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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:40 Mi 14.11.2007 | | Autor: | H8U |
Welche der angegebenen Mengen [mm] M_i [/mm] (i = 1, . . . , 6) sind [mm] \IR-Unterraeume [/mm] der jeweiligen [mm] \IR-Vektorraeume [/mm] V ? Beweisen Sie ihre Aussagen!
(a)
[mm] V=\IR³, M_1 [/mm] := { [mm] \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} \in \IR³ [/mm] | [mm] x_1 [/mm] + [mm] x_2 [/mm] = a } für festes [mm] a\in \IR
[/mm]
[mm] M_2 [/mm] := { [mm] \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} \in \IR³ [/mm] | [mm] x^2_1 [/mm] + [mm] 4x_2 [/mm] = 0 }
[mm] M_3 [/mm] := { [mm] \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} \in \IR³ [/mm] | [mm] x_1 [/mm] - [mm] x_2 [/mm] = 0 , [mm] x_1,x_3 \ge [/mm] 0}
(b)
V = F( [mm] \IN [/mm] , [mm] \IR [/mm] ) := { [mm] (x_1,x_2,... [/mm] ) | [mm] x_i \in \IR [/mm] für i [mm] \in \IN [/mm] } der Raum der [mm] \IR-Zahlenfolgen [/mm] (mit komponentenweiser Addition und Multiplikation).
[mm] M_4 [/mm] := { [mm] (x_1,x_2,... [/mm] ) | [mm] x_j \not= [/mm] 0 nur für endlich viele j } [mm] \subseteq [/mm] V
[mm] M_5 [/mm] := { [mm] (x_1,x_2,... [/mm] ) | [mm] x_j_+_1 [/mm] = [mm] x_j [/mm] + a für j [mm] \in \IN [/mm] } [mm] \subseteq [/mm] V für festes a [mm] \in \IR
[/mm]
[mm] M_6 [/mm] := { [mm] (x_1,x_2,... [/mm] ) | [mm] \limes_{j\rightarrow\infty} x_j [/mm] existiert nicht } [mm] \subseteq [/mm] V
Wie zeige ich, dass diese Mengen [mm] \IR-Unterraeume [/mm] von V sind? Wie geht man da ran?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo H8U!
Kennst du die Definition von Untervektorraum? Du musst die drei Bedingunden für Untervektorräume nachrechnen! Wenn alle erfüllt sind dann bilden deine Mengen Unterräume der [mm] \IR [/mm] Vektorraums.
Nochmal zur Erinnerung: Sei W der Untervektorraum
1. W [mm] \not= [/mm] leere Menge
2. abgeschlossenehtit gegenüber der Addition
3. abgeschlossenheit gegenüber der multiplikation mir skalaren aus deinem Körper
Gruß
Tyskie
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also bei deinem 2.punkt muss man nun nachweisen, dass m1+m2 in U und -m1 in U liegen, wie weißt man das nach, könntest du das vielleicht einmal an einem beispiel erklären, muss ja keins aus den aufgaben sein....wäre lieb
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:40 Sa 17.11.2007 | | Autor: | Dave11 |
Hi dreaming,
als erstes würde ich mir immer aufschreiben welche Bedingungen erfüllt seien müssen.Also was für Bedingungen müssen erfüllt sein damit es ein Unterraum ist.
U1) [mm] O\in [/mm] U
U2) [mm] u,v\in U\Rightarrow u+v\in [/mm] U
U3) [mm] u\in U,\lambda \in \IR \Rightarrow \lambda*u\in [/mm] U
Da musst du auch im Script nachschlagen.
So ein Beispiel:
Es sei [mm] S:=\begin{Bmatrix}\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}\in \IR^3:x+y=0\end{Bmatrix}.
[/mm]
Unterraum?
Also fängst du an.
Ist die Null drin?
Ja denn wegen 0+0=0 gilt [mm] \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}\in [/mm] S
Punkt 2)
Du nimmst dir zwei vektoren aus S
Seien [mm] u=\begin{pmatrix} u_1 \\ u_2 \\ u_3 \end{pmatrix} ,v=\begin{pmatrix} v_1 \\ v_2 \\ v_3 \end{pmatrix}\in [/mm] S
[mm] \Rightarrow v_1+v_2=0 [/mm] und [mm] u_1+u_2=0
[/mm]
[mm] u+v=\begin{pmatrix} u_1+v_1 \\ u_2+v_2 \\ u_3+v_3 \end{pmatrix},(u_1+v_1)+(u_2+v_2)= (u_1+u_2)+(v_1+v_2)=0+0=0 [/mm]
[mm] \Rightarrow u+v\in [/mm] S
und das gleiche für 3)
Jetzt hast du mal an einem Beispiel gesehen wie das funktioniert.
MFG DAVE
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:46 So 18.11.2007 | | Autor: | dreaming1 |
alles klar, dankeschön, jetzt hab ich das verstanden
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