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| Aufgabe | Seien U1, U2 zwei Untervektorräume von V . Zeigen Sie:
Der Schnitt U1 [mm] \cap [/mm] U2 ist ein Untervektorraum von V.
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Muss man das in Formeln packen?
Ich mein, man geht doch davon aus, dass [mm] U1\subseteq [/mm] V ist und das U2 [mm] \subseteq [/mm] von V ist.
Dann ist doch auch die Schnittmenge aus V.
Oder geht das auch kompliziert in einer Formel?
Danke schön!!!!
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> Seien U1, U2 zwei Untervektorräume von V . Zeigen Sie:
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> Der Schnitt U1 [mm]\cap[/mm] U2 ist ein Untervektorraum von V.
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> Muss man das in Formeln packen?
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> Ich mein, man geht doch davon aus, dass [mm]U1\subseteq[/mm] V ist
> und das U2 [mm]\subseteq[/mm] von V ist.
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> Dann ist doch auch die Schnittmenge aus V.
Hallo,
daß die Schnittmenge eine Teilmenge von V ist, ist hier wahrlich nicht so atemberaubend, das hast Du richtig erkannt.
Nicht erkannt hast Du allerdings, was in dieser Aufgabe zu zeigen ist: hier geht es nicht um die Teilmengenbeziehung, sondern darum, daß der Schnitt ein Untervektorraum ist. Und diese Aussage ist um Klassen aufregender. (Für die Vereinigung gilt sie nämlich i.d.R. nicht.)
Was zu tun ist:
Kläre, was ein Untervektorraum ist.
Mach Dir klar, was hierfür zu zeigen ist. (Stichwort: Unterraumkriterien)
Tu's.
Gruß v. Angela
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Okay, das heißt dann doch folgendes:
Ich muss die 3 Unterraumkriterien erfüllen:
1. 0 [mm] \in [/mm] U bzw. U [mm] \not= \emptyset
[/mm]
2. wenn x, y $ [mm] \in [/mm] $ U, dann muss x + y $ [mm] \in [/mm] $ U sein.
3. $ [mm] \lambda \in [/mm] $ K; x $ [mm] \in [/mm] $ U, dann muss $ [mm] \lambda [/mm] $ * x auch $ [mm] \in [/mm] $ U sein.
So,
jetzt das Ganze mal auf unsere Aufgabe projeziert.
Ich muss doch sagen:
1. (0∈U ∧ 0∈V) => 0∈ [mm] U_{1} \cap U_{2}
[/mm]
2. Wenn x,y [mm] \in U_{1} \cap U_{2} \Rightarrow [/mm] x,y [mm] \in U_{1} \wedge [/mm] x,y [mm] \in U_{2}
[/mm]
[mm] U_{1} [/mm] und [mm] U_{2} [/mm] sind beides Untervektorräume von V.
Das heißt dass x+y [mm] \in U_{1} \wedge [/mm] x+y [mm] \in U_{2}
[/mm]
Und wie gehts hier weiter?
3. Wenn x [mm] \in U_{1} \cap U_{2} [/mm] dann muss auch [mm] \lambda [/mm] * x in [mm] U_{1} \cap U_{2} [/mm] sein.
Wie überprüfe ich das?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:56 Do 20.11.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
Das geht entsprechend wie in 2
Gruss leduart
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War denn 2. soweit richtig und vollständig?
LG
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:06 Do 20.11.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
Ja , ist richtig, es fehlt vielleicht der Schlusssatz und deshalb auch x+y in U1 [mm] \cap [/mm] U2.
Gruss leduart
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