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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:33 Di 24.01.2006 | | Autor: | Jogi04 |
| Aufgabe | Es seien $K$ ein Körper und $V$ ein $K$-Vektorraum mit der Basis [mm] $v_{1},\ldots,v_{n}$.
[/mm]
Zeigen Sie, dass auch [mm] $w_{j} [/mm] := [mm] \summe_{i=1}^{j} v_{i}$, [/mm] $j = [mm] 1,\ldots,n$ [/mm] eine Basis von $V$ ist. |
Hallo!
Könnte mir vielleicht irgendjemand unter die Arme greifen?
Wäre super nett... Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo Jogi04,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> Es seien K ein Körper und V ein K- Vektorraum mit der Basis
> [mm]v_{1},... v_{n}.[/mm] Zeigen sie, dass auch [mm]w_{j}[/mm] :=
> [mm]\summe_{i=1}^{j} v_{i},[/mm] j = 1,...n eine Basis von V ist.
> Hallo!
> Könnte mir vielleicht irgendjemand unter die Arme
> greifen?
> Wäre super nett... Ich habe diese Frage in keinem Forum
> auf anderen Internetseiten gestellt.
Zu zeigen ist ja, daß die [mm]w_{j}[/mm], j=1...n auch eine Basis des V ist.
Dazu löse folgende Gleichung:
[mm]\sum\limits_{j = 1}^n {a_j \;w_j } \; = \;0[/mm]
Für die lineare Unabhängigkeit muß für alle j gelten: [mm]a_{j}\;=\;0[/mm].
Um dies zu zeigen, wird dies auf die lineare Unabhängigkeit der [mm]v_{i}[/mm] zurückgeführt.
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:17 Di 24.01.2006 | | Autor: | Jogi04 |
ich steh ein bißchen im wald. könntest du mir bitte tipps geben wie ich jetzt schritt für schritt die aufgabe bewältige.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:24 Di 24.01.2006 | | Autor: | Stefan |
Hallo Jogi!
Du musst ja zeigen, dass aus [mm] $\sum\limits_{j=1}^n a_jw_j=0$ [/mm] folgt:
[mm] $a_j=0$ $(j=1,2,\ldots,n)$.
[/mm]
Nun gilt aber:
$0 = [mm] \sum\limits_{j=1}^n a_j w_j [/mm] = [mm] \sum\limits_{j=1}^n a_j \sum\limits_{i=1}^j v_i [/mm] = [mm] \sum\limits_{i=1}^n \left( \sum\limits_{j=i}^n a_j \right) v_i$.
[/mm]
Und jetzt kannst du die lineare Unabhängigkeit der [mm] $v_i$ [/mm] ausnutzen. Was folgt daraus? Und was wiederum kannst du dann daraus für die [mm] $a_j$ [/mm] folgern?
Liebe Grüße
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:41 Di 24.01.2006 | | Autor: | Jogi04 |
hmm. V heißt ja eine Basis von V, wenn ein System Erzeugendensystem von V und das System linear unabhängig ist. Und linear unabhängig bedeutet, wenn ein endliches System von Vektoren des Vektorraumes die alle gleich 0 sind. Ich habe aber jetzt das Problem, dass ich nicht weiß, wie ich das aufs Blatt bringen soll....
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:36 Di 24.01.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo Jogi
> hmm. V heißt ja eine Basis von V, wenn ein System
> Erzeugendensystem von V und das System linear unabhängig
> ist. Und linear unabhängig bedeutet, wenn ein endliches
> System von Vektoren des Vektorraumes die alle gleich 0
> sind. Ich habe aber jetzt das Problem, dass ich nicht weiß,
> wie ich das aufs Blatt bringen soll....
Der Erste Satz ist unvollständig, der zweite sinnlos, wie willst du Vektoren, die alle gleich 0 sind, und davon noch ein ganzes System!
Definitionen WIRKLICH richtig aufzuschreiben, und sich immer wieder zu wiederholen ist einfach unerläßlich!
Lies dinen zweiten satz mal, und überleg dir, was man darunter verstehen könnte!
Vektoren sind linear unabhängig , wenn es keine Linearkoombination mit Koeffizienten ungleich Null giibt, so dass die Linearkomb. den Nullvektor ergibt.
D.h. in Formeln: v1,...vn sind linear unabhängig wenn [mm] \summe_{i=1}^{n}a_{i}*v_{i}=0 [/mm] erfüllt ist NUR wenn alle [mm] a_{i}=0!
[/mm]
So das weisst du über die [mm] v_{i}.
[/mm]
jetzt über leg erst mal, warum v1 und v1+v2 lin unabh. sind, wenn v1,v2 lin unabh, sind .Dann warum sind v1, v1+v2 und v1+v2+v3 lin unabh. wenn v1,v2,v3 lin unabh. sind.
Diese Erkenntnisse musst du nun nur bis n treiben, statt bis 3, dann bist du fertig.
Die Vors. ,die du benutzen musst ist dabei die Gleichung a1*v1+a2*v2+a3*v3=0 kann NUR gelöst werden mit a1=a2=a3=0.
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 08:56 Mi 25.01.2006 | | Autor: | Jogi04 |
Danke für die Unterstützung!
Gruß Jogi
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