Vektorräume Teilräume < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:16 Mi 05.12.2007 | | Autor: | Smex |
| Aufgabe | Sei V ein Vektorraum, und seien U und U ′ Teilräume von V mit V = U $ [mm] \cup [/mm] $ U´.
Beweise : es gilt U = V oder U ′ = V . |
Zunächst mal versteh ich hier rein logisch gesehen gar nicht warum das gelten sollte: Die Vereinigung von 2 Teilräumen kann doch auch einen Vektorraum bilden ohne dass einer der Teilräume der Vektorraum ist, oder??
Kann mir da vielleich jemand nen Tipp geben?
Gruß Smex
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> Sei V ein Vektorraum, und seien U und U ′ Teilräume
> von V mit V = U [mm]\cup[/mm] U´.
> Beweise : es gilt U = V oder U ′ = V .
> Zunächst mal versteh ich hier rein logisch gesehen gar
> nicht warum das gelten sollte: Die Vereinigung von 2
> Teilräumen kann doch auch einen Vektorraum bilden ohne dass
> einer der Teilräume der Vektorraum ist, oder??
Hallo,
kannst Du dafür ein Beispiel nennen?
Wenn ja, hättest Du ja schwuppdiwupp die zu beweisende Behauptung widerlegt und wärest fertig.
>
> Kann mir da vielleich jemand nen Tipp geben?
Ist Dir klar, daß im allgemeinen die Vereinigung v. Untervektorräumen gar kein (Unter-)Vektorraum ist?
Du solltest Dir hier ein paar Beispiele ausdenken, um der Sache auf die Spur zu kommen.
Den Beweis würde ich so angehen, daß ich annehme, daß die Dimension beider Teilräume kleiner ist als die v. V und dies zum Widerspruch führen.
Ist eigentlich V als endlichdimensional vorausgesetzt?
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:55 Mi 05.12.2007 | | Autor: | Smex |
Zunächst: V ist nicht als enlichdimensional vorrausgesezt, ich habe die komplette Aufgabenstellung abgeschrieben.
Aber wieso ist die Vereinigung von Teilräumen normalerweise kein Teilraum?
Gruß Smex
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> Zunächst: V ist nicht als enlichdimensional vorrausgesezt,
> ich habe die komplette Aufgabenstellung abgeschrieben.
>
> Aber wieso ist die Vereinigung von Teilräumen normalerweise
> kein Teilraum?
Nimm mal 2 Geraden durch den Ursprung im [mm] \IR^2, [/mm] z.B. die x- und die y-Achse.
Wie sieht die Vereinigung aus?
Welche Bedingung an einen Unterraum wird hier nicht erfüllt?
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:59 Do 06.12.2007 | | Autor: | Smex |
> Den Beweis würde ich so angehen, daß ich annehme, daß die
> Dimension beider Teilräume kleiner ist als die v. V und
> dies zum Widerspruch führen.
Wie meintest du das? Ich weiß doch gar nichts über die Dimension von U bzw. U'.
Gruß Smex
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> > Den Beweis würde ich so angehen, daß ich annehme, daß die
> > Dimension beider Teilräume kleiner ist als die v. V und
> > dies zum Widerspruch führen.
>
> Wie meintest du das? Ich weiß doch gar nichts über die
> Dimension von U bzw. U'.
Nee, das klappt so auch nicht, denn Du sagtest ja, daß die Räume nicht als endlichdimensional vorauszusetzen sind.
Dann würde ich es so versuchen
1. Fall: [mm] U\subseteq [/mm] U' .
Angenommen, es gäbe ein [mm] v\in [/mm] V \ U'... ==> Widerspruch, also ist V \ U' = [mm] \emptyset
[/mm]
2.Fall: [mm] U'\subseteq [/mm] U.
wie oben
3. Fall: es gibt ein x [mm] \in [/mm] U \ U' und es gibt ein y in U' \ U.
Betrachte x+y ... ==> Widerspruch.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:09 Do 06.12.2007 | | Autor: | Smex |
Also irgendwie verstehe ich das trotzdem nicht...
wenn du nach dem ersten Fall raus hast, dass V/U'= [mm] \emptyset [/mm] dann muss doch V=U' sein, oder nicht?
> 1. Fall: [mm]U\subseteq[/mm] U' .
> Angenommen, es gäbe ein [mm]v\in[/mm] V \ U'... ==> Widerspruch,
> also ist V \ U' = [mm]\emptyset[/mm]
Wieso nimmst du ein v aus V??
> 3. Fall: es gibt ein x [mm]\in[/mm] U \ U' und es gibt ein y in U'
> \ U.
> Betrachte x+y ... ==> Widerspruch.
Was für ein Fall ist das denn jetzt??
Vielleicht könntest du nochmal erklären, was du gerade eigentlich zeigst, denn ich galube das habe ich nicht vestanden.
Vielen Dank
Gruß Smex
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> Vielleicht könntest du nochmal erklären, was du gerade
> eigentlich zeigst, denn ich galube das habe ich nicht
> vestanden.
Hallo,
zeigen möchte ich dsa, was Du zeigen sollst:
"Sei V ein Vektorraum, und seien U und U ′ Teilräume von V mit V = U $ [mm] \cup [/mm] $ U´.
Dann ist U = V oder U ′ = V . "
Meine Idee:
Seien U und U ′ Teilräume von V und sei V = U $ [mm] \cup [/mm] $ U´.
Für die "Lage" von U und U' gibt es nur zwei Möglichkeiten:
1. Der eine Raum ist Teilmenge des anderen, also oBdA. U' [mm] \subseteq [/mm] U
2. Die Räume sind nicht Teilmengen voneinander. Dann gibt es in jedem der beiden Teilräume ein Element, welches nicht im anderen Teilraum liegt.
Nun untersuche ich die Konsequenzen dieser beiden Fälle.
1. Ich nehme an, daß [mm] U\not=V [/mm] ist.
Dies führe ich zu einem Widerspruch.
Daraus erfahre ich: wenn U' [mm] \subseteq [/mm] U, dann muß U=V sein.
2. Ich untersuche den Fall, daß die Räume nicht Teilmenge voneinander sind, und stelle fest, daß das überhaupt nicht sein kann unter den Voraussetzungen, daß dieser fall also ausscheidet.
Ergebnis: einer der beiden Räume muß gleich dem kompletten Oberraum V sein.
> Also irgendwie verstehe ich das trotzdem nicht...
> wenn du nach dem ersten Fall raus hast, dass V/U'=
> [mm]\emptyset[/mm] dann muss doch V=U' sein, oder nicht?
Ja. Das will man ja auch herausbekommen.
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> > 1. Fall: [mm]U\subseteq[/mm] U' .
> > Angenommen, es gäbe ein [mm]v\in[/mm] V \ U'... ==> Widerspruch,
> > also ist V \ U' = [mm]\emptyset[/mm]
>
> Wieso nimmst du ein v aus V??
Eine andere Möglichkeit hat man ja gar nicht, denn da U und U' Teilmengen v. V sind, liegt natürgemäß jeder Vektor in V.
Das besondere an meinem V ist, daß es in V, aber nicht in U liegt, denn ich habe ja angenommen, daß U und V nicht gleich sind. Also gibt es so ein v.
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> > 3. Fall: es gibt ein x [mm]\in[/mm] U \ U' und es gibt ein y in U'
> > \ U.
> > Betrachte x+y ... ==> Widerspruch.
>
> Was für ein Fall ist das denn jetzt??
Das ist der Fall, daß U und U' nicht Teilmenge voneinander sind, und man kann zeigen, daß dieser Fall gar nicht sein kann. Fürs Wie habe ich Dir die Vorlage gelieert.
Gruß v. Angela
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