Vektorraum < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | | Zeigen Sie, dass die Menge der Polynome vom Grade=n kein Vektorraum und somit kein Unterraum des Vektorraums der Polynome beliebigen Grades ist. |
Lösung:
Pn = [mm] \{p(x) =\summe_{i=1}^{n}a_{i}x^{i}|a_{n}\in\IR\backslash 0, a_{i} \in \IR \}
[/mm]
Man beachte der Koeffizient [mm] a_{n}\not= [/mm] 0 da ansonsten der Polynomgrad =n wäre
Es seien p1(x)= [mm] x^{n}+1 [/mm] und p2 = [mm] -x^{n}+1 [/mm] Dann gilt
p1(x),P2(x) [mm] \in [/mm] Pn aber p1(x)+p2(x)= [mm] 2\in [/mm] Pn und somit ist Pn kein Vektorraum
Kann mir bitte jemand Laihenhaft erklären wie ich auf p1 und p2 komme?
Generell fehlt mir das Verständniss dieser Lösung. Könnte mir jemand bitte helfen und es mir Schritt für Schritt erklären?
Damit es ein Vektorraum ist muss folgendes gelten:
Abgeschlossenheit
Kommutativität
Assoziativität
Bitte dringend um Hilfe!
Vielen Dank!
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:37 Mi 14.09.2016 | | Autor: | chrisno |
Für das Verständnis wichtig ist, dass Du den Fehler im folgenden Satz korrigierst:
> Man beachte der Koeffizient $ [mm] a_{n}\not= [/mm] $ 0 da ansonsten der Polynomgrad =n wäre.
> Kann mir bitte jemand Laihenhaft erklären wie ich auf p1 und p2 komme?
Von der Fragestellung her ist das Ziel zu zeigen, dass ein Vektorraumaxiom verletzt ist. Dafür muss ein Beispiel gefunden werden. Da gilt es kreativ zu sein. Die angegebenen Polynome sind nur zwei von beliebig vielen Möglichkeiten.
Ich hätte spontan nach dem neutralen Element der Addition gesucht. Wie muss das aussehen? Das ist ganz klar auch kein Polynom vom Grad n.
Deine Angaben, was für einen Vektorraum so gelten muss, sind etwas sparsam.
|
|
|
| |
|
Danke für die Antwort, so ganz Klick gemacht hat es leider immer noch nicht.
Könntest du mir ein Beispiel geben wie in meinem Fall das neutrale Element verletzt wird?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:52 Mi 14.09.2016 | | Autor: | chrisno |
Was ist die Definition des neutralen Elements? Welches Polynom ist das?
|
|
|
| |
|
X+0= 0+x=X
Ein polymon ersten Grades?
Aber gehören Polynome dessen grad größer als 1 ist nicht zu einem Vektorraum?
Mit grad n ist doch gemeint n= 1,2,3....
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:33 Mi 14.09.2016 | | Autor: | meili |
Hallo,
leider finden sich in der Lösung in deinem ersten Post einige sinnentstellende
Tippfehler. Es müsste heißen:
Pn = $ [mm] \{p(x) =\summe_{i=0}^{n}a_{i}x^{i}|a_{n}\in\IR\backslash 0, a_{i} \in \IR \} [/mm] $
Man beachte der Koeffizient $ [mm] a_{n}\not= [/mm] $ 0, da ansonsten der Polynomgrad [mm] $\not=$ [/mm] n wäre.
p1(x),p2(x) $ [mm] \in [/mm] $ Pn aber p1(x)+p2(x)= $ [mm] 2\notin [/mm] $ Pn und somit ist Pn kein Vektorraum.
> X+0= 0+x=X
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> Ein polymon ersten Grades?
Das neutrale Element ist das Polynom $p(x) [mm] \equiv [/mm] 0$ vom Grad [mm] $-\infty$.
[/mm]
> Aber gehören Polynome dessen grad größer als 1 ist nicht
> zu einem Vektorraum?
> Mit grad n ist doch gemeint n= 1,2,3....
Es soll die Menge der Polynome vom Grad n untersucht werden, dazu gehören
nur Polynome die genau den Grad n haben.
n ist zwar beliebig, aber fest.
Würde man die Menge der Polynome vom Grad [mm] $\le$ [/mm] n betrachten,
kommt man zu einem anderen Ergebnis bezüglich Vektorraum.
Gruß
meili
|
|
|
|
