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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:55 Do 15.11.2012 | | Autor: | Moone |
| Aufgabe | Sei V:={f|f: [mm] \IR \to \IR [/mm] ist eine Abbildung}.
a) Zeige, dass V mit der punktweisen Addition und Skalarmultiplikation, d.h. mit der Verknüpfung f + g : [mm] \IR \to \IR [/mm] x [mm] \mapsto [/mm] f(x) + g(x) und [mm] \lambda [/mm] * f : [mm] \IR \to \IR, [/mm] x [mm] \mapsto \lambda [/mm] * f(x), zu einen Vektorraum über [mm] \IR [/mm] wird. |
Die Aufgabe habe ich zu lösen, um zu zeigen das V ein Vektorraum ist, muss ich die Vektorraumaxiome beweisen. die sind bei uns so definiert
(i)(V,+) ist eine Abelsche Gruppe, mit neutralem Element [mm] \vec{0} \in [/mm] V
(ii)Distributivgestezt
(iii) Assoziativgestezt
(iv) Es gilt 1 * v = v für alle v [mm] \in [/mm] V .
Fang ich also mal mit (i) an
Ich muss also die Kommutativität zeigen, da beginnt mein Problem, kann ich sagen, dass f(x), g(x) [mm] \in \IR [/mm] sind, somit gilt f(x) + g(x) = g(x) + f(x) da [mm] (\IR,+) [/mm] eine abelsche gruppe ist? Oder muss ich da anders vorgehen?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:10 Do 15.11.2012 | | Autor: | tobit09 |
Hallo Moone,
> Die Aufgabe habe ich zu lösen, um zu zeigen das V ein
> Vektorraum ist, muss ich die Vektorraumaxiome beweisen. die
> sind bei uns so definiert
>
> (i)(V,+) ist eine Abelsche Gruppe, mit neutralem Element
> [mm]\vec{0} \in[/mm] V
> (ii)Distributivgestezt
> (iii) Assoziativgestezt
> (iv) Es gilt 1 * v = v für alle v [mm]\in[/mm] V .
Es sind sogar zwei Distributivgesetze zu verifizieren.
> Fang ich also mal mit (i) an
> Ich muss also die Kommutativität zeigen, da beginnt mein
> Problem, kann ich sagen, dass f(x), g(x) [mm]\in \IR[/mm] sind,
> somit gilt f(x) + g(x) = g(x) + f(x) da [mm](\IR,+)[/mm] eine
> abelsche gruppe ist? Oder muss ich da anders vorgehen?
Im Kern stimmt das.
Zu zeigen ist, dass für alle [mm] $f,g\in [/mm] V$ gilt: $f+g=g+f$, d.h. $(f+g)(x)=(g+f)(x)$ für alle [mm] $x\in\IR$.
[/mm]
Also nehmen wir uns solche [mm] $f,g\in [/mm] V$ her und erhalten für alle [mm] $x\in\IR$
[/mm]
$(f+g)(x)=f(x)+g(x)=g(x)+f(x)=(g+f)(x)$,
was zu zeigen war.
Das mittlere Gleichheitszeichen hast du schon begründet. Sind dir auch die Begründung für die erste und die letzte Gleichheit klar?
Viele Grüße
Tobias
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:45 Do 15.11.2012 | | Autor: | Moone |
> Das mittlere Gleichheitszeichen hast du schon begründet.
> Sind dir auch die Begründung für die erste und die letzte
> Gleichheit klar?
Ja ich denke schon, die beiden ergeben sich aus Aufgabenstellung. In dem Stil kann ich die Assoziativität und Distributivität zeigen, nicht ganz klar ist mir wie ich beim neutralen Element vorgehen soll:
Man nehme ein beliebiges f [mm] \in [/mm] V für dieses gilt f(x)+0 =f(x), da [mm] \IR [/mm] ein Körper ist und 0 das neutrale Element von [mm] \IR [/mm] ist, und da f(x) [mm] \in \IR [/mm] muss auch 0 das neutrale element von f(x) sein stimmt das so?
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Hallo Moone,
> > Das mittlere Gleichheitszeichen hast du schon begründet.
> > Sind dir auch die Begründung für die erste und die letzte
> > Gleichheit klar?
>
> Ja ich denke schon, die beiden ergeben sich aus
> Aufgabenstellung. In dem Stil kann ich die Assoziativität
> und Distributivität zeigen, nicht ganz klar ist mir wie
> ich beim neutralen Element vorgehen soll:
>
> Man nehme ein beliebiges f [mm]\in[/mm] V für dieses gilt f(x)+0
> =f(x), da [mm]\IR[/mm] ein Körper ist und 0 das neutrale Element
> von [mm]\IR[/mm] ist, und da f(x) [mm]\in \IR[/mm] muss auch 0 das neutrale
> element von f(x)
Was soll das neutrale Element von $f(x)$ sein?
Du suchst doch ein neutr. Element in V !!
> sein stimmt das so?
Ja, im Prinzip (wenn du es richtig meinst und nur verquer ausgedrückt hast).
Mache dir aber unbedingt klar, dass die Elemente/Vektoren in V Funktionen bzw. Abbildungen sind.
Es ist mit [mm]0\in V[/mm] also die Nullabbildung [mm]n:\IR\to\IR, x\mapsto 0[/mm] für alle [mm]x\in\IR[/mm] gemeint ...
Das würde ich einem potentiellen Korrektor deutlich machen, indem ich anstatt 0 die Bezeichnung n nehme und wie oben schreibe, dass damit die Nuillabbildung gemeint ist...
Falls dir das alles klar war und du mit der 0 genau die Nullabbildung meintest, umso besser 
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:08 Do 15.11.2012 | | Autor: | Moone |
Du mein in etwa so wenn ich das richtig verstanden habe:
z.z. für Belibiges f [mm] \in [/mm] V existiert ein n [mm] \in [/mm] V für das gilt f + n = f weiterhin gilt für f(x) [mm] \in \IR [/mm] aus den Körperaxiomen f(x) + 0 = f(x, es soll zudem ein n [mm] \in [/mm] V geben mit n: [mm] \IR \to \IR, [/mm] x [mm] \mapsto [/mm] 0 für alle x [mm] \in \IR [/mm] ?
Ist das so besser nun?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:12 Do 15.11.2012 | | Autor: | fred97 |
> Du mein in etwa so wenn ich das richtig verstanden habe:
>
> z.z. für Belibiges f [mm]\in[/mm] V existiert ein n [mm]\in[/mm] V für das
> gilt f + n = f weiterhin gilt für f(x) [mm]\in \IR[/mm] aus den
> Körperaxiomen f(x) + 0 = f(x, es soll zudem ein n [mm]\in[/mm] V
> geben mit n: [mm]\IR \to \IR,[/mm] x [mm]\mapsto[/mm] 0 für alle x [mm]\in \IR[/mm]
> ?
>
> Ist das so besser nun?
Nein. Wir def. n [mm] \in [/mm] V durch n(x)=0 für alle x [mm] \in \IR.
[/mm]
Wegen f(x)+n(x)=f(x) für alle x [mm] \in \IR [/mm] und alle f [mm] \in [/mm] V ist
f+n=f für alle f [mm] \in [/mm] V
FRED
>
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:20 Do 15.11.2012 | | Autor: | Moone |
> > Du mein in etwa so wenn ich das richtig verstanden habe:
> >
> > z.z. für Belibiges f [mm]\in[/mm] V existiert ein n [mm]\in[/mm] V für das
> > gilt f + n = f weiterhin gilt für f(x) [mm]\in \IR[/mm] aus den
> > Körperaxiomen f(x) + 0 = f(x, es soll zudem ein n [mm]\in[/mm] V
> > geben mit n: [mm]\IR \to \IR,[/mm] x [mm]\mapsto[/mm] 0 für alle x [mm]\in \IR[/mm]
> > ?
> >
> > Ist das so besser nun?
>
> Nein. Wir def. n [mm]\in[/mm] V durch n(x)=0 für alle x [mm]\in \IR.[/mm]
>
> Wegen f(x)+n(x)=f(x) für alle x [mm]\in \IR[/mm] und alle f [mm]\in[/mm] V
> ist
>
> f+n=f für alle f [mm]\in[/mm] V
>
> FRED
> >
>
Mir ist nicht Klar was nun der Unterschied zu meinem ist abgesehen davon das meins unmständlicher ist.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:36 Do 15.11.2012 | | Autor: | tobit09 |
> z.z. für Belibiges f [mm] \in [/mm] V existiert ein n [mm] \in [/mm] V für das gilt f + n = f
Nein. Zu zeigen ist, dass ein [mm] $n\in [/mm] V$ existiert, dass für alle [mm] $f\in [/mm] V$ gleichzeitig $f+n=f$ erfüllt.
> weiterhin gilt
> für f(x) [mm] \in \IR [/mm] aus den Körperaxiomen f(x) + 0 = f(x,
Was sind x und f hier? Das solltest du erläutern. Ansonsten korrekt.
> es soll zudem ein
> n [mm] \in [/mm] V geben mit n: [mm] \IR \to \IR, [/mm] x [mm] \mapsto [/mm] 0 für alle x [mm] \in \IR [/mm] ?
Was meinst du mit "es soll so ein n geben"? Es sei n DEFINIERT durch [mm] $n\colon\IR\to\IR,\;x\mapsto [/mm] 0$.
Nun ist $f+n=f$ für alle [mm] $f\in [/mm] V$ zu zeigen.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:41 Do 15.11.2012 | | Autor: | Moone |
| Aufgabe | b) Sei M [mm] \subset \IR [/mm] Entschiede und begründe, ob die Folgenden Teilmengen von V Untervektorräume von V sind:
[mm] U_{1}:={f \in V | f(y) = 0\ f"ur\ alle\ y \in M}
[/mm]
[mm] U_{2}:={f \in V | f(0) = 1}
[/mm]
[mm] U_{3}:={f \in V | f\ ist\ bijektiv}
[/mm]
[mm] U_{4}:={f \in V | \forall x \in \IR : f(x)\ge 0}
[/mm]
[mm] U_{5}:={f \in V | \forall x \in \IR | f(x) = f(-x)}
[/mm]
[mm] U_{6}:={f \in V | f\ ist\ ein\ Polynom} [/mm] |
Ich habe es jetzt verstanden, danke euch ich hätte noch gern hilfe zum b) Teil.
Ich muss zeigen das die U ein Vektorraum ist, dann wäre U ein Untervektorraum von V.
Heißt das ich muss bei jedem die Axiome durchgehen? Geht das auch effektiver?
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> b) Sei M [mm]\subset \IR[/mm] Entschiede und begründe, ob die
> Folgenden Teilmengen von V Untervektorräume von V sind:
> [mm]U_{1}:={f \in V | f(y) = 0\ f" ur\="" alle\="" y="" \in="" m}$"="" src="http://teximg.matheraum.de/render?d=108&s=$U_%7B1%7D%3A%3D%7Bf%20%5Cin%20V%20%7C%20f(y)%20%3D%200%5C%20f$" m}"="">
>
> ![$U_{2}:={f \in V | f(0) = 1}[/mm]
</font>
<br>
<font class=]() > [mm]U_{3}:={f \in V | f\ ist\ bijektiv}[/mm]
>
> [mm]U_{4}:={f \in V | \forall x \in \IR : f(x)\ge 0}[/mm]
> [mm]U_{5}:={f \in V | \forall x \in \IR | f(x) = f(-x)}[/mm]
>
> [mm]U_{6}:={f \in V | f\ ist\ ein\ Polynom}[/mm]
>
> Ich habe es jetzt verstanden, danke euch ich hätte noch
> gern hilfe zum b) Teil.
> Ich muss zeigen das die U ein Vektorraum ist, dann wäre U
> ein Untervektorraum von V.
> Heißt das ich muss bei jedem die Axiome durchgehen?
Ist eine Möglichkeit.
> Geht
> das auch effektiver?
Kommt drauf an, was du verwenden darfst.
Nach den obigen Anlaufschwierigkeiten ist aber dringend zu empfehlen, dass du die Axiome abklapperst.
Bei den [mm] $U_i$, [/mm] wo du meinst, dass es kein Untervektorraum von V ist, reichen ja ein kleines Gegenbeispiel.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 07:53 Fr 16.11.2012 | | Autor: | tobit09 |
> Ich muss zeigen das die U ein Vektorraum ist, dann wäre U
> ein Untervektorraum von V.
> Heißt das ich muss bei jedem die Axiome durchgehen? Geht
> das auch effektiver?
Ja. Die Definition eines Untervektorraumes lautet üblicherweise etwa folgendermaßen:
Eine Teilmenge [mm] $U\subseteq [/mm] V$ eines $K$-Vektorraumes $V$ heißt Untervektorraum, wenn folgende Bedingungen gelten:
1. [mm] $0_V\in [/mm] U$
2. Für alle [mm] $v,w\in [/mm] U$ ist auch [mm] $v+w\in [/mm] U$
3. Für alle [mm] $v\in [/mm] U$ und [mm] $\lambda\in [/mm] K$ ist auch [mm] $\lambda*v\in [/mm] U$.
Lautet die Definition bei euch auch so oder anders?
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