten sein?!
Genau!
> Meine nächste Frage ist nun:
> Wie kommt man von der Koordinatengleichung zu dieser
> Vekorgleichung-
> kann man sich die Vektorgleichung auch aus den
> geometrischen Verhältnissen herleiten, oder ergibt sich
> diese irgendwie aus der Koordinatengleichung?
Es sind wirklich genau dieselben Gleichungen, nur einmal mit Zahlen und einmal mit Vektoren geschrieben:
Variante 1: [mm] $(x-m_1)^{2}+(y-m_2)^{2}=r^{2}$
[/mm]
Variante 2: [mm] $\left(\vektor{x \\y} - \vektor{m_1 \\ m_2}\right)^{2} [/mm] = [mm] r^{2}$ [/mm] bzw. [mm] $\left(\vektor{x \\y} - \vektor{m_1 \\ m_2}\right)\circ\left(\vektor{x \\y} - \vektor{m_1 \\ m_2}\right) [/mm] = [mm] r^{2}$,
[/mm]
wobei [mm] \circ [/mm] das "normale" Skalarprodukt sein soll.
Ich habe die Gleichungen genau mit denselben Variablen bezeichnet, sodass auch klar sein sollte, welche Gleichung von welcher kommt.
Das Skalarprodukt eines Vektors mit sich selbst ergibt gerade die Länge des Vektors ins Quadrat. Mit Hilfe dieses Satzes wird eventuell auch klarer, warum beide Gleichungen dasselbe darstellen.
Auf der linken Seite der zweiten Gleichung steht somit die Länge des Vektors [mm] \vektor{x-m_1 \\y-m_2} [/mm] ins Quadrat. Die Länge des Vektors [mm] \vektor{x-m_1 \\y-m_2} [/mm] ist aber gerade der Abstand vom Punkt (x,y) zum Punkt [mm] (m_1,m_2).
[/mm]
Grüße,
Stefan
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Ich danke dir für die schnelle, ausführliche Antwort!
Werden in der Vektorgeometrie beide Formeln mit gleicher "Wichtigkeit" behandelt, oder spielt eine der beiden eine übergeordnete Rolle?!
Oft hat man solche Kreisgleichungen ja auch in ausmultiplizierter Form vorliegen und soll dann trotzdem erkennen, dass es sich um eine Kreisgleichung handelt,
Bsp:
[mm] x1^{2}-x2^{2}-2x1+6x2=6
[/mm]
hier hatten wir im Unterricht aufgeschrieben, dass es sich um einen Kreis mit Mittelpunkt M(1/-3) und Radius r=4 handelt?!?!
Könntest du mir noch sagen, wie man da drauf kommt!?=(
Liebe Grüße
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Hallo,
> Ich danke dir für die schnelle, ausführliche Antwort!
> Werden in der Vektorgeometrie beide Formeln mit gleicher
> "Wichtigkeit" behandelt, oder spielt eine der beiden eine
> übergeordnete Rolle?!
Ich hatte im Abitur nur die Kreisgleichung in der [mm] $(x-m_1)^{2} [/mm] + [mm] (y-m_{2})^{2} [/mm] = [mm] r^{2}$ [/mm] benutzt und bin damit gut zurecht gekommen. Die andere Formel mit den Vektoren ist in gewisser Weise "allgemeiner", durch sie bekommst du zum Beispiel raus, wie Kreisgleichungen im Dreidimensionalen auszusehen haben.
> Oft hat man solche Kreisgleichungen ja auch in
> ausmultiplizierter Form vorliegen und soll dann trotzdem
> erkennen, dass es sich um eine Kreisgleichung handelt,
> Bsp:
> [mm]x1^{2}-x2^{2}-2x1+6x2=6[/mm]
> hier hatten wir im Unterricht aufgeschrieben, dass es sich
> um einen Kreis mit Mittelpunkt M(1/-3) und Radius r=4
> handelt?!?!
Dass dadurch ein Kreis beschrieben wird, erkennt man daran, dass nur Potenzen von [mm] x_1 [/mm] und [mm] x_2 [/mm] bis höchstens zur 2. Potenz auftreten, und nie x und y miteinander multipliziert werden. Und: beide Koeffizienten vor x_!^{2} und [mm] x_2^{2} [/mm] müssen "+1" sein!
Daran erkenne ich zum Beispiel, dass deine Gleichung oben gar keinen Kreis beschreibt. Vermutlich hast du dich beim zweiten [mm] x_2^{2} [/mm] verschrieben und es sollte "+" sein.
Die Kreisgleichung kannst du durch quadratische Ergänzung berechnen:
[mm] $x_1^{2}+x_2^{2}-2*x_1+6*x_2=6$
[/mm]
1. Schritt: Terme ordnen nach [mm] x_1 [/mm] und [mm] x_2 [/mm] , alle Zahlen auf die rechte Seite der Gleichung:
[mm] $(x_1^{2}-2*x_1)+(x_2^{2}+6*x_2)=6$
[/mm]
Nun die beiden Ausdrücke in Klammern zu binomischen Formeln ergänzen. Dazu schauen wir auf die Vorfaktoren ("Koeffizienten") von [mm] x_1 [/mm] bzw. [mm] x_2.
[/mm]
Beispiel: Koeffizient von [mm] x_1 [/mm] ist $b = -2$. Ergänzt werden muss dann [mm] \frac{b^{2}}{4} [/mm] = 1.
Koeffizient von [mm] x_2 [/mm] ist $b = 6$. Ergänzt werden muss dann [mm] \frac{b^{2}}{4} [/mm] = 9.
[mm] $(x_1^{2}-2*x_1 [/mm] + 1 - [mm] 1)+(x_2^{2}+6*x_2 [/mm] + 9 - 9)=6$
Die überflüssigen Zahlen nach rechts bringen:
[mm] $(x_1^{2}-2*x_1 [/mm] + [mm] 1)+(x_2^{2}+6*x_2 [/mm] + 9)=16$
Nun binomische Formeln:
[mm] $(x_1- 1)^{2}+(x_2+3)^{2}=4^{2}$
[/mm]
Und fertig!
Grüße,
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:38 So 09.05.2010 | | Autor: | Theoretix |
Ah, vielen dank, so macht das ganze natürlich Sinn!
Nur am Rande: die Schreibweise x1 und x2 ist das gleiche, wie wenn man x und y verwendet, oder?!
Liebe Grüße
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Hallo,
> Ah, vielen dank, so macht das ganze natürlich Sinn!
> Nur am Rande: die Schreibweise x1 und x2 ist das gleiche,
> wie wenn man x und y verwendet, oder?!
Genau. Üblich ist in der Schule aber eher x und y (und evtl. z als dritte Koordinate). Die Schreibweise mit [mm] x_1, x_2, x_3 [/mm] kommt eher an der Uni vor, weil man dann auch höhere Dimensionen betrachtet.
Es bedeutet aber wie gesagt genau dasselbe, [mm] x_1 [/mm] und [mm] x_2 [/mm] oder x und y zu benutzen.
Grüße,
Stefan
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> Die Koordinatengleichung eines Kreises lautet:
> [mm](x-m1)^{2}+(y-m2)^{2}=r^{2}[/mm]
> eine weitere Darstellungsmöglichkeit ist die
> Vektorgleichung:
> [mm](x-m)^{2}=r^{2}[/mm]
> Welcher Zusammenhang besteht zwischen diesen beiden
> Gleichungen bzw.
> wie lässt sich die eine zu der anderen umformen?
Hallo Julian,
ich möchte nur eine Bemerkung wegen der Bezeichnungen
machen. Du verwendest die Variable x in den beiden Glei-
chungen in ganz unterschiedlichen Bedeutungen. Wenn du
nach einer "Umformung" von der einen zur anderen Glei-
chung fragst, ist dies natürlich ganz ungeeignet.
In der ersten Gleichung steht x für die erste Koordinate
eines Punktes, in der zweiten bezeichnet x den Ortsvektor
des Punktes, der zwei Komponenten [mm] x_1 [/mm] und [mm] x_2 [/mm] hat.
Schon aus diesem Grund wäre es hier angezeigt, entweder
[mm] x_1 [/mm] und [mm] x_2 [/mm] anstatt x und y zu benützen oder aber den
Ortsvektor mit Vektorpfeil zu schreiben, also z.B.
[mm] $\vec{p}\ [/mm] =\ [mm] \vektor{x\\y}$ [/mm]
Damit würde die vektoriell notierte Kreisgleichung dann so
aussehen:
$\ [mm] (\vec{p}\ [/mm] -\ [mm] \vec{m})^2\ [/mm] =\ [mm] r^2$ [/mm]
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