Vektorräume < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:50 Do 15.10.2009 | | Autor: | BBBold |
| Aufgabe | Welche der folgenden Mengen V sind Vektorräume? Welche
nicht? Beweisen Sie ihre Behauptung!
(1) Sei A eine m×n Matrix mit Einträgen in K (K ist ein Körper). Wir definieren V durch
V := [mm] \{X \in n x m Matrizen | AX = 0 \},
[/mm]
mit der üblichen Addition und skalaren Multiplikation für m × n Matrizen und K.
(2) Seien V := [mm] \IR [/mm] und K := [mm] \IR, [/mm] mit der üblichen skalaren Multiplikation und der Addition
von Vektoren definiert durch
a + b = [a + b].
Hier ist [ x ] die großte ganze Zahl n [mm] \in [/mm] Z mit n [mm] \le [/mm] x.
(3) Sei V := [mm] \{(x_{1}, x_{2}, x_{3}) \in \IQ^{3} | x_{3} = x_{1} + 3x_{2}\}, [/mm] K = [mm] \IQ, [/mm] mit der üblichen Addition und skalaren Multiplikation.
(4) Seien K := R, V := R mit der üblichen skalaren Multiplikation und mit der Addition von Vektoren definiert durch
a + b := ab.
Hier ist ab die übliche Multiplikation in [mm] \IR. [/mm] |
Hallo,
ich versuche grade mein LA-Übungsblatt zu bearbeiten. Ich habe Schwierigkeiten dabei, bei (1) herauszufinden, mit welchen Variablen ich die Vektorraumaxiome durchgehen soll.
Wäre das im ersten Fall beispielsweise sowas:
Kommutativität bzgl Addition:
m + n = n + m
Assoziativität bzgl Addition:
m+(n+o) = (m+n)+o?
Mir fehlt ein richtiger Ansatz.
Vielen Dank für hilfreiche Beiträge im Voraus.
LG, Güzel
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:24 Do 15.10.2009 | | Autor: | fred97 |
> Welche der folgenden Mengen V sind Vektorräume? Welche
> nicht? Beweisen Sie ihre Behauptung!
>
> (1) Sei A eine m×n Matrix mit Einträgen in K (K ist ein
> Körper). Wir definieren V durch
> V := [mm]\{X \in n x m Matrizen | AX = 0 \},[/mm]
>
> mit der üblichen Addition und skalaren Multiplikation für
> m × n Matrizen und K.
>
> (2) Seien V := [mm]\IR[/mm] und K := [mm]\IR,[/mm] mit der üblichen skalaren
> Multiplikation und der Addition
> von Vektoren definiert durch
> a + b = [a + b].
> Hier ist [ x ] die großte ganze Zahl n [mm]\in[/mm] Z mit n [mm]\le[/mm]
> x.
>
> (3) Sei V := [mm]\{(x_{1}, x_{2}, x_{3}) \in \IQ^{3} | x_{3} = x_{1} + 3x_{2}\},[/mm]
> K = [mm]\IQ,[/mm] mit der üblichen Addition und skalaren
> Multiplikation.
>
> (4) Seien K := R, V := R mit der üblichen skalaren
> Multiplikation und mit der Addition von Vektoren definiert
> durch
> a + b := ab.
>
> Hier ist ab die übliche Multiplikation in [mm]\IR.[/mm]
> Hallo,
>
> ich versuche grade mein LA-Übungsblatt zu bearbeiten. Ich
> habe Schwierigkeiten dabei, bei (1) herauszufinden, mit
> welchen Variablen ich die Vektorraumaxiome durchgehen soll.
>
> Wäre das im ersten Fall beispielsweise sowas:
>
> Kommutativität bzgl Addition:
> m + n = n + m
Bei 1) brauchst Du das nicht nachweisen , denn V besteht aus nxm - Matrizen und bei solchen Matrizen ist die Addition kommutativ
> Assoziativität bzgl Addition:
> m+(n+o) = (m+n)+o?
Wie oben.
>
> Mir fehlt ein richtiger Ansatz.
V ist doch eine Teilmenge des Vektorraumes M aller nxm - Matrizen.
Dann: V ist ein Vektorraum [mm] \gdw [/mm] V ist ein Untervektorraum von M.
Prüfe also folgendes nach:
1. Ist die Nullmatrix in V ?
2. Sind [mm] X_1 [/mm] , [mm] X_2 \in [/mm] V und sind s, t [mm] \in [/mm] K , ist dann [mm] sX_1+tX_2 \in [/mm] V ?
FRED
>
> Vielen Dank für hilfreiche Beiträge im Voraus.
>
> LG, Güzel
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:57 Do 15.10.2009 | | Autor: | BBBold |
> Bei 1) brauchst Du das nicht nachweisen , denn V besteht
> aus nxm - Matrizen und bei solchen Matrizen ist die
> Addition kommutativ
>
>
>
> > Assoziativität bzgl Addition:
> > m+(n+o) = (m+n)+o?
>
> Wie oben.
Hallo danke für die schnelle Antwort.
Darf ich dann also ohne weitere mathematische erläuterung sagen, dass, eben weil V aus nxm-Matrizen besteht, die Assoziativität und Kommutativität gilt?
> V ist doch eine Teilmenge des Vektorraumes M aller nxm -
> Matrizen.
>
> Dann: V ist ein Vektorraum [mm]\gdw[/mm] V ist ein Untervektorraum
> von M.
>
>
> Prüfe also folgendes nach:
>
> 1. Ist die Nullmatrix in V ?
Das bedeutet, ist das neutrale Element der Addition in V?
> 2. Sind [mm]X_1[/mm] , [mm]X_2 \in[/mm] V und sind s, t [mm]\in[/mm] K , ist dann
> [mm]sX_1+tX_2 \in[/mm] V ?
Das scheint die Distributivität zu sein, ist das richtig?
Und die gilt doch.
Mich verwirrt, dass AX = 0 sein muss. Worauf muss ich hierbei eigentlich achten?
Vielen Dank nochmal für die Hilfe!
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Hallo,
in (1) sind die Elemente Deiner Menge V spezielle nxm-Matrizen,
nämlich diejenigen Matrizen X, für die das Produkt mit einer fest vorgegebenen mxn-Matrix A die Nullmatrix ergibt.
Die betrachteten Verknüpfungen (diese gehören zu einem VR immer dazu) sind die "normale" Addition von Matrizen und die Multiplikation von Elementen aus K mit Matrizen.
Sollst Du nun zeigen, daß es sich hierbei um einen VR über K handelt, so sind im Prinzip alle VR-Axiome nacheinander abzuhandeln - natürlich darfst Du darauf zurückgereifen, was Du schon in der Vorlesung über Matrizen gelernt hast.
Zunächst mal ist zu überprüfen, ob für [mm] X,Y\in [/mm] V die Summe X+Y auch in V liegt.
Wie stellst Du fest, ob eine Matrix in V liegt? Multiplizierst Du A von links damit, dann muß die Nullmatrix herauskommen.
Gucken wir also nach, ob das stimmt:
Seien [mm] X,Y\in [/mm] V. Dann ist AX=0 und AY=0.
Es ist A(X+Y)= ???, also?
Nun mußt Du die Axiome zeigen, die mit der Addition zusammenhängen, also assoziativ, kommutativ, neutrales und inverses Element.
Assoziativität und Kommutativität kennst Du aus der Vorlesung, das neutrale Element auch - aber Du mußt prüfen, ob es wirklich in V liegt.
Auch das inverse zu einer jeden Matrix bzgl. + sollte Dir bekannt sein, nachschauen mußt Du wieder, ob es in V ist.
Es schließen sich an die Axiome zur Multiplikation mit Skalaren.
Zunächst mußt Du feststellen, ob für jedes [mm] \lambda\in [/mm] K und für jedes X [mm] \in [/mm] V [mm] \lambda [/mm] X auch in V ist, ob also [mm] A(\lambdaX)=0 [/mm] gilt.
Danach sind dann die Gesetze
I: [mm] \alpha [/mm] * [mm] (\beta [/mm] * X) = [mm] (\alpha \cdot \beta) [/mm] * X
IIa: α * (X + Y) = α * X + α * Y
IIb: (α + β) * X= α * X + β * X,
sowie die Neutralität der 1 (als Einselement) des Körpers K
III: 1 * X = X
zu prüfen für alle [mm] \alpha, \beta \in [/mm] K und [mm] X,Y\in [/mm] V.
Auch hier darfst Du wieder verwenden, was Du über das Rechnen mit Matrizen gelernt hast.
---
Da ganze kann man abkürzen. Da V eine Teilmenge des VRes der n+m-Matrizen über K ist, genügt es, die drei Unterraumkriterien zu zeigen - sofern "Unterraum" bereits dran war.
Dann beschränkt sich die Untersuchung darauf,
ob die Nullmatrix in V liegt,
ob für [mm] X,Y\in [/mm] V die Summe X+Y auch in V liegt,
ob für jedes X [mm] \in [/mm] V [mm] \lambda [/mm] X auch in V ist.
Die letzten beiden Bedingungen hatte fred zu einer zusammengefaßt:
> > 2. Sind [mm]X_1[/mm] , [mm]X_2 \in[/mm] V und sind s, t [mm]\in[/mm] K , ist dann
> > [mm]sX_1+tX_2 \in[/mm] V ?
> Das scheint die Distributivität zu sein, ist das
> richtig?
Nein, die Distributivität sind IIa und IIb.
Hier geht es darum, daß Du mit Deinen Verknüpfungen wieder Elemente aus V erhältst und nicht etwa über die Menge V "hinausschießt".
> Und die gilt doch.
>
> Mich verwirrt, dass AX = 0 sein muss. Worauf muss ich
> hierbei eigentlich achten?
>
> Vielen Dank nochmal für die Hilfe!
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:25 Do 15.10.2009 | | Autor: | together |
Hallo zusammen,
ich habe die gleiche Aufgabe und komme leider auch nicht weiter.
Da ich neu bin, hoffe ich, dass ich alles korrekt angebe und eintrage....
>
> Zunächst mal ist zu überprüfen, ob für [mm]X,Y\in[/mm] V die
> Summe X+Y auch in V liegt.
> Wie stellst Du fest, ob eine Matrix in V liegt?
> Multiplizierst Du A von links damit, dann muß die
> Nullmatrix herauskommen.
> Gucken wir also nach, ob das stimmt:
>
> Seien [mm]X,Y\in[/mm] V. Dann ist AX=0 und AY=0.
>
> Es ist A(X+Y)= ???, also?
A(X+Y)=AX+AY=0+0=0 ==> A(X+Y) [mm] \in [/mm] V
Stimmt das so?
>
> Nun mußt Du die Axiome zeigen, die mit der Addition
> zusammenhängen, also assoziativ, kommutativ, neutrales und
> inverses Element.
>
> Assoziativität und Kommutativität kennst Du aus der
> Vorlesung, das neutrale Element auch - aber Du mußt
> prüfen, ob es wirklich in V liegt.
>
> Auch das inverse zu einer jeden Matrix bzgl. + sollte Dir
> bekannt sein, nachschauen mußt Du wieder, ob es in V ist.
>
WIe genau zeige ich, dass es in V liegt? Nehme ich nicht einfach an, dass X, Y \ V?? Oder muss X=0 und Y=0, oder ist das ein totaler Denkfehler?
> Es schließen sich an die Axiome zur Multiplikation mit
> Skalaren.
>
Vielen Dank und herzliche Grüße
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Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
> >
> > Zunächst mal ist zu überprüfen, ob für [mm]X,Y\in[/mm] V die
> > Summe X+Y auch in V liegt.
> > Wie stellst Du fest, ob eine Matrix in V liegt?
> > Multiplizierst Du A von links damit, dann muß die
> > Nullmatrix herauskommen.
> > Gucken wir also nach, ob das stimmt:
> >
> > Seien [mm]X,Y\in[/mm] V. Dann ist AX=0 und AY=0.
> >
> > Es ist A(X+Y)= ???, also?
>
> A(X+Y)=AX+AY=0+0=0 ==> A(X+Y) [mm]\in[/mm] V
>
> Stimmt das so?
Fast: es folgt [mm] (X+Y)\in [/mm] V.
>
> >
> > Nun mußt Du die Axiome zeigen, die mit der Addition
> > zusammenhängen, also assoziativ, kommutativ, neutrales und
> > inverses Element.
> >
> > Assoziativität und Kommutativität kennst Du aus der
> > Vorlesung, das neutrale Element auch - aber Du mußt
> > prüfen, ob es wirklich in V liegt.
> >
> > Auch das inverse zu einer jeden Matrix bzgl. + sollte Dir
> > bekannt sein, nachschauen mußt Du wieder, ob es in V ist.
> >
>
> WIe genau zeige ich, dass es in V liegt? Nehme ich nicht
> einfach an, dass X, Y \ V?? Oder muss X=0 und Y=0, oder ist
> das ein totaler Denkfehler?
Zum Inversen: Du mußt ja zeigen, daß jedes [mm] X\in [/mm] V ein Inverses bzgl. + hat.
Nun, Du weißt sicher schon, daß zu [mm] X=(x_i_k) [/mm] die Matrix [mm] -X=(-x_i_k) [/mm] das Inverse ist.
Nun mußt Du nachschauen, ob A*(-X) die Nullmatrix ergibt. Wenn ja, dann liegt -X in V.
Gruß v. Angela
>
> > Es schließen sich an die Axiome zur Multiplikation mit
> > Skalaren.
> >
> Vielen Dank und herzliche Grüße
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:21 Do 15.10.2009 | | Autor: | together |
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> Hallo,
>
> .
>
> > >
> > > Zunächst mal ist zu überprüfen, ob für [mm]X,Y\in[/mm] V die
> > > Summe X+Y auch in V liegt.
> > > Wie stellst Du fest, ob eine Matrix in V liegt?
> > > Multiplizierst Du A von links damit, dann muß die
> > > Nullmatrix herauskommen.
> > > Gucken wir also nach, ob das stimmt:
> > >
> > > Seien [mm]X,Y\in[/mm] V. Dann ist AX=0 und AY=0.
> > >
> > > Es ist A(X+Y)= ???, also?
> >
> > A(X+Y)=AX+AY=0+0=0 ==> A(X+Y) [mm]\in[/mm] V
> >
> > Stimmt das so?
>
> Fast: es folgt [mm](X+Y)\in[/mm] V.
Danke!
>
> >
> > >
> > > Nun mußt Du die Axiome zeigen, die mit der Addition
> > > zusammenhängen, also assoziativ, kommutativ, neutrales und
> > > inverses Element.
kommutativ:
reicht hier zu sagen:
AX+AY=AY+AX=0+0=0 (Axiom1)???
Oder sogar X+Y=Y+X??
assoziativ:
reicht hier zu sagen: (X+Y)+Z=X+(Y+Z) (Axiom2)???
> > >
> > > Assoziativität und Kommutativität kennst Du aus der
> > > Vorlesung, das neutrale Element auch - aber Du mußt
> > > prüfen, ob es wirklich in V liegt.
> > >
> > > Auch das inverse zu einer jeden Matrix bzgl. + sollte Dir
> > > bekannt sein, nachschauen mußt Du wieder, ob es in V ist.
> > >
> >
> > WIe genau zeige ich, dass es in V liegt? Nehme ich nicht
> > einfach an, dass X, Y \ V?? Oder muss X=0 und Y=0, oder ist
> > das ein totaler Denkfehler?
>
> Zum Inversen: Du mußt ja zeigen, daß jedes [mm]X\in[/mm] V ein
> Inverses bzgl. + hat.
>
> Nun, Du weißt sicher schon, daß zu [mm]X=(x_i_k)[/mm] die Matrix
> [mm]-X=(-x_i_k)[/mm] das Inverse ist.
>
> Nun mußt Du nachschauen, ob A*(-X) die Nullmatrix ergibt.
> Wenn ja, dann liegt -X in V.
also:
AX=0
z. z. AX+A(-X)=0
0+A(-X)=0-AX=0-0=0
es folgt -X [mm] \in [/mm] V???
Grüße
>
> Gruß v. Angela
>
> >
> > > Es schließen sich an die Axiome zur Multiplikation mit
> > > Skalaren.
> > >
> > Vielen Dank und herzliche Grüße
>
Über DEnkanstöße bei der Multiplikation bin ich auch dankbar!
ISt mein erster Beweis und da ist alles sehr sehr holprig....
Muss da die Multiplikation mit Lambda wieder den Nullmatrix ergeben?
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 07:24 Fr 16.10.2009 | | Autor: | together |
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> > Hallo,
> >
> > .
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> > > >
> > > > Zunächst mal ist zu überprüfen, ob für [mm]X,Y\in[/mm] V die
> > > > Summe X+Y auch in V liegt.
> > > > Wie stellst Du fest, ob eine Matrix in V liegt?
> > > > Multiplizierst Du A von links damit, dann muß die
> > > > Nullmatrix herauskommen.
> > > > Gucken wir also nach, ob das stimmt:
> > > >
> > > > Seien [mm]X,Y\in[/mm] V. Dann ist AX=0 und AY=0.
> > > >
> > > > Es ist A(X+Y)= ???, also?
> > >
> > > A(X+Y)=AX+AY=0+0=0 ==> A(X+Y) [mm]\in[/mm] V
> > >
> > > Stimmt das so?
> >
> > Fast: es folgt [mm](X+Y)\in[/mm] V.
>
> Danke!
>
> >
> > >
> > > >
> > > > Nun mußt Du die Axiome zeigen, die mit der Addition
> > > > zusammenhängen, also assoziativ, kommutativ, neutrales und
> > > > inverses Element.
>
> kommutativ:
>
> reicht hier zu sagen:
> AX+AY=AY+AX=0+0=0 (Axiom1)???
>
> Oder sogar X+Y=Y+X??
>
> assoziativ:
>
> reicht hier zu sagen: (X+Y)+Z=X+(Y+Z) (Axiom2)???
>
>
>
> > > >
> > > > Assoziativität und Kommutativität kennst Du aus der
> > > > Vorlesung, das neutrale Element auch - aber Du mußt
> > > > prüfen, ob es wirklich in V liegt.
> > > >
> > > > Auch das inverse zu einer jeden Matrix bzgl. + sollte Dir
> > > > bekannt sein, nachschauen mußt Du wieder, ob es in V ist.
> > > >
> > >
> > > WIe genau zeige ich, dass es in V liegt? Nehme ich nicht
> > > einfach an, dass X, Y \ V?? Oder muss X=0 und Y=0, oder ist
> > > das ein totaler Denkfehler?
> >
> > Zum Inversen: Du mußt ja zeigen, daß jedes [mm]X\in[/mm] V ein
> > Inverses bzgl. + hat.
> >
> > Nun, Du weißt sicher schon, daß zu [mm]X=(x_i_k)[/mm] die Matrix
> > [mm]-X=(-x_i_k)[/mm] das Inverse ist.
> >
> > Nun mußt Du nachschauen, ob A*(-X) die Nullmatrix ergibt.
> > Wenn ja, dann liegt -X in V.
>
> also:
> AX=0
> z. z. AX+A(-X)=0
> 0+A(-X)=0-AX=0-0=0
> es folgt -X [mm]\in[/mm] V???
>
> Grüße
> >
> > Gruß v. Angela
> >
> > >
> > > > Es schließen sich an die Axiome zur Multiplikation mit
> > > > Skalaren.
> > > >
> > > Vielen Dank und herzliche Grüße
> >
>
>
> Über DEnkanstöße bei der Multiplikation bin ich auch
> dankbar!
>
> ISt mein erster Beweis und da ist alles sehr sehr
> holprig....
>
> Muss da die Multiplikation mit Lambda wieder den
> Nullmatrix ergeben?
Kann mir hier jemand noch einen Denkanstoß geben und gucken ob meine vorigen Ansätze richtig sind?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 11:46 Fr 16.10.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
1. Loesch doch in den neuen posts die Zetate, die erledigt sind.
du willst zeigen wenn [mm] X\in [/mm] V dann auch r*X in V
also Beh: A*r*X=0 jetzt regeln der Matrixmult.
[mm] a_{ik}*r*{x_jl}=r*a_{ik}*{x_jl}
[/mm]
deshalb A*r*X=r*A*X=0
Du musst eben immer Zeigen, dass A*behaupteter Vektor=0
Gruss leduart
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:14 Do 15.10.2009 | | Autor: | BBBold |
> Seien [mm]X,Y\in[/mm] V. Dann ist AX=0 und AY=0.
>
> Es ist A(X+Y)= ???, also?
A(X+Y) = AX + AY = 0. Was habe ich damit gezeigt?
Dass A(X+Y) in V ist? Wenn ja, was bringt mir das jetzt?
> I: [mm] \alpha[/mm] * [mm](\beta[/mm] * X) = [mm](\alpha \cdot \beta)[/mm] * X
Kannst du mir hierbei bitte einen Ansatz angeben?
> IIa: α * (X + Y) = α * X + α * Y
Für meinen Fall: a * (X + Y) = a * X + a * Y = 0 + 0 = 0, also gilt die Distributivität?
> IIb: (α + β) * X= α * X + β * X,
analog zu IIa?
> sowie die Neutralität der 1 (als Einselement) des
> Körpers K
> III: 1 * X = X
1*X = X gilt auch.
>
> zu prüfen für alle [mm]\alpha, \beta \in[/mm] K und [mm]X,Y\in[/mm] V.
Vielen Dank für die nette Hilfe Angela!
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 06:48 Fr 16.10.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> > Seien [mm]X,Y\in[/mm] V. Dann ist AX=0 und AY=0.
> >
> > Es ist A(X+Y)= ???, also?
>
> A(X+Y) = AX + AY = 0. Was habe ich damit gezeigt?
> Dass A(X+Y) in V ist? Wenn ja, was bringt mir das jetzt?
Na, es gilt doch $A Z = 0 [mm] \Leftrightarrow [/mm] Z [mm] \in [/mm] V$. Also gilt $A (X + Y) = 0 [mm] \Leftrigtarrow [/mm] X + Y [mm] \in [/mm] V$. Damit hast du gezeigt, dass $X + Y [mm] \in [/mm] V$ ist.
> > I: [mm] \alpha[/mm] * [mm](\beta[/mm] * X) = [mm](\alpha \cdot \beta)[/mm] * X
> Kannst du mir hierbei bitte einen Ansatz angeben?
Nimm eine Matrix $X$ mit $A X = 0$, einen Skalar [mm] $\alpha$ [/mm] und einen Skalar [mm] $\beta$. [/mm] Schreib hin, was du zeigen musst. Dann rechne los. (Wenn ihr keine passenden Rechenregeln habt: schreibe $A = [mm] (a_{ij})_{ij}$ [/mm] und rechne es von Hand nach.)
> > IIa: α * (X + Y) = α * X + α * Y
> Für meinen Fall: a * (X + Y) = a * X + a * Y = 0 + 0 = 0,
> also gilt die Distributivität?
Wieso ist $a X = 0$ und $a Y = 0$? Du verwechselst wohl $a$ mit $A$...
> > IIb: (α + β) * X= α * X + β * X,
> analog zu IIa?
Ja.
> > sowie die Neutralität der 1 (als Einselement) des
> > Körpers K
> > III: 1 * X = X
> 1*X = X gilt auch.
Ja.
LG Felix
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Bei (1) und (3) arbeitest du mit Matrizen/Vektoren und Matrizen-/Vektor-Operationen, die bereits Elemente eines (übergeordneten) Vektorraumes sind. Deshalb brauchst du von den Eigenschaften des Vektorraumes nur nachzuweisen, dass die "speziell ausgesuchten" Matrizen/Vektoren und ihre Vielfachen eine abgeschlossene Menge bilden. Also [mm] x\in [/mm] V und y [mm] \in [/mm] V [mm] \Rightarrow [/mm] x+y [mm] \in [/mm] V und k*x [mm] \in [/mm] V.
Bei (1) kannst du nachweisen, dass die Addition nicht mal assoziativ ist (nimm 3,7+3,7+3,1).
Bei (4) m usst du schon mal die 0 aus [mm] \IR [/mm] entfernen, weil sie kein Inverses hat (wie heißt das Neutrale Element?); Das Skalarprodukt klappt dann aber trotzdem nicht...
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