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| Aufgabe | sei V ein vektorraum der dimension n>=2 über dem körper k, und sei W [mm] \subset [/mm] V ein untervektorraum der dimension n-1. zeigen sie, dass V \ W nicht leer ist.
sei a [mm] \in [/mm] V \ W . zeigen sie, dass wenn [mm] (e_1,...,e_n_-_1) [/mm] eine basis von w ist, dann ist [mm] (e_1,...,e_n_-_1, [/mm] a) eine basis von V.
Finden sie eine lin. Abb. f : V--> k mit ker(f)=W |
zum ersten teil hab ich mir folgendes überlegt:
z.z. V \ W ist leer
V \ W= [mm] \emptyset [/mm] <=> V=W
=> dim(V)=dim(W)
=> n=n-1 das ist ein widerspruch
=> V \ W ist nicht leer!
mein problem ist jetzt im zweiten teil das mit den basen zu zeigen.
ich vermute mal, dass das "a" irgendwas mit der einen dimension zu tun hat, die V größer ist als W.
Dimension bedeutet ja: max. Anzahl linear unabhängiger vektoren.
da die dim. von V um eins größer ist als die von W kann man vielleicht sagen, dass V einen linear unabhängigen Vektor mehr besitzt, nämlich "a".
aber wie schreibt man das in mathematisch 
danke schon mal für die hilfe
ich habe diese frage in keinem anderen forum gestellt
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> sei V ein vektorraum der dimension n>=2 über dem körper k,
> und sei W [mm]\subset[/mm] V ein untervektorraum der dimension n-1.
> zeigen sie, dass V \ W nicht leer ist.
> sei a [mm]\in[/mm] V \ W . zeigen sie, dass wenn [mm](e_1,...,e_n_-_1)[/mm]
> eine basis von w ist, dann ist [mm](e_1,...,e_n_-_1,[/mm] a) eine
> basis von V.
> Finden sie eine lin. Abb. f : V--> k mit ker(f)=W
> zum ersten teil hab ich mir folgendes überlegt:
Hallo,
> z.z. V \ W ist leer
das stimmt ja nicht. Du willst doch zeigen, daß V \ W nichtleer ist.
Also:
zu zeigen: V \ W ist nichtleer.
Beweis (durch Widerspruch):
Angenommen
> V \ W= [mm]\emptyset[/mm] <=> V=W
Diese Folgerung stimmt nicht.
Es ist [mm] \IN [/mm] \ [mm] \IR [/mm] auch leer, aber die Mengen sind nicht gleich.
Vorschlag: nimm eine Basis von W und ergänze sie zu einer Basis von V.
> => dim(V)=dim(W)
> => n=n-1 das ist ein
> widerspruch
> => V \ W ist nicht leer!
>
> mein problem ist jetzt im zweiten teil das mit den basen
> zu zeigen.
> ich vermute mal, dass das "a" irgendwas mit der einen
> dimension zu tun hat, die V größer ist als W.
Ja. ziemlich viel. Daß es solch einen Vektor gibt, der in V \ W liegt, sollte ja zuvor gezeigt werden.
> Dimension bedeutet ja: max. Anzahl linear unabhängiger
> vektoren.
> da die dim. von V um eins größer ist als die von W kann
> man vielleicht sagen, dass V einen linear unabhängigen
> Vektor mehr besitzt, nämlich "a".
>
> aber wie schreibt man das in mathematisch
Besinne Dich, wie Ihr lineare Unabhängigkeit definiert habt.
Zeige, daß die triviale Linearkombination die einzige ist, bei der Null herauskommt.
Gruß v. Angela
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hi,
ich versteh nicht warum der erste teil mit V \ W nicht leer so nicht stimmt.
W ist doch ein untervektorraumvon V, und wenn die V ohne W nur die leere Menge enthält kann man doch daraus schließen, dass V und W gleich sind, oder? ich versteh nich wo da mein denkfehler ist.
vielleicht kann mir da einer auf die sprünge helfen.
danke,
gruß chris
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> hi,
> ich versteh nicht warum der erste teil mit V \ W nicht
> leer so nicht stimmt.
> W ist doch ein untervektorraumvon V, und wenn die V ohne W
> nur die leere Menge enthält kann man doch daraus schließen,
> dass V und W gleich sind, oder? ich versteh nich wo da mein
> denkfehler ist.
Hallo,
ich hatte Dir doch bereits im ersten Post ein Beispiel geliefert, bei dem man so nicht folgern kann...
Gruß v. Angela
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das beispiel hab ich schon verstanden, aber [mm] \IR [/mm] ist doch kein Untervektorraum von [mm] \IN [/mm] !
deswegen dachte ich, dass dieses beispiel nicht auf mein problem passt
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> das beispiel hab ich schon verstanden, aber [mm]\IR[/mm] ist doch
> kein Untervektorraum von [mm]\IN[/mm] !
> deswegen dachte ich, dass dieses beispiel nicht auf mein
> problem passt
Hallo,
das Beispiel paßt nicht auf das zu bearbeitende Problem, das ist richtig.
Das Beispiel paßt aber dazu, daß Deine Argumentation nicht stimmt.
Wenn Du schreibst "V \ W [mm] =\emptyset" [/mm] ==> V=W,
verwendest Du unausgesprochen (!!!) einige Informationen über die Mengen V und W. Das darf nicht sein.
Es fehlt die Argumentation dafür, daß die Mengen gleich sind.
(Daran, daß die Aussage unter den gegebenen Voraussetzungen stimmt, habe ich keinerlei Zweifel. )
Gruß v. Angela
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