Vektorprodukt im R2/R4 < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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Hi Leute, ich hab da ma ne Frage an euch! Und zwar würde ich gerne wissen wie ein Vektorprodukt im R2 aussehen müsste bzw., auch im R4! Meines wissens gibt es nur eins im R3?!
Könnt ihr mir da nen paar Tipps geben?
Danke
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:56 Mo 26.05.2008 | | Autor: | fred97 |
Das gibtes auch nur im [mm] R^3
[/mm]
Gruß Fred
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Ok, aber wie müsste den eins im R2 aussehen? Also ich habe ne Aufgabe dazu und er der steht genau:
"Wie müsste ein Vektorprodukt im R2 aussehen? Wie eins im R4? Wieviele Vektoren müsste man überhaupt jeweils multiplizieren?"
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:47 Mo 26.05.2008 | | Autor: | fred97 |
Welche Eigenschaften soll denn dieses Produkt haben ?
FRED
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:12 Mo 26.05.2008 | | Autor: | Sigrid |
Hallo ChrisStone,
> Ok, aber wie müsste den eins im R2 aussehen? Also ich habe
> ne Aufgabe dazu und er der steht genau:
>
> "Wie müsste ein Vektorprodukt im R2 aussehen? Wie eins im
> R4? Wieviele Vektoren müsste man überhaupt jeweils
> multiplizieren?"
Im R4 müsstest Du zu drei Vektoren einen 4. finden, der auf den drei anderen senkrecht steht und die richtige Orientierung und Länge hat.
Die Frage für den R2 kannst Du jetzt vielleicht selbst beantworten.
Gruß
Sigrid
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Hmm also gibt es im R2 keines?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:22 Mo 26.05.2008 | | Autor: | fred97 |
Nochmal: welche Eigenschaften soll denn ein solches Vektorprodukt haben ?
Die Eigenschaft, die Sigrid nannte ist eine, aber warum gerade diese ?
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:34 Mo 26.05.2008 | | Autor: | ChrizStone |
Also ne bestimmte Eigentschaft eigentlich nicht! Steht ja nicht in der Aufgabenstellung! Steht halt nur drin wie es aussehen müsste!?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:38 Mo 26.05.2008 | | Autor: | fred97 |
Dann def. doch einfach axb: = 0 (für a,b im [mm] R^2 [/mm] oder im [mm] R^4).
[/mm]
Dann hast du ein tadelloses Vektorprodukt, ohne besondere Eigenschaften und völlig nutzlos !
Verstehst Du nun meine Fragen nach Eigenschaften ?
FRED
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:09 Mo 26.05.2008 | | Autor: | Hackteck |
Sprich müsste ich im R2 zu einem Vektor einen 2. finden der Senkrecht auf diesem steht? Wäre dies der Nullvektor ?
Wäre dies eine logische Erklärung dafür das es im R2 kein Vektorprodukt existiert?
Vektor ( 2, 3, 0) [die z-Achse hab ich 0 gemacht da ja R2] x Vector (0, 0, 0) ?
Ergebnis = 0;
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:49 Mo 26.05.2008 | | Autor: | Teufel |
Hi!
Naja, das mit dem Nullvektor klappt auch im R² und [mm] R^4!
[/mm]
Nehmen wir einfach [mm] \vec{a}=\vektor{2 \\ 3}. [/mm] Jetzt willst du einen Vektor, der dazu senkrecht steht. Dazu kannst du eine Komponente des senkrechten Vektors festsetzen und die andere danach berechnen.
z.B. wäre [mm] \vec{n}=\vektor{-3 \\ 2} [/mm] so ein Vektor.
Das Vektorprodukt gibt dir ja nur einen Vektor an, der senkrecht auf anderen Vektoren steht, im R³ (meistens) auf 2.
Wenn du also 2 Vektoren [mm] \vec{a} [/mm] und [mm] \vec{b} [/mm] gegeben hast, und du einen 3. Vektor [mm] \vec{n} [/mm] suchst, der senkrecht auf beiden steht, muss gelten:
[mm] \vec{a}*\vec{n}=0
[/mm]
[mm] \vec{b}*\vec{n}=0
[/mm]
Im R² ist das noch einfacher, da du nur einen Vektor beachten brauchst. Deswegen müsste hier nur gelten.
[mm] \vec{a}*\vec{n}=0
[/mm]
![[anon]](/images/smileys/anon.png "[anon]") Teufel
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 19:50 Mo 26.05.2008 | | Autor: | ChrizStone |
War das jetzt aufs R4 bezogen? Weil im R4 verstehe ich das jetzt noch nicht so ganz! R2 ist jetzt klar!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:48 Mo 26.05.2008 | | Autor: | Teufel |
Ne, wollte das nur mit dem R² erklären. Mit dem [mm] R^4 [/mm] hatte ich noch nichts zu tun, aber wenn man das System so fortführt, würde man das Vektorprodukt auch mit.
[mm] \vec{a}*\vec{n}=0
[/mm]
[mm] \vec{b}*\vec{n}=0
[/mm]
[mm] \vec{c}*\vec{n}=0
[/mm]
berechnen können. Aber anschaulich finde ich das nicht mehr :s
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:57 Mo 26.05.2008 | | Autor: | ChrizStone |
Ja die Aufgabenstellung ist ja auch so das man das nicht genau darstellen soll, sondern sagen soll wieviele Vektoren man denn multiplizieren müsste damit ein Vektroprodukt im R4 ensteht!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:41 Mo 26.05.2008 | | Autor: | Teufel |
Na dann würde ich behaupten: 3.
Teufel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:47 Mo 26.05.2008 | | Autor: | Hackteck |
$ [mm] \vec{a}\cdot{}\vec{n}=0 [/mm] $
$ [mm] \vec{b}\cdot{}\vec{n}=0 [/mm] $
$ [mm] \vec{c}\cdot{}\vec{n}=0 [/mm] $
Ist logisch und klar für R4.
Kann mir jemand sagen was [mm] $\vec{n}$ [/mm] im R3 und im R4 ist ?
Glaub bringe [mm] $\vec{n}$ [/mm] mit dem Ergebnis des Vektorproduktes durcheinander, warum auch immer?!
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Hi,
$n$ ist der Vektor der auf den anderen senkrecht seht. Also im [mm] $\IR^3$ [/mm] das Ergebnis des Kreuzproduktes, also $n = a [mm] \times [/mm] b$
Gruß Patrick
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:29 Mi 28.05.2008 | | Autor: | Merle23 |
Möglichkeit Nummer eins: ![[]](/images/popup.gif) verallgemeinertes Kreuzprodukt. Musst ganz unten auf der Seite schauen.
Möglichkeit zwei: Hab mal gelesen, dass man bestimmte Kreuzprodukte erhalten kann, wenn man von reellen Divisionsalgebren die Imaginärteile nimmt.
Betrachten wir z.B. die Quaternionen. Der Imaginärteil davon hat ja drei Komponenten. Und wenn man nun zwei solche Imaginärteile miteinander multipliziert (laut den Multiplikationsregeln der Quaternionen), dann hat man eine neue Quaternion, von der man wieder den Imaginärtiel nehmen kann. Dies wäre dann das Kreuzprodukt von den beiden miteinander multiplizierten Imaginärteilen. Dadurch erklärt es sich auch, dass das Kreuzprodukt nicht kommutativ ist, denn die Quaternionen sind es ja auch nicht in der Multiplikation.
Das ganze kann man jetzt auch mit den anderen reellen Divionsalgebren machen (also die komplexen Zahlen und die Oktonionen) was zu Kreuzprodukten im [mm] \IR^1 [/mm] und [mm] \IR^7 [/mm] führt.
Hab das ganze aber nie durchgerechnet, hab also auch keine Ahnung welche Eigenschaften diese Kreuzprodukte haben.
Ausserdem weiss ich nicht, inwiefern man es mit anderen Divionsalgebren machen kann [mm] (\IC, [/mm] die Quaternionen und die Oktonionen sind ja nicht alle - dazu muss man ja noch "normiert" und "mit Eins" dazunehmen, damit es die einzigen werden).
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