Vektorr. - differenzierb. Fkt. < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:53 Fr 20.05.2005 | | Autor: | lilly09 |
Hallo Leute!
Ich brauche dringend Hilfe bei einer Aufgabe!
Es geht um Folgendes:
Es soll bewiesen werden, dass die Menge A alller differenzierbaren Fuktionen durch Summen - und Vielfachbildung einen Vektorraum darstellt.
Also nicht einfach an einem Beispiel (was ich mit viel Mühe noch hinbekommen würde), sondern den allgemeinen Beweis.
Ein Vektorraum mit Vektoren - das habe ich verstanden, ebenso die geltenden Axiome. Aber mit Funktionen? Ich habe einfach nur herausgefunden, das es mit Funktionen das Gleiche sein soll, die also genauso wie die Vektoren gehandhabt werden.
Doch: Wie beweist man das? Und zwar nicht an einem konkreten Beispiel sondern allgemein? Wie beweise ich die Axiome mit Hilfe der Ableitungsregeln ?
Soweit bin ich:
Die Axiome:
Menge V von Elementen
- a + b = b + a
- (a + b) + c = a + (b + c)
- Element o [mm] \varepsilon [/mm] V -> a + o = a für alle a [mm] \varepsilon [/mm] V
- zu jedem a [mm] \varepsilon [/mm] V gibt es ein (-a) [mm] \varepsilon [/mm] V mit a + (-a) = 0
- r * (s * a) = (rs) * a -> a [mm] \varepsilon [/mm] V und r , s [mm] \varepsilon [/mm] R
- (r + s ) * a = (r * a) + (s * a) -> siehe oben
- r * (a + b) = (r * a ) + (r * b) -> a, b [mm] \varepsilon [/mm] V und r [mm] \varepsilon [/mm] R
- a + a + ... + a = m * a ->a [mm] \varepsilon [/mm] V und m [mm] \varepsilon [/mm] N
-> m - Sumanden
Doch, wie weise ich diese Axiome mit Hilfe der Ableitungsregeln bei Funktionen nach?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:34 Fr 20.05.2005 | | Autor: | lilly09 |
Vielen Dank für die rasche Antwort.
Was mich an meiner Aufgabenstellung stutzig macht ist, dass ich die Axiome mit Hilfe der Ableitungsregeln nachweisen soll.
Axiome sind doch aber nicht beweisbar!
Und was haben die Ableitungsregeln damit zu tun?
Desweiteren beweise ich mit deinem Beispiel ((f+g)(x)=f(x)+g(x)=g(x)+f(x)=(g+f)(x) ) doch nicht, dass die Axiome tatsächlich zutreffen, ich bringe die Funktionen einfach nur in die Form der Axiome. Die kann ich ja in alle aufgelisteten Axiome umgestalten.
Hmm... Ich bin in einer Sackgasse...
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:53 Fr 20.05.2005 | | Autor: | Max |
Hallo Lily,
> Was mich an meiner Aufgabenstellung stutzig macht ist, dass
> ich die Axiome mit Hilfe der Ableitungsregeln nachweisen
> soll.
Nein. Du sollst nur zeigen, dass die differenzierbaren Funktionen die Definition eines Vektorraums erfüllen. Dazu kannst du natürlich die Ableitungsregeln benutzen.
> Axiome sind doch aber nicht beweisbar!
Axiome bezeichnen Gegebenheiten die man nicht nachweisen will/kann und klar benennt, weil man das in einer Wissenschaft zu macht.
> Und was haben die Ableitungsregeln damit zu tun?
>
> Desweiteren beweise ich mit deinem Beispiel
> ((f+g)(x)=f(x)+g(x)=g(x)+f(x)=(g+f)(x) ) doch nicht, dass
> die Axiome tatsächlich zutreffen, ich bringe die Funktionen
> einfach nur in die Form der Axiome. Die kann ich ja in alle
> aufgelisteten Axiome umgestalten.
> Hmm... Ich bin in einer Sackgasse...
Also um sinnvolle Strukturen beschrieben zu können braucht man einen Anfang. Diese Anfangsannahme werden in der Mathematik klar benannt und jedem offen und ehrlich vorgestellt - man spricht dann von Axiomen. Um Strukturen und Eigenschaften in der Mathematik zu beschreiben braucht man aber nicht Axiome sondern Definitionen! Es gibt zB die Definition für einen Körper oder einen Vektorraum.
Manchmal möchte man nicht zeigen, dass bestimmte Definitionen erfüllt sind, dann kann man als Axiom nehmen: [mm] $\IR$ [/mm] ist ein Körper. Das ändert aber nichts, dass mit Körper eine bestimmte Struktur mit genau festgelegten Eigenschaften gemeint ist, die zB auch von [mm] $\IQ$ [/mm] erfüllt ist.
Das ist auch hier der Fall: Wahrscheinlich habt ihr damit begonnen und gezeigt, dass der [mm] $\IR^2$ [/mm] bzw. [mm] $\IR^3$ [/mm] ein Vektorraum ist. Das war euer Axiom. Trotzdem beziechnet man jede Struktur, die die Definition eines Vektorraums erfült so. Und die differenzierbaren Funktionen erfüllen alle diese in der Definition geforderten Eigenschaften.
Ich hoffe das macht dir den UNterschied zwischen Axiom und Definition deutlich. Also keine Angst, zeig einfach durch Verwendung der Ableitungsregeln, dass die differenzierbaren Funktionen all diese Eigenschaften haben.
Gruß Max
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:19 Fr 20.05.2005 | | Autor: | lilly09 |
Hm...
Mir fehlt einfach jegliches mathematisches Verständnis.
Wie nutze ich die Ableitungsregeln?
Soll ich einfach zeigen, dass die Axiome ebenso auf abgeleitete Funktionen zutreffen, indem ich diese in die Axiome einsetze?
Tut mir leid, dass ich so begriffssstutzig bin... Ich glaube, am einfachsten wäre es an einem Beispiel verständlich.
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Hallo!
Also, nehmen wir doch noch mal mein Beispiel von vorhin:
(f+g)(x)=f(x)+g(x)=g(x)+f(x)=(g+f)(x)
Du hast das wohl etwas falsch aufgefasst, und zwar hast du damit wohl schon gezeigt, dass das erste Axiom gilt. Weil nämlich alles, was hier steht, also alle Umformungen, die ich gemacht habe, für differenzierbare Funktionen gültig sind. Ich weiß zwar im Moment nicht, warum die Funktion diffbar sein soll, aber vielleicht ist das ja auch erstmal egal...
Also, das erste Gleichheitszeichen, das gilt einfach nach der Definition der Summe zweier Funktionen. Und das zweite gilt dann einfach, weil f(x) eine reelle Zahl ergibt, g(x) genauso, und der Körper der reellen Zahlen ist kommutativ, was soviel heißt, wie "es ist egal, ob du a+b oder b+a rechnest" - und genau das steht hier. Und das letzte ist dann wieder die Definition der Summe zweier Funktionen. 
Das zweite geht exakt genauso!
Nehmen wir dann nochmal die Sache mit dem neutralen Element bzgl. "+" - das ist die Nullfunktion. Ich nenne sie jetzt einfach mal 0 - das ist die Funktion, die jedes Element auf 0 abbildet. Also 0(x)=0.
Dann gilt:
(f+0)(x)=f(x)+0(x)=f(x)+0=f(x)
Alles klar? Ist im Prinzip nicht weiter schwierig, oder wo hakt's noch?
Viele Grüße
Bastiane
![[cap]](/images/smileys/cap.gif "[cap]")
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:07 Fr 20.05.2005 | | Autor: | lilly09 |
Diese Aufgabe ist das Letzte, was ich in Mathe tun werde, dann habe ich mein Abi und beschäftige mich niemals wieder mit Mathe!
Bestimmt ist es eigentlich ganz einfach, nur ich versteh mal wieder nichts. :-/
Ich fasse mal ein paar Dinge zusammen, in der Hoffnung, dass diese richtig sind:
Im Vektorraum treffen die von mir bereits aufgelisteten Axiome zu -> die Axiome definieren also sozusagen den Vektorraum?
Die Axiome beinhalten die innere und äußere Verknüpfung?
Wenn ich beweisen will, dass differenzierbare Funktionen ebenso einen Vektorraum darstellen können, dann tue ich das indem ich beliebige Funktionen in die Axiome einsetze? Dies geht ebenso mit den abgeleiteten Funktionen, für diese gelten die gleichen Axiome?
Oh man... Das ist das Letzte, was ich in Mathe verstehen muss...
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Hallo!
> Diese Aufgabe ist das Letzte, was ich in Mathe tun werde,
> dann habe ich mein Abi und beschäftige mich niemals wieder
> mit Mathe!
Das ist eigentlich sehr schade - ich weiß nicht, ob du das dann überhaupt verstehen kannst, wenn du es nur verstehen willst, weil du es musst und nicht, weil du es wirklich willst...
> Bestimmt ist es eigentlich ganz einfach, nur ich versteh
> mal wieder nichts. :-/
Naja - als Schüler hätte ich damit wohl auch so meine Probleme gehabt. Aber ich dachte eigentlich, meine letzte Erklärung wäre verständlich gewesen... ![[kopfkratz]](/images/smileys/kopfkratz.gif "[kopfkratz]") Schade, dass du nicht direkt dazu eine Frage gestellt hast - jetzt weiß ich immer noch nicht wirklich, wo dein Problem liegt...
> Ich fasse mal ein paar Dinge zusammen, in der Hoffnung,
> dass diese richtig sind:
>
> Im Vektorraum treffen die von mir bereits aufgelisteten
> Axiome zu -> die Axiome definieren also sozusagen den
> Vektorraum?
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") - ich denke, das kann man so sagen.
Und um zu zeigen, dass eine Menge ein Vektorraum ist, muss man zeigen, dass alle diese Axiome gelten. Aber das war eigentlich das erste, was dir hätte klar sein müssen, um überhaupt zu wissen, was du in der Aufgabe machen sollst... ![[kopfschuettel]](/images/smileys/kopfschuettel.gif "[kopfschuettel]")
> Die Axiome beinhalten die innere und äußere Verknüpfung?
Das verstehe ich nicht so ganz. Du hast doch alle Axiome gegeben - was meinst du mit innerer und äußerer Verknüpfung???
> Wenn ich beweisen will, dass differenzierbare Funktionen
> ebenso einen Vektorraum darstellen können, dann tue ich das
> indem ich beliebige Funktionen in die Axiome einsetze? Dies
> geht ebenso mit den abgeleiteten Funktionen, für diese
> gelten die gleichen Axiome?
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]") Das würde ich nicht so sagen. Also, du musst zeigen, dass diese Axiome (die Vektorraumaxiome) für diffbare Funktionen gelten. So wie wenn du zeigen willst, dass der [mm] \IR^3 [/mm] ein Vektorraum ist. Dann musst du auch z. B. zeigen, dass [mm] \vec{a}+ \vec{b}= \vec{b}+ \vec{a} [/mm] usw.. Und das Gleiche machst du jetzt mit den Funktionen.
Du musst hier nirgendwo etwas einsetzen, sondern zeigen, dass für die Funktionen die Axiome gelten. Ich habe dir also jetzt schon vorgerechnet, dass das Kommutativgesetz gilt. Dafür habe ich die linke Seite des Axioms genommen und sie - mit den Regeln für diffbare Funktionen - so umgeformt, dass ich die rechte Seite deines Axioms erhalten habe. Und da zwischen den einzelnen Umformungen überall ein Gleichheitszeichen steht, ist das, was ganz links stand gleich dem, was ganz rechts stand. Und demnach habe ich das Axiom für eine beliebige differenzierbare Funktion nachgewiesen.
Und, was mir gerade erst auffällt: du willst nicht zeigen, dass differenzierbare Funktionen einen Vektorraum darstellen können, sondern dass die Menge aller differenzierbaren Funktionen ein Vektorraum ist!!!
Sorry, ich weiß leider wirklich nicht, wie ich das noch anders erklären soll...
Viele Grüße
Bastiane
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:14 Sa 21.05.2005 | | Autor: | Stefan |
Hallo Lilly!
Ich werde es dir jetzt noch einmal von vorne erklären - und ich bin mir sicher, dass du es danach verstehen wirst.
Wie ist ein Vektorraum definiert?
So wie folgt:
Es sei $V$ eine Menge.
A) Es gibt eine Abbbildung:
$+ : [mm] \begin{array}{ccc} V \times V & \to & V \\[5pt] (v,w) & \to & v+w \end{array}$
[/mm]
(auch "Addition" oder "innere Verknüpfung" genannt),
so dass die folgenden Bedingungen gelten:
1) Assoziativität:
Für alle $u,v,w [mm] \in [/mm] V$ gilt:
$(u+v) + w = u + (v+w)$
2) Existenz des Nullvektors:
Es gibt einen Vektor $0 [mm] \in [/mm] V$ mit
$v+0=v$ für alle $v [mm] \in [/mm] V$.
3) Existenz additiver Inverser:
Zu jedem Vektor $v [mm] \in [/mm] V$ gibt es einen Vektor $-v [mm] \in [/mm] V$ mit
$v+(-v)=0$.
4) Kommutativität:
Für alle $u,v [mm] \in [/mm] V$ gilt:
$u+v= v+u$
B) Es gibt eine Abbbildung:
$ [mm] \cdot [/mm] : [mm] \begin{array}{ccc} \IR \times V & \to & V \\[5pt] (\lambda,v) & \to & \lambda \cdot v \end{array}$
[/mm]
(auch "skalare Multiplikation" oder "äußere Verknüpfung" genannt),
so dass die folgenden Bedingungen gelten:
1) Für alle [mm] $\lambda,\mu \in \IR$ [/mm] und alle $v [mm] \in [/mm] V$ gilt:
[mm] $(\lambda [/mm] + [mm] \mu) \cdot [/mm] v = [mm] \lambda \cdot [/mm] v + [mm] \mu \cdot [/mm] v$.
2) Für alle [mm] $\lambda, \mu \in \IR$ [/mm] und alle $v [mm] \in [/mm] V$ gilt:
[mm] $(\lambda\mu) \cdot [/mm] v = [mm] \lambda \cdot (\mu \cdot [/mm] v)$.
3) Für alle $v [mm] \in [/mm] V$ gilt:
$1 [mm] \cdot [/mm] v=v$.
4) Für alle [mm] $\lambda \in \IR$ [/mm] und alle $v,w [mm] \in [/mm] V$ gilt:
[mm] $\lambda \cdot [/mm] (v+w) = [mm] \lambda \cdot [/mm] v + [mm] \lambda \cdot [/mm] w$.
So, das zunächst vorneweg.
Jetzt wollen wir zeigen, dass [mm] $V=D(\IR,\IR)$, [/mm] der Raum der differenzierbaren Funktionen von [mm] $\IR$ [/mm] nach [mm] $\IR$ [/mm] auch ein Vektorraum ist.
Dazu müssen wir uns erst einmal eine Addition
$+ : [mm] \begin{array}{ccc} V \times V & \to & V \\[5pt] (v,w) & \to & v+w \end{array}$
[/mm]
definieren.
Wie machen wir das?
Wir haben zwei differenzierbare Funktionen $f$ und $g$ und sollen sagen, was $f+g$ ist. Hmmh... so viele Möglichkeiten gibt es da nicht. Wir sagen einfach: $f+g$ soll die Funktion sein, die jedem $x$ die Summe von $f(x)$ und $g(x)$ zuordnet, also:
(*) $(f+g)(x):=f(x) + g(x)$ für alle $x [mm] \in \IR$.
[/mm]
Dies ist eine sinnvolle Definition. Denn $(f+g)(x)$ soll eine reelle Zahl sein. Ist es aber: Denn $f(x)$ und $g(x)$ sind reelle Zahlen, also auch $f(x) + g(x)$.
Durch (*) wird also eine Funktion von [mm] $\IR$ [/mm] nach [mm] $\IR$ [/mm] definiert.
Damit scheint alles klar. Aber ![[stop]](/images/smileys/stop.gif "[stop]") ! Wirklich?
Wir müssen uns doch auch fragen, ob die durch (*) definierte Funktion tatsächlich auch in $V$ liegt, d.h. ob sie auch wirklich eine differenzierbare Funktion ist.
Aha!! Und hier kommen die Ableitungsregeln ins Spiel: Diese sagen nämlich:
Wenn $f$ differenzierbar ist und $g$ differenzierbar ist, dann ist auch $f+g$ differenzierbar, wobei $f+g$ durch
$(f+g)(x):= f(x) + g(x)$
definiert ist. (Die Regel sagt dann auch noch aus, dass $(f+g)'$ durch $(f+g)'(x)= f'(x) + g'(x)$ gebildet wird, aber das ist hier irrelevant.)
Der erste Schritt ist also geschafft - puuh! Wir haben eine gültige Addition, also eine gültige innere Verknüpfung gewählt.
Jetzt müssen wir aber schauen, ob auch unsere Regeln gelten!!!
Gilt denn zum Beispiel unser tolles Assoziativgesetz?
Gilt also:
$(f+g) + h = f + (g+h)$
für alle differenzierbaren Funktionen [mm] $f,g,h:\IR \to \IR$?
[/mm]
Aber ja doch! ![[streber]](/images/smileys/streber.gif "[streber]") Wir müssen es nur einfach ausrechnen!
Links steht eine Funktion, nämlich $(f+g)+h$ und rechts steht eine Funktion, nämlich $f+(g+h)$. Was müssen wir tun um herauszufinden, dass beide Funktionen gleich sind?
Wir müssen schauen, dass sie für jedes $x [mm] \in \IR$ [/mm] den gleichen Funktionswert liefern!
Wir müssen also zeigen:
$[(f+g)+h](x) = [f+(g+h)](x)$
für alle $x [mm] \in \IR$.
[/mm]
Dazu nutzen wir unsere Definition aus... aber ... vorher müssen wir uns erst etwas klar machen.
Wir wissen nämlich bereits, dass [mm] $\IR$ [/mm] ein selbst ein Vektorraum ist - mit der ganz "normalen" Addition und der ganz "normalen" Multiplikation. Das dürfen wir voraussetzen, denn das wissen wir... weil wir eben klug sind.
Das bedeutet: Da für alle $x [mm] \in \IR$ [/mm] die Ausdrücke
$f(x)$, $g(x)$ und $h(x)$
reelle Zahlen sind, darf ich für diese bereits die Assoziativität voraussetzen - wir hatten uns ja darauf geeinigt, [mm] $\IR$ [/mm] bereits als Vektorraum anzuerkennen.
Es gilt also für alle $x [mm] \in \IR$:
[/mm]
(**) $(f(x) +g(x)) + h(x) = f(x) + (g(x) + h(x))$,
eben deshalb, weil ausschließlich reelle Zahlen auftauchen.
So, und jetzt zurück zum Problem: Wir wollen:
$[(f+g)+h](x) = [f+(g+h)](x)$
zeigen.
Es gilt aber;
$[(f+g) +h](x)$
$= (f+g)(x) + h(x)$ [Nach Definition unserer Addition, angewandt auf $f+g$ und $h$! Schau es dir
noch einmal an!]
$= (f(x) + g(x)) + h(x)$ [Wieder nach Definition unserer Addition, diesmal auf $f$ und $g$ angewandt)
$= f(x) + (g(x) + h(x))$ [nach (**)]
$= f(x) + (g+h)(x)$ [Nach Definition unserer Addition, rückwärts angewandt auf $g$ und $h$]
$=[f+(g+h)](x)$ [Wieder nach Definition unserer Addition, diesmal rückwärts angewandt auf $f$
und $g+h$].
Dies war aber zu zeigen, denn jetzt haben wir
$(f+g) + h = f + (g+h)$
bewiesen, also die Assoziativität.
Die Nullfunktion ist einfach die Funktion, die alles auf $0$ abbildet:
$0(x):=0$ für alle $x [mm] \in \IR$,
[/mm]
Diese liegt in $V$, da konstante Funktionen differenzierbar sind.
Es gilt:
$f+0=f$
für alle $f [mm] \in [/mm] V$ wegen
$(f+0)(x) = f(x) + 0(x) = f(x) + 0 = f(x)$.
Die zu $f$ additiv inverse Funktion ist:
$(-f)(x):=-f(x)$.
Offenbar ist mit $f$ auch $-f$ differenzierbar, liegt also in $V$. Weiterhin gilt:
$[f+(-f)](x) = f(x) + (-f)(x) = f(x) + (-f(x)) = 0 = 0(x)$,
also:
$f+(-f) =0$.
Damit wäre also auch $3$ gezeigt.
4, die Kommutativität, hat dir ja schon Christiane gezeigt. Schau sie dir jetzt noch einmal an.
Ich gehe jetzt nur noch auf die skalare Multiplikation ein, also die "äußere Verknüpfung".
Gesucht ist eine Abbildung:
$ [mm] \cdot [/mm] : [mm] \begin{array}{ccc} \IR \times V & \to & V \\[5pt] (\lambda,v) & \to & \lambda \cdot v \end{array}$
[/mm]
Wir haben also eine reelle Zahl [mm] $\lambda$ [/mm] und eine differenzierbare Funktion $f$ und sollen erklären, was [mm] $\lambda \cdot [/mm] f$ sein soll.
Hilfe, das soll wieder eine Funktion werden! Und -schlimmer noch- sogar eine differenzierbare!! ![[angst]](/images/smileys/angst.gif "[angst]")
Naja, aber wir haben ja gelernt aus dme Obigen und machen es so ähnlich: Wir definieren es Punkt für Punkt. Will sagen:
Wir nehmen uns ein $x [mm] \in \IR$, [/mm] bilden dann $f(x)$ (das dürfen wir), erhalten damit eine reelle Zahl (nämlich $f(x)$) und multiplizieren die anschließend mit der reellen Zahl [mm] $\lambda$.
[/mm]
Wir definieren also:
[mm] $(\lambda \cdot [/mm] f)(x):= [mm] \lambda \cdot [/mm] f(x)$.
Warum aber ist [mm] $\lambda\cdot [/mm] f$ differenzierbar?
Nun ja, auch das ist eine Ableitungsregel, nämlich die Faktorregel.
Sie sagt aus:
Ist [mm] $f:\IR \to \IR$ [/mm] differenzierbar und [mm] $\lambda \in \IR$, [/mm] dann ist auch [mm] $\lambda \cdot [/mm] f$ differenzierbar, wobei
[mm] $(\lambda \cdot [/mm] f)(x):= [mm] \lambda \cdot [/mm] f(x)$,
und es gilt (das brauchen wir hier nicht):
[mm] $(\lambda \cdot [/mm] f)'(x)= [mm] \lambda \cdot [/mm] f(x)$.
Damit ist gesichert, dass wir auch eine "vernünftige" skalare Multiplikation definiert haben.
Jetzt müssen wir nur noch deren obige Regeln nachweisen.
Schaffst du das?
Okay, ich bin zu weichherzig. Ich mache es dir einmal vor.
Zu zeigen ist bei der ersten Regel, dass für alle [mm] $\lambda,\mu \in \IR$ [/mm] und alle $f [mm] \in [/mm] V$ gilt:
[mm] $(\lambda [/mm] + [mm] \mu) \cdot [/mm] f = [mm] \lambda \cdot [/mm] f + [mm] \mu \cdot [/mm] f$.
Wieder haben wir zwei Funktion: Links steht eine Funktion, rechts steht eine Funktion.
Wir zeigen die Gleichheit so, indem wir zeigen, dass beides Mal der gleiche Wert rauskommt, wenn wir die Funktionen an der Stelle $x$ auswerten.
Nun gilt:
[mm] $[(\lambda [/mm] + [mm] \mu) \cdot [/mm] f](x)$
[mm] $=(\lambda +\mu) \cdot [/mm] f(x)$ [nach Definition der skalaren Multiplikation]
$= [mm] \lambda \cdot [/mm] f(x) + [mm] \mu \cdot [/mm] f(x)$
[da [mm] $\mu$, $\lambda$, [/mm] $f(x)$ alles reelle Zahlen sind und dort diese Regel gilt; denk dran: [mm] $\IR$ [/mm] ist als Vektorraum schon bekannt!]
$= [mm] (\lambda \cdot [/mm] f)(x) + [mm] (\mu \cdot [/mm] f)(x)$ [nach Definition der skalaren Multiplikation]
[mm] $=[\lambda \cdot [/mm] f + [mm] \mu \cdot [/mm] f](x)$ [nach Definition der Addition, angewendet auf die Funktionen
[mm] $\lambda \cdot [/mm] f$ und [mm] $\mu \cdot [/mm] f$]
Das war zu zeigen.
Versuchst du die anderen Regeln jetzt selber mal?
Ist es dir etwas klarer geworden?
Liebe Grüße
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:07 Sa 21.05.2005 | | Autor: | lilly09 |
Vielen Dank, das Ganze ist mir nun schon wesentlich klarer geworden!
Ich habe fast alles verstanden, und das ist wirklich schon eine Leistung. Eine Leistung von demjenigen, der mit das erklären konnte!
Kleine Fragen habe ich noch. Ich weiß, ich werde mich mal wieder an Kleinigkeiten aufhängen, aber bei solchen Dingen hackt es bei mir immer.
Ich hab Verständnisschwierigkeiten bezüglich A) und B):
Was bedeuten die Pfeile?
Und was heißt "von [mm] \IR [/mm] nach [mm] \IR [/mm] "?
Was versteht man unter "normaler" Addition und der "normalen" Multiplikation?
-> Wie ihr seht, bin ich in Mathe eine absolute Null. Mir fehlt das einfachste Grundwissen.
Ich bin froh, dass es hier qualifizierte Leute gibt, die mir so toll helfen! DANKE !
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Hallo!
> Ich habe fast alles verstanden, und das ist wirklich schon
> eine Leistung. Eine Leistung von demjenigen, der mit das
> erklären konnte!
Na herzlichen Glückwunsch, Stefan! 
> Kleine Fragen habe ich noch. Ich weiß, ich werde mich mal
> wieder an Kleinigkeiten aufhängen, aber bei solchen Dingen
> hackt es bei mir immer.
Frag ruhig! Gerade solche Kleinigkeiten können wichtig sein!
> Ich hab Verständnisschwierigkeiten bezüglich A) und B):
> Was bedeuten die Pfeile?
Es wäre nicht schlecht gewesen, wenn du Stefans antwort "zitiert" hättest, dann hätte ich direkt gewusst, worum es geht und hätte direkt darauf eingehen können.
Also, ich muss jetzt leider etwas umständlicher zitieren:
"A) Es gibt eine Abbbildung:
$+ : [mm] \begin{array}{ccc} V \times V & \to & V \\[5pt] (v,w) & \to & v+w \end{array}$
[/mm]
(auch "Addition" oder "innere Verknüpfung" genannt),
so dass die folgenden Bedingungen gelten: "
Also, nehmen wir zuerst mal das "+" ganz links. Das ist der Name für die Abbildung. So wie du sonst meistens schreibst f(x), müsste hier dann quasi +(x) stehen. Allerdings schreibt man das nicht so, sondern die Abbildung "+" benötigt ja immer zwei Argumente. Du kannst also mit der Funktion "+" zwei Elemente bzw. in deinem Fall zwei Funktionen verknüpfen. Und das steht im Prinzip dahinter:
Die Funktion bekommt als Argument, also als x-Wert, ein sogenanntes Tupel, nämlich [mm] V\times [/mm] V. V steht für einen Vektorraum. D. h. ich war eben nicht ganz korrekt, es darf nämlich nicht heißen +(x), sondern es muss heißen +(x,y) - denn die Funktion soll ja die Summe von zwei Elemente, also x+y, definieren. Der Pfeil gibt an, was man als Ergebnis erhält. Vielleicht kennst du auch die Schreibweise von Funktionen:
[mm] x\to x^2 [/mm] oder so ähnlich. Das bedeutet ja auch nur, dass x auf [mm] x^2 [/mm] abgebildet wird.
In diesem Fall hier haben wir aber kein direktes Ergebnis, sondern quasi nur den Raum, aus dem das Ergebnis stammt, nämlich wieder einen Vektorraum.
Das eigentlich wichtige hier dran (es gibt Fälle, wo nicht überall ein Vektorraum steht, oder zwei verschiedene Vektorräume. Das ist dann natürlich auch wichtig, kommt hier ja aber nicht vor) ist, dass wir der Funktion zwei Werte geben, aber nur einen zurückerhalten. Mehr will uns das komische da oben eigenltich gar nicht sagen.
Und die Zeile da drunter sagt eigentlich auch nicht viel mehr, sie sagt das Ganze nur noch einmal für die einzelnen Elemente. Hier ist v nun ein Element aus dem ersten V der Zeile drüber, w ein Element aus dem zweiten V der Zeile drüber (wenn hier zwei verschiedene Vektorräume ständen, dann wäre die Reihenfolge wichtig!), und das Ergebnis schreibt man als v+w und dieses Ergebnis ist ein Element aus dem letzen V der Zeile drüber. Alles klar nun?
> Und was heißt "von [mm]\IR[/mm] nach [mm]\IR[/mm] "?
Ich weiß jetzt leider nicht, wo genau das stand, aber es ist genau das Gleiche, wie mit den V's von gerade. Der Pfeil wird gelesen als "nach". Du hast hier jetzt also eine Abbildung, der du ein Element aus [mm] \IR [/mm] gibst (also diesmal kein Tupel, sondern nur genau ein Element) und auch wieder genau ein Element erhältst.
> Was versteht man unter "normaler" Addition und der
> "normalen" Multiplikation?
Wo stand das denn? Wörter in Anführungsstrichen sind meist keine mathematisch korrekten Ausdrücke, sondern genau das Gegenteil. Nämlich eine Wortschöpfung oder Definitionsgebung des Autors, um eben die Fachsprache wegzulassen, damit der Leser es besser versteht. Scheint hier aber wohl eher nicht der Fall zu sein, was?
Nun ja, Stefan meinte wohl die Addition und die Multiplikation, die du von den "ganz normalen Zahlen" (also den reellen Zahlen) her kennst.
So, ich bin jetzt leider zu müde, den Text hier nochmal komplett durchzulesen (ich hoffe, es hat sich kein schlimmer Fehler eingeschlichen...), und auch zu müde, dir B noch zu erklären. Vielleicht morgen, oder es macht jemand anders.
Viele Grüße
Bastiane
![[banane]](/images/smileys/banane.gif "[banane]")
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:39 Sa 21.05.2005 | | Autor: | lilly09 |
Hi!
Achso, so einfach ist das?
Alles klar, vielen Dank!
Jetzt gibt das Ganze noch mehr Sinn!
Mit der "normalen" Addition usw. hat es irgendetwas auf sich.
Denn ich habe hier eine Aufgabe, da wird danach gefragt, warum die Menge der ganzen Zahlen mit der gewöhnlichen Addition und der gew. Multiplikation kein Vektorraum über der Menge der reellen Zahlen ist.
Also muss da wohl noch etwas Bestimmtes dahinterstecken.
Ich hab mir zu der Aufgabe gedacht, dass dem einfach so ist, weil in der Menge der ganzen Zahlen nicht alle reellen Zahlen enthalten sind und der Vektorraum somit lückenhaft wäre. Aber ich bin mir nicht sicher inwiefern das Atribut "gewöhnlich" in dieser Aufgabe von Bedeutung ist. Deshalb habe ich bei den Ausführungen von Stefan noch mal nachgefragt.
Gruß
Lilly
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:24 So 22.05.2005 | | Autor: | Sigrid |
Hallo Lilly,
> Hi!
>
> Achso, so einfach ist das?
> Alles klar, vielen Dank!
> Jetzt gibt das Ganze noch mehr Sinn!
>
>
> Mit der "normalen" Addition usw. hat es irgendetwas auf
> sich.
>
> Denn ich habe hier eine Aufgabe, da wird danach gefragt,
> warum die Menge der ganzen Zahlen mit der gewöhnlichen
> Addition und der gew. Multiplikation kein Vektorraum über
> der Menge der reellen Zahlen ist.
>
> Also muss da wohl noch etwas Bestimmtes dahinterstecken.
>
> Ich hab mir zu der Aufgabe gedacht, dass dem einfach so
> ist, weil in der Menge der ganzen Zahlen nicht alle reellen
> Zahlen enthalten sind und der Vektorraum somit lückenhaft
> wäre. Aber ich bin mir nicht sicher inwiefern das Atribut
> "gewöhnlich" in dieser Aufgabe von Bedeutung ist. Deshalb
> habe ich bei den Ausführungen von Stefan noch mal
> nachgefragt.
>
Wenn du einen Vektorraum über der Menge der reellen Zahlen hast, muss doch folgendes möglich sein: Du multiplizierst eine Element des Vektorraums mit einer reellen Zahl und erhälst wieder ein Element des Vektorraums.
Wenn du aber z.B. die Zahl 1 (Element der ganzen Zahlen) mit der reellen Zahl 0,5 multiplizierst (die übliche dir bekannte Multiplikation), dann erhälst du 0,5, also keine ganze Zahl. Also kann die Menge der ganzen Zahlen kein Vektorraum (bezüglich der üblichen Addition und Multiplikation) über der Menge der reellen Zahlen sein.
Gruß
Sigrid
>
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:16 So 22.05.2005 | | Autor: | lilly09 |
Hallo!
Ich bin gerade dabei noch mal alles Schritt für Schritt durchzuarbeiten, und bin der Meinung, einen kleinen Fehler gefunden zu haben:
> Es gilt:
>
> [mm]f+0=0[/mm]
muss es nicht heißen : f + 0 = f ?
Ich bin der Meinung ja, denn bei den Axiomen steht es so:
> 2) Existenz des Nullvektors:
>
> Es gibt einen Vektor [mm]0 \in V[/mm] mit
>
> [mm]v+0=v[/mm] für alle [mm]v \in V[/mm].
>
Hm... :-/
Gruß
Lilly
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:31 So 22.05.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo Lilly!
Du hast natürlich Recht!
Da hat sich wohl schlicht und ergreifend ein Tippfehler bei Bastiane Stefan eingeschlichen.
(Ich werde das gleich korrigieren.)
Gruß
Loddar
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