Vektorpotential eines Leiters < Physik < Naturwiss. < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:59 Mi 07.06.2006 | | Autor: | baenre |
| Aufgabe | Berechne das Vektorpotential:
[mm] \overrightarrow{A(\overrightarrow{r})} [/mm] = [mm] \bruch{ \mu_{0} * I}{4 *\pi*r} [/mm] * [mm] \integral_{}^{}{ \bruch{d \overrightarrow{r'}}{| \overrightarrow{r} - \overrightarrow{r'}|}}
[/mm]
Berechne danach:
[mm] \overrightarrow{B( \overrightarrow{r})} [/mm] = [mm] \nabla \times \overrightarrow{A( \overrightarrow{r})}
[/mm]
Es gibt noch ein (sehr einfaches) Bild zu der Aufgabe, deshalb denke ich
das die Beschreibung genügt:
1. Kartesisches Koordinatensystem
2. [mm] \overrightarrow{r'} [/mm] sowie [mm] \overrightarrow{dr'} [/mm] und auch [mm] I_{z} [/mm] (der
Strom) liegen auf der z-Achse.
3. [mm] \overrightarrow{r} [/mm] ist einfach ein Vektor, der von [mm] \overrightarrow{O}
[/mm]
aus "in den Raum" zeigt. |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hi,
Ich bin mir nich sicher wie ich den ersten Teil ausrechnen soll.
[mm] {|\overrightarrow{r} - \overrightarrow{r'}|} [/mm] ist ja
der Betrag des Vektors von [mm] \overrightarrow{r'} [/mm] nach [mm] \overrightarrow{r},
[/mm]
also letztlich:
[mm] \bruch{1}{ \wurzel{r_{x}^2 + r_{y}^2 + (r'_{z} - r_{z})^2}}, [/mm] da
[mm] \overrightarrow{r'} [/mm] ja nur eine z-Komponente hat.
Wirklich weiter hilft mir das aber nicht ;).
Was ist [mm] \overrightarrow{dr'} [/mm] ? Bei Linienintergralen muss man ja die Kurve ableiten und dann
mit dem Feld multiplizieren, und dann kann man integrieren. Aber wie das hier ist weiß ich nicht.
In Teil 2 muss ich ja dann mit dem Ergebnis nur die Rotation berechnen.
kind regards baenre
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:36 Mi 07.06.2006 | | Autor: | Kuebi |
Hey du!
Okay, zuerst zum Teil mit dem Vektorpotential ...
Es ist zu berechnen aus [mm] \bruch{\mu_{0}*I}{4*\pi}* \integral{\bruch{d\overrightarrow{r'}}{|\overrightarrow{r}-\overrightarrow{r'}|}}
[/mm]
(Das r welches in der Aufgabenstellung noch im Nenner vor dem Integral steht, sollte da glaube ich nicht stehen! Es findet sich auch nicht im Skript! Ist (ohne Gewähr) ein Tippfehler!)
Aus der Skizze kann man sehen:
[mm] \overrightarrow{r'}=\vektor{0\\0\\z}
[/mm]
[mm] \overrightarrow{r}=\vektor{x\\y\\0}
[/mm]
[mm] d\overrightarrow{r'}=dz
[/mm]
Es folgt für [mm] |\overrightarrow{r}-\overrightarrow{r'}|=\wurzel{x^{2}+y^{2}+z^{2}}.
[/mm]
D.h. man muss nun folgendes berechnen (Achtung, hier kommen nun Integrationsgrenzen ins Spiel!)
[mm] \bruch{\mu_{0}*I}{4*\pi}* \integral_{-l}^{l}{\bruch{dz}{\wurzel{x^{2}+y^{2}+z^{2}}}}
[/mm]
Substituiert man vorübergehend [mm] x^{2}+y^{2} [/mm] etwa durch [mm] a^{2}, [/mm] so hat man ein Integral zu berechnen, welches man z.B. im Bronstein nachschauen kann (Integral Nr. 192).
Das Ergebnis lautet
[mm] \bruch{\mu_{0}*I}{4*\pi}(arsinh(\bruch{l}{x^{2}+y^{2}})-arsinh(\bruch{-l}{x^{2}+y^{2}}))
[/mm]
welches sich gemäß Rechenregeln (kann man auch nachschlagen) wie folgt zusammenfassen lässt:
[mm] \bruch{\mu_{0}*I}{4*\pi}*2*(arsinh(\bruch{l}{x^{2}+y^{2}}))
[/mm]
Dies ist nun [mm] \overrightarrow{A}(\overrightarrow{r})=\vektor{0\\0\\A_{z}}
[/mm]
Das das Vektorpotential nur eine z-Komponente hat und wir diese eben berechnet haben, lässt sich klar machen durch [mm] \overrightarrow{B}=rot\overrightarrow{A} [/mm] (Berechnet man rot von [mm] \vektor{0\\0\\A_{z}} [/mm] so erhält man ein Vektorfeld, welches, wie in diesem Fall, nur x- und y-Komponenten hat!).
Im zweiten Teil musst du dann nur noch [mm] \nabla\times\overrightarrow{A}(\overrightarrow{r}) [/mm] gemäß der Definition berechnen! (Vereinfacht sich durch die Tatsache, dass das Vektorpotential nur eine z-Komponente hat! Dadurch werden alle Terme die man ausrechnen müsste bis auf zwei zu 0!)
Ich hoffe mal ich konnte etwas weiterhelfen helfen!
Lg, Kübi
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